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期末核心考点 相交线与平行线
一．选择题（共7小题）
1．（2025 吉安县一模）光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，矩形ABFE为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点D，折射后照到水槽底部的点C．测得α＝40°，β＝30°，若P、D、B三点在同一条直线上，则∠BDC的度数为（　　）
A．40° B．30° C．20° D．10°
2．（2024秋 薛城区期末）下列命题中，属于真命题的是（　　）
A．两直线被第三条直线所截，内错角相等
B．若a2＝b2，则a＝b
C．对顶角相等
D．一个数能被3整除，则也一定能被6整除
3．（2025春 昌乐县校级期中）古代房梁建筑中多采用“四梁八柱”的设计，其中蕴含着数学知识，将房梁中的一些图形抽象出如图所示的几何模型．在三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，DF∥AC，∠C＝∠EDF，则下列结论错误的是（　　）
A．DE∥BC B．∠ADE＝∠B
C．∠BFD＝∠AED D．∠B+∠CED＝180°
4．（2025 佛山一模）将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，若∠1＝50°，则下列正确的是（　　）
A．∠5＝130° B．∠4＝40° C．∠3＝140° D．∠2＝40°
5．（2025 辽阳模拟）如图，边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm，再向右平移1cm，得到正方形A′B′C′D′，此时阴影部分的面积为（　　）
A．7cm2 B．6cm2 C．5cm2 D．4cm2
6．（2025 南山区校级一模）为方便市民绿色出行，我市推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝50°，当∠MAC为（　　）度时，AM平行于支撑杆CE．
A．15 B．60 C．70 D．115
7．（2024秋 衡东县期末）如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共5小题）
8．（2025春 和平区校级期中）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10，点M是边AB上的一个动点，连接CM，则线段CM长度的最小值是 　 　 ．
9．（2025 崇左二模）如图是一把剪刀，若∠AOB+∠COD＝60°，则∠AOC＝ 　 　 ．
10．（2025 东台市一模）如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上．已知∠HFB＝19°，∠FED＝55°，则∠GFH的度数为 　 　 ．
11．（2025 市中区三模）光线照射到平面镜，镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线的夹角等于入射光线与法线的夹角（垂直于平面镜的直线叫法线）．如图一个平面镜斜着放在水平面上，形成∠AOB形状，∠AOB＝38°，在OB上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射后的光线DC刚好与OB平行，则∠DEB的度数为 　 　 °．
12．（2025 呼和浩特二模）如图，已知AE∥BF，AC、BD分别平分∠BAD和∠ABC交BF、AE于点C和点D，AC与BD交于点O．连接CD，在AD的延长线上取一点G，使，OG与CD交于点H，已知AC＝6，BD＝8，则OH：HG＝ 　 　 ．
三．解答题（共3小题）
13．（2025春 成都期中）完成下面推理过程：
如图，AB∥CD，∠ABC＝50°，∠CPN＝150°，∠PNB＝60°，∠NDC＝60°．求∠BCP的度数．
解：∵∠PNB＝60°，∠NDC＝60°，（已知），
∴∠PNB＝∠NDC，（等量代换），
∴PN∥CD，（　 　 ），
∴∠CPN+∠　 　 ＝180°，（　 　 ），
∵∠CPN＝150°，（已知），
∴∠PCD＝180°﹣∠CPN＝180°﹣150°＝30°，
∵AB∥CD，（已知），
∴∠ABC＝∠　 　 ，（　 　 ），
∵∠ABC＝50°，（已知），
∴∠BCD＝　 　 ，（等量代换），
∴∠BCP＝∠BCD﹣∠PCD＝　 　 °﹣30°＝　 　 °．
14．（2025春 韶关校级期中）完成下面的求解过程．
如图，FG∥CD，∠1＝∠3，∠B＝50°，求∠BDE的度数．
解：因为FG∥CD （ 　 　 ），
所以∠2＝　 　 （ 　 　 ），
又因为∠1＝∠3，
所以∠3＝∠2 （ 　 　 ），
所以BC∥　 　 ，
所以∠B+∠BDE＝180° （ 　 　 ）．
又因为∠B＝50°，
所以∠BDE＝　 　 ．
15．（2025春 广东校级期中）综合与实践
【探索发现】
（1）已知：如图，∠BAP＝40°，∠APC＝75°，∠PCD＝35°，求证：AB∥CD．
【深入思考】
（2）某条河流的两岸各安置了一盏旋转探照灯．如图所示，PQ∥MN，灯A的光线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B的光线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒3度，灯B转动的速度是每秒2度．如果灯B的光线先转动10秒，灯A的光线才开始转动，那么在灯B的光线到达BQ之前，灯A转动几秒时，两灯的光束互相平行？
