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期末核心考点 三角形的的证明
一．选择题（共7小题）
1．（2025 普陀区三模）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，BD＝BC，AD＝AE，若要求∠CDE的度数，则只需知道（　　）的度数．
A．∠A B．∠B C．∠ACB D．∠DCE
2．（2025 罗湖区校级模拟）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝5，BD是∠ABC的平分线，设△ABD和△BDC的面积分别是S1，S2，则S1：S2的值为（　　）
A．5：2 B．2：5 C．1：2 D．1：5
3．（2024秋 太康县期末）△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．∠A＝∠B﹣∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．a2＝c2﹣b2 D．a：b：c＝4：5：6
4．（2025春 青岛期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，CE是△ABC的角平分线．若∠BAC＝40°，则∠BEC的度数为（　　）
A．70° B．75° C．105° D．125°
5．（2024秋 丰润区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，∠BAC＝120°，点D是边BC上的任意一点，则AD的长不可能是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．（2024秋 歙县期末）如图，已知AC＝5cm，AD＝9cm，BE是线段CD的垂直平分线，则△ABC的周长为（　　）
A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm
7．（2025春 永寿县校级期中）如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠DAC＝2∠B，CE是AD的垂直平分线，若AD＝4，AC＝6，则BC的长为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．6
二．填空题（共5小题）
8．（2025春 青岛期中）如图，△ABC是等边三角形，与BC平行的直线分别交AB和AC于点D，E，若AD＝2，则DE的长为 　 　 ．
9．（2025 中宁县模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝　 　 ．
10．（2025 翠屏区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若AB＝10，AC＝6，则△ABD的面积为　 　 ．
11．（2024秋 兴庆区校级期末）在直角三角形中，如果一个锐角为30°，而斜边与较小直角边的和为12，那么斜边长为　 　 ．
12．（2024秋 顺城区期末）已知△ABC的三个内角度数之比为1：2：3，若它的最长边为3，则最短边BC长为 　 　 ．
三．解答题（共3小题）
13．（2024秋 太康县期末）如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点E和D，且CB2＝AD2﹣CD2．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）若AC＝4，BC＝3，求CD的长．
14．（2025春 青岛期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，E为CA的延长线上一点，过点E作EF∥AD，分别交AB，BC于点P，F．
（1）求证：△AEP是等腰三角形．
（2）若AD＝BD，求∠E的度数．
15．（2024秋 项城市期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．
（1）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
期末核心考点 三角形的的证明
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 普陀区三模）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，BD＝BC，AD＝AE，若要求∠CDE的度数，则只需知道（　　）的度数．
A．∠A B．∠B C．∠ACB D．∠DCE
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】由等腰三角形的性质得到∠BDC＝90°∠B，∠ADE＝90°∠A，由三角形内角和定理求出∠DCE＝90°∠ACB，∠DCE和∠DCE没有数量关系，于是得到答案．
【解答】解：∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC，
∴∠BDC（180°﹣∠B）＝90°∠B，
同理：∠ADE＝90°∠A，
∴∠ADE+∠BDC＝180°（∠A+∠B），
∴∠DCE＝180°﹣（∠ADE+∠BDC）（∠A+∠B），
故A、B不符合题意；
∵∠DCE（∠A+∠B）（180°﹣∠ACB）＝90°∠ACB，
故C符合题意；
∠DCE和∠DCE没有数量关系，
故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，关键是由等腰三角形的性质推出∠DCE＝90°∠ACB．
2．（2025 罗湖区校级模拟）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝5，BD是∠ABC的平分线，设△ABD和△BDC的面积分别是S1，S2，则S1：S2的值为（　　）
A．5：2 B．2：5 C．1：2 D．1：5
【考点】角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】B
【分析】过D点作DE⊥BC于E，根据角平分线的性质得到DE＝DA，然后利用三角形的面积公式求S1：S2的值．
【解答】解：过D点作DE⊥BC于E，如图，
∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，DA⊥AB，
∴DE＝DA，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
3．（2024秋 太康县期末）△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．∠A＝∠B﹣∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．a2＝c2﹣b2 D．a：b：c＝4：5：6
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可．
【解答】解：A、∠A＝∠B﹣∠C，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，则∠B＝90°，是直角三角形，不符合题意；
B、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，是直角三角形，不符合题意；
C、由a2＝c2﹣b2，得a2+b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，不符合题意；