【拓展延伸】
（3）如图，在（2）的条件下，“如果灯B的光线先转动10秒”改为“两灯同时转动”，在灯A的光线到达AN之前，若两灯射出的光束交于点C，过C作∠ACD＝135°，CD交PQ于点D，∠MAB＝135°，则在转动过程中，请求出∠BAC与∠BCD的数量关系．
期末核心考点 相交线与平行线
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 吉安县一模）光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，矩形ABFE为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点D，折射后照到水槽底部的点C．测得α＝40°，β＝30°，若P、D、B三点在同一条直线上，则∠BDC的度数为（　　）
A．40° B．30° C．20° D．10°
【考点】对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】根据“对顶角相等”得∠BDC+β＝α，代入数据求解即可．．
【解答】解：根据“对顶角相等”得∠BDC+β＝α，
∵α＝40°，β＝30°，
∴∠BDC＝α﹣β＝10°，
故选：D．
【点评】本题主要考查对顶角，熟练掌握该知识点是关键．
2．（2024秋 薛城区期末）下列命题中，属于真命题的是（　　）
A．两直线被第三条直线所截，内错角相等
B．若a2＝b2，则a＝b
C．对顶角相等
D．一个数能被3整除，则也一定能被6整除
【考点】命题与定理；对顶角、邻补角；同位角、内错角、同旁内角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质、实数的乘方、对顶角相等、数的整除逐项判断即可．
【解答】解：根据平行线的性质、实数的乘方、对顶角相等、数的整除逐项判断如下：
A、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题，本选项不符合题意；
B、若a2＝b2，则a＝±b，原命题是假命题，本选项不符合题意；
C、对顶角相等，是真命题，本选项符合题意；
D、一个数能被3整除，不一定能被6整除，例如9能被3整除，不能被6整除，故本选项命题是假命题，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了命题与定理、对顶角相等、实数的乘方、不等式的性质等知识点．
3．（2025春 昌乐县校级期中）古代房梁建筑中多采用“四梁八柱”的设计，其中蕴含着数学知识，将房梁中的一些图形抽象出如图所示的几何模型．在三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，DF∥AC，∠C＝∠EDF，则下列结论错误的是（　　）
A．DE∥BC B．∠ADE＝∠B
C．∠BFD＝∠AED D．∠B+∠CED＝180°
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】根据DF∥AC，可得∠C＝DFB，由∠C＝∠EDF，等量代换得到∠DFB＝∠EDF，进而推出DE∥BC，再结合平行线的性质逐一判断即可．
【解答】解：∵DF∥AC，
∴∠C＝DFB（两直线平行，同位角相等），
∵∠C＝∠EDF，
∴∠DFB＝∠EDF（等量代换），
∴DE∥BC，故选项A正确，不符合题意；
∴∠ADE＝∠B（两直线平行，同位角相等），故选项B正确，不符合题意；
∴∠AED＝∠C，
∴∠AED＝∠BFD，故选项C正确，不符合题意；
∴∠B+∠BDE＝180°，
∵∠CED与∠BDE不一定相等，
∴∠B+∠CED不一定等于180°，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，关键是平行线判定定理及性质的熟练掌握．
4．（2025 佛山一模）将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，若∠1＝50°，则下列正确的是（　　）
A．∠5＝130° B．∠4＝40° C．∠3＝140° D．∠2＝40°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】由邻补角的性质求出∠3＝130°，由平行线的性质推出∠2＝∠1＝50°，∠5+∠4＝180°，由平角定义得到∠4＝40°，求出∠5＝140°．
【解答】解：∵∠1＝50°，
∴∠3＝180°﹣50°＝130°，
故C不符合题意；
∵纸条的上下两边平行，
∴∠2＝∠1＝50°，∠5+∠4＝180°，
故D不符合题意；
∵∠4＝180°﹣90°﹣50°＝40°，
∴∠5＝140°，
故A不符合题意，B符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠2＝∠1＝50°，∠5+∠4＝180°．
5．（2025 辽阳模拟）如图，边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm，再向右平移1cm，得到正方形A′B′C′D′，此时阴影部分的面积为（　　）
A．7cm2 B．6cm2 C．5cm2 D．4cm2
【考点】平移的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】B
【分析】由平移的性质可得A'E＝2cm，AE＝1cm，可求B'E＝2cm，DE＝3cm，即可求解．