D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形的判定，掌握勾股定理的逆定理是解题关键．
4．（2025春 青岛期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，CE是△ABC的角平分线．若∠BAC＝40°，则∠BEC的度数为（　　）
A．70° B．75° C．105° D．125°
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】B
【分析】先利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：∠ACB＝∠B＝70°，然后利用角平分线的定义可得∠ACE＝35°，再利用三角形的外角性质进行计算，即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ACB＝∠B70°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE∠ACB＝35°，
∵∠BEC是△ACE的一个外角，
∴∠BEC＝∠A+∠ACE＝75°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
5．（2024秋 丰润区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，∠BAC＝120°，点D是边BC上的任意一点，则AD的长不可能是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】含30度角的直角三角形；垂线段最短；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】过点A作AD′⊥BC 于D′，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠B，再根据含30度角的直角三角形的性质求出AD′，再根据垂线段最短解答即可．
【解答】解：如图，过点A作AD′⊥BC 于D′，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C（180°﹣120°）＝30°，
在Rt△ABD′中，AB＝12，∠B＝30°，
则AD′AB12＝6，
根据垂线段最短可知：AD的最小值为6，
∴AD的长不可能是5，
故选：A．
【点评】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
6．（2024秋 歙县期末）如图，已知AC＝5cm，AD＝9cm，BE是线段CD的垂直平分线，则△ABC的周长为（　　）
A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】根据BE是线段CD的垂直平分线得出BC＝BD，将△ABC周长转化为AC+AD即可．
【解答】解：∵BE是线段CD的垂直平分线，AC＝5cm，AD＝9cm，
∴BC＝BD
∴△ABC的周长为：AC+AB+BC＝AC+AB+BD＝AC+AD＝14（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键．
7．（2025春 永寿县校级期中）如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠DAC＝2∠B，CE是AD的垂直平分线，若AD＝4，AC＝6，则BC的长为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．6
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到CD＝CA＝6，得到∠CAD＝∠CDA，根据三角形的外角性质得到∠B＝∠DAB，得到DB＝AD＝4，计算即可．
【解答】解：∵CE是AD的垂直平分线，AC＝6，
∴CD＝CA＝6，
∴∠CAD＝∠CDA，
∵∠DAC＝2∠B，
∴∠CDA＝2∠B，
∵∠CDA＝∠B+∠DAB，
∴∠B＝∠DAB，
∴DB＝AD＝4，
∴BC＝BD+CD＝4+6＝10，
故选：A．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
二．填空题（共5小题）
8．（2025春 青岛期中）如图，△ABC是等边三角形，与BC平行的直线分别交AB和AC于点D，E，若AD＝2，则DE的长为 　2　 ．
【考点】等边三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】2．
【分析】先利用等边三角形的性质可得∠A＝∠B＝∠C＝60°，再利用平行线的性质可得∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°，从而可得△ADE是等边三角形，然后利用等边三角形的性质即可解答．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°，
∴∠A＝∠ADE＝∠AED＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝DE＝AE＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
9．（2025 中宁县模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝　115°　 ．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据等边对等角得出∠B＝∠C，根据∠BAC＝130°即可求出∠C的度数，由DA⊥AC得出∠DAC＝90°，从而求出∠ADC的度数，问题得解．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C（等边对等角），
∵∠BAC＝130°，
∴，
∵DA⊥AC，
∴∠DAC＝90°，
∴∠ADC＝90°﹣25°＝65°，
∴∠ADB＝180°﹣∠ADC＝180°﹣65°＝115°，
所以∠ADB的度数为115°．
故答案为：115°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，关键是等腰三角形性质的熟练掌握．
10．（2025 翠屏区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若AB＝10，AC＝6，则△ABD的面积为　15　 ．
【考点】角平分线的性质；勾股定理；作图—基本作图；三角形的面积．
【专题】推理能力．
【答案】15．
【分析】作DQ⊥AB，由作图知AP平分∠BAC，据此得CD＝DQ，再根据勾股定理得出BC，然后根据三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：如图，过点D作DQ⊥AB于点Q．
∵以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，
∴AP平分∠BAC，
∴CD＝DQ，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，
，
∴，
∵S△ABC＝S△ACD+S△ABD，
，
即，
∴CD＝DQ＝3，
∴．
故答案为：15．
【点评】本题主要考查作图—基本作图及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线上的点到角两边的距离相等的性质．
11．（2024秋 兴庆区校级期末）在直角三角形中，如果一个锐角为30°，而斜边与较小直角边的和为12，那么斜边长为　8　 ．