【解答】解：如图，设AD与A'B'交于点E，
∵将边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm，再向右平移1cm，
∴A'E＝2cm，AE＝1cm，
∴B'E＝2cm，DE＝3cm，
∴阴影部分的面积＝2×3＝6cm2，
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．
6．（2025 南山区校级一模）为方便市民绿色出行，我市推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝50°，当∠MAC为（　　）度时，AM平行于支撑杆CE．
A．15 B．60 C．70 D．115
【考点】平行线的性质；平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】C
【分析】先利用平行线的性质可得∠ABC＝∠BCD＝60°，从而利用三角形内角和定理可得：∠ACB＝70°，然后利用内错角相等，两直线平行即可解答．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD＝60°，
∵∠BAC＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝70°，
∴当∠MAC＝∠ACB＝70°时，AM平行于支撑杆CE，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
7．（2024秋 衡东县期末）如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】平行线的性质；垂线．
【专题】几何综合题；转化思想；推理能力．
【答案】B
【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质解答．延长FG，交CH于I，构造出直角三角形，利用直角三角形两锐角互余解答．
【解答】解：延长FG，交CH于I．
∵AB∥CD，
∴∠BFD＝∠D，∠AFI＝∠FIH，
∵FD∥EH，
∴∠EHC＝∠D，
∵FE平分∠AFG，
∴∠FIH＝2∠AFE＝2∠EHC，
∴3∠EHC＝90°，
∴∠EHC＝30°，
∴∠D＝30°，
∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°，
∴①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°正确，
∵FE平分∠AFG，
∴∠AFI＝30°×2＝60°，
∵∠BFD＝30°，
∴∠GFD＝90°，
∴∠GFH+∠HFD＝90°，
可见，∠HFD的值未必为30°，∠GFH未必为45°，只要和为90°即可，
∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正确．
故选B．
【点评】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质，二者有机结合，难度较大，需要作出辅助线，对能力要求较高．
二．填空题（共5小题）
8．（2025春 和平区校级期中）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10，点M是边AB上的一个动点，连接CM，则线段CM长度的最小值是 　　 ．
【考点】垂线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】．
【分析】根据垂线最短和三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：当CM⊥AB时，CM最短，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10，
∴8×610×CM，
∴CM．
故答案为：．
【点评】本题考查的是垂线段最短和三角形的面积，熟知从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短是解题的关键．
9．（2025 崇左二模）如图是一把剪刀，若∠AOB+∠COD＝60°，则∠AOC＝ 　150°　 ．
【考点】对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】150°．
【分析】由对顶角，邻补角的性质，即可计算．
【解答】解：∵∠AOB+∠COD＝60°，∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB＝30°，
∵∠AOC+∠AOB＝180°，
∴∠AOC＝150°，
故答案为：150°．
【点评】本题考查对顶角，邻补角的概念，关键是掌握它们的性质：对顶角相等；邻补角互补．
10．（2025 东台市一模）如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上．已知∠HFB＝19°，∠FED＝55°，则∠GFH的度数为 　36°　 ．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】36°．
【分析】先根据两直线平行，同位角相等得出∠GFB＝∠FED＝55°，再根据∠GFH＝∠GFB﹣∠HFB计算即可．
【解答】解：∵AB∥CD，∠FED＝55°，
∴∠GFB＝∠FED＝55°，
∵∠HFB＝19°，
∴∠GFH＝∠GFB﹣∠HFB＝55°﹣19°＝36°．