【考点】含30度角的直角三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】设较小的直角边是x，则根据直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半得到斜边是2x，根据题意得x+2x＝12，然后即可求出斜边．
【解答】解：设较小的直角边是x，
则斜边是2x，
根据题意得x+2x＝12，
∴x＝4，
∴2x＝8．
所以斜边长是8．
【点评】此题主要是运用了在直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半的性质．
12．（2024秋 顺城区期末）已知△ABC的三个内角度数之比为1：2：3，若它的最长边为3，则最短边BC长为 　　 ．
【考点】含30度角的直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】．
【分析】先根据三个内角的度数之比为1：2：3求出三个内角的度数，可得△ABC是含30°的直角三角形，然后根据30度角所对的直角边等于斜边的一半进行解答．
【解答】解：根据题意，设三个内角分别是k，2k，3k，
则k+2k+3k＝180°，
解得k＝30°，
∴这个三角形的三个内角分别是30°，60°，90°，
∴它的最短边与最长边之比为：1：2（30度角所对的直角边等于斜边的一半）．
∵最长边为3，
∴最短边BC的长为，
故答案为：．
【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的边的关系，求出三角形三个内角的度数是解题的关键，也是突破口．
三．解答题（共3小题）
13．（2024秋 太康县期末）如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点E和D，且CB2＝AD2﹣CD2．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）若AC＝4，BC＝3，求CD的长．
【考点】勾股定理的逆定理；线段垂直平分线的性质；勾股定理．
【专题】证明题；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）CD的长为．
【分析】（1）连接BD，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求解；
（2）设CD＝x，则AD＝BD＝4﹣x，在Rt△BCD中，根据BD2﹣CD2＝BC2列出方程计算即可求解．
【解答】（1）证明：连接BD，
∵AB边上的垂直平分线为DE，
∴AD＝BD，
∵CB2＝AD2﹣CD2，
∴CB2＝BD2﹣CD2，
∴CB2+CD2＝BD2，
∴∠C＝90°；
（2）解：设CD＝x，则AD＝BD＝4﹣x，
在Rt△BCD中，BD2﹣CD2＝BC2，
∴（4﹣x）2﹣x2＝32，
解得：x，
∴CD的长为．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，注意方程思想的运用．
14．（2025春 青岛期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，E为CA的延长线上一点，过点E作EF∥AD，分别交AB，BC于点P，F．
（1）求证：△AEP是等腰三角形．
（2）若AD＝BD，求∠E的度数．
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）45°．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质及平行线的性质推出∠E＝∠APE，根据等腰三角形的判定定理即可得解；
（2）根据等腰三角形的性质定理、三角形内角和定理及平行线的性质求解即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，BD＝CD，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF∥AD，
∴∠E＝∠CAD，∠APE＝∠BAD，
∴∠E＝∠APE，
∴AE＝AP，
∴△AEP是等腰三角形；
（2）解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD＝BD＝CD，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，
∵∠B+∠BAD+∠C+∠CAD＝180°，
∴∠B＝∠BAD＝∠C＝∠CAD＝45°，
∴∠E＝∠CAD＝45°．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质，熟记等腰三角形的判定定理是解题的关键．
15．（2024秋 项城市期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．
（1）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
【考点】等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．
【专题】探究型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）首先根据已知条件可以证明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性质可以求出∠ADO的度数，由此即可判定△AOD的形状；
（2）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD，
而△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，
∵∠ACB＝∠OCD＝60°，
∴∠BCO＝∠ACD，
在△BOC与△ADC中，
∵，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠BOC＝∠ADC，
而∠BOC＝α＝150°，∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°，
∴△ADO是直角三角形；
（2）∵设∠CBO＝∠CAD＝a，∠ABO＝b，∠BAO＝c，∠CAO＝d，
则a+b＝60°，b+c＝180°﹣110°＝70°，c+d＝60°，
∴b﹣d＝10°，
∴（60°﹣a）﹣d＝10°，
∴a+d＝50°，
即∠DAO＝50°，
①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，
∴190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°；
②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO，
∴110°+80°+60°+α＝360°
∴α＝110°；
③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD，
110°+50°+60°+α＝360°，
∴α＝140°．
所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质和旋转的性质等知识，根据旋转前后图形不变是解决问题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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