故答案为：36°．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
11．（2025 市中区三模）光线照射到平面镜，镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线的夹角等于入射光线与法线的夹角（垂直于平面镜的直线叫法线）．如图一个平面镜斜着放在水平面上，形成∠AOB形状，∠AOB＝38°，在OB上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射后的光线DC刚好与OB平行，则∠DEB的度数为 　76　 °．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】76．
【分析】由DC∥OB，可得∠ADC＝∠AOB＝38°，∠CDE+∠DEB＝180°，由反射的性质可得∠ADC＝∠ODE，由此可解．
【解答】解：由条件可知∠ADC＝∠AOB＝38°，
由题意知，∠ADC＝∠ODE，
∴∠CDE＝180°﹣∠ADC﹣∠AOB＝104°，
∵DC∥OB，
∴∠CDE+∠DEB＝180°，
∴∠DEB＝180°﹣∠CDE＝76°，
故答案为：76．
【点评】本题考查平行线性质的应用，熟练掌握平行线性质是关键．
12．（2025 呼和浩特二模）如图，已知AE∥BF，AC、BD分别平分∠BAD和∠ABC交BF、AE于点C和点D，AC与BD交于点O．连接CD，在AD的延长线上取一点G，使，OG与CD交于点H，已知AC＝6，BD＝8，则OH：HG＝ 　5：8　 ．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】5：8．
【分析】过点O作OM∥AE交CD于点M，证明四边形ABCD是菱形，得到AC⊥BD，OA＝OC＝3，OB＝OD＝4，则，可设∠DGO＝x，则∠DCF＝4x，证明DO＝DG＝4，证明△COM∽△CAD，得到，证明△OMH∽△GDH，即可得到．
【解答】解：过点O作OM∥AE交CD于点M，
由平行线的性质可得：∠DAC＝∠ACB，∠ADB＝∠CBD，
由题意可得：∠DAC＝∠BAC，∠DBC＝∠ABD，
∴∠ACB＝∠BAC，∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝BC，AB＝AD
∴BC＝AD，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，，，
∴，
∵，
∴可设∠DGO＝x，则∠DCF＝4x，
∴∠ADB＝∠CDB，BC＝CD，
∴∠DBC＝∠ADB＝∠CDB，
∵∠DCF＝∠DBC+∠CDB，
∴2∠DBC＝2∠CDB＝4x，
∴∠ADB＝∠DBC＝∠CDB＝2x，
∵∠ADB＝∠DGO+∠DOG，
∴2x＝x+∠DOG，
∴∠DOG＝x，
∴∠DOG＝∠DGO＝x，
∴DO＝DG＝4，
∵OM∥AE，
∴△COM∽△CAD，
∴，
∴，
∵OM∥AE，
∴△OMH∽△GDH，
∴，
即OH：HG＝5：8．
故答案为：5：8．
【点评】此题考查了菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键．
三．解答题（共3小题）
13．（2025春 成都期中）完成下面推理过程：
如图，AB∥CD，∠ABC＝50°，∠CPN＝150°，∠PNB＝60°，∠NDC＝60°．求∠BCP的度数．
解：∵∠PNB＝60°，∠NDC＝60°，（已知），
∴∠PNB＝∠NDC，（等量代换），
∴PN∥CD，（　同位角相等，两直线平行　 ），
∴∠CPN+∠　PCD　 ＝180°，（　两直线平行，同旁内角互补　 ），
∵∠CPN＝150°，（已知），
∴∠PCD＝180°﹣∠CPN＝180°﹣150°＝30°，
∵AB∥CD，（已知），
∴∠ABC＝∠　BCD　 ，（　两直线平行，内错角相等　 ），
∵∠ABC＝50°，（已知），
∴∠BCD＝　50°　 ，（等量代换），
∴∠BCP＝∠BCD﹣∠PCD＝　50　 °﹣30°＝　20　 °．
【考点】平行线的判定与性质；度分秒的换算．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】同位角相等，两直线平行；PCD；两直线平行，同旁内角互补；BCD；两直线平行，内错角相等；50°；50；20．
【分析】先证明PN∥CD，得到∠CPN+∠PCD＝180°，得到∠PCD＝30°，由AB∥CD得到∠ABC＝∠BCD，进一步求出∠BCP的度数．
【解答】解：由条件可得∠PNB＝∠NDC，（等量代换），
∴PN∥CD（同位角相等，两直线平行），
∴∠CPN+∠PCD＝180°，（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠CPN＝150°，（已知），
∴∠PCD＝180°﹣∠CPN＝180°﹣150°＝30°，
由条件可得∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∵∠ABC＝50°，（已知），
∴∠BCD＝50°，（等量代换），
∴∠BCP＝∠BCD﹣∠PCD＝50°﹣30°＝20°．
故答案为：同位角相等，两直线平行；PCD；两直线平行，同旁内角互补；BCD；两直线平行，内错角相等；50°；50；20．
【点评】此题考查了平行线的判定和性质，度分秒的换算，关键是平行线性质的熟练掌握．
14．（2025春 韶关校级期中）完成下面的求解过程．
如图，FG∥CD，∠1＝∠3，∠B＝50°，求∠BDE的度数．
解：因为FG∥CD （ 　已知　 ），
所以∠2＝　∠1　 （ 　两直线平行，同位角相等　 ），
又因为∠1＝∠3，
所以∠3＝∠2 （ 　等量代换　 ），
所以BC∥　DE　 ，
所以∠B+∠BDE＝180° （ 　两直线平行，同旁内角互补　 ）．
又因为∠B＝50°，
所以∠BDE＝　130°　 ．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】已知，∠1，两直线平行，同位角相等，等量代换，DE，两直线平行，同旁内角互补，130°．
【分析】分别利用平行线的性质和判定即可求解．
【解答】解：∵FG∥CD（已知），
∴∠2＝∠1（两直线平行，同位角相等），
又∵∠1＝∠3，
∴∠3＝∠2（等量代换），
∴BC∥DE（内错角相等，两直线平行），
∴∠B+∠BDE＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
又∵∠B＝50°，
∴∠BDE＝130°．
故答案为：已知，∠1，两直线平行，同位角相等，等量代换，DE，两直线平行，同旁内角互补，130°．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，性质有两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，判定有同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行．
15．（2025春 广东校级期中）综合与实践
【探索发现】
（1）已知：如图，∠BAP＝40°，∠APC＝75°，∠PCD＝35°，求证：AB∥CD．
【深入思考】
（2）某条河流的两岸各安置了一盏旋转探照灯．如图所示，PQ∥MN，灯A的光线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B的光线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒3度，灯B转动的速度是每秒2度．如果灯B的光线先转动10秒，灯A的光线才开始转动，那么在灯B的光线到达BQ之前，灯A转动几秒时，两灯的光束互相平行？
【拓展延伸】
（3）如图，在（2）的条件下，“如果灯B的光线先转动10秒”改为“两灯同时转动”，在灯A的光线到达AN之前，若两灯射出的光束交于点C，过C作∠ACD＝135°，CD交PQ于点D，∠MAB＝135°，则在转动过程中，请求出∠BAC与∠BCD的数量关系．
【考点】平行线的判定与性质；一元一次方程的应用．
【专题】推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）20或68秒；
（3）∠BAC＝3∠BCD．
【分析】（1）过P作PQ∥AB，根据平行线的性质求出∠QPA＝∠BAP＝40°，根据角的和差关系可求出∠CPQ＝35°＝∠DCP，根据平行线的判定可得PQ∥CD，最后根据平行线的传递性即可得证；
（2）设灯A转动t秒时，两灯的光束互相平行，分灯A的光线到达AN之前和之后两种情况讨论，根据平行线的性质构造关于t的方程求解即可；
（3）根据题意，得∠PBC＝（2t）°，∠MAC＝（3t）°，根据平行线的性质得出∠PBA＝∠MAB＝135°，由角的和差关系求出∠BAC＝（3t﹣135）°，∠ABC＝（135﹣2t）°，根据三角形内角和定理求出∠ACB＝（180﹣t）°，由角的和差关系求出∠BCD＝（t﹣45）°，即可求解．
【解答】（1）证明：过P作PQ∥AB，
∴∠QPA＝∠BAP＝40°，
∵∠APC＝75°，
∴∠CPQ＝∠APC﹣∠APQ＝35°，
∵∠DCP＝35°，
∴∠CPQ＝∠DCP，
∴PQ∥CD，
又∵PQ∥AB，
∴AB∥CD；
（2）解：灯A的光线从AM开始顺时针旋转至AN所用时间为180÷3＝60秒，灯B的光线从BP开始顺时针旋转至BQ所用时间为180÷2＝90秒，
设灯A转动t秒时，两灯的光束互相平行，
当0＜t≤60时，设AM′与PQ交于M′，如图，
∵PQ∥MN，
∴∠PM′A＝∠MAM′＝（3t）°，
∵AM′∥BP′，
∴∠MAM′＝∠PBP′＝2（t+10）°，
∴3t＝2（t+10），
解得t＝20；
当60＜t≤90﹣10，即60＜t≤80时，设AM′与PQ交于M′，如图，
∵PQ∥MN，
∴∠PM′A＝∠MAM′＝180×2﹣3t＝（360﹣3t）°，
∵AM′∥BP′，PQ∥MN，
∴四边形AM′BP′是平行四边形，
∴∠MAM′＝∠PBP′＝2（t+10）°，
∴360﹣3t＝2（t+10），
解得t＝68；
综上，当灯A转动20或68秒时，两灯的光束互相平行；
（3）解：∵灯A转动的速度是每秒3度，灯B转动的速度是每秒2度，
∴∠PBC＝（2t）°，∠MAC＝（3t）°，
∵PQ∥MN，
∴∠PBA＝∠MAB＝135°（两直线平行，内错角相等），
∴∠BAC＝∠MAC﹣∠MAB＝（3t﹣135）°，∠ABC＝∠PBA﹣∠PBC＝（135﹣2t）°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣（3t﹣135）°﹣（135﹣2t）°＝（180﹣t）°，
∵∠ACD＝135°，
∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝（t﹣45）°，
又∵∠BAC＝（3t﹣135）°＝3（t﹣45）°，
∴∠BAC＝3∠BCD．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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