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期末核心考点 全等三角形的判定与性质
一．选择题（共7小题）
1．（2025 路桥区二模）如图，在3×3的正方形网格中，线段AB，CD的端点均在格点上，则∠1和∠2的数量关系是（　　）
A．∠1+∠2＝180° B．∠1＝∠2
C．∠2＝∠1+90° D．∠2＝2∠1
2．（2024秋 太康县期末）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD，AC，BD交于点M，关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　）
结论Ⅰ：AC＝BD；
结论Ⅱ：∠CMD＞∠COD
A．Ⅰ对，Ⅱ错 B．Ⅰ错，Ⅱ对 C．1，Ⅱ都对 D．Ⅰ，Ⅱ都错
3．（2024秋 歙县期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，BD＝CF，BE＝CD，则∠EDF的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．30°
4．（2024秋 三门峡期末）如图，△ABC中，D是AB上一点，E是AC的中点，D，E，F三点共线，添加一个条件______，使得DE＝EF．下列选项不正确的是（　　）
A．AB∥CF B．∠ADF＝∠F C．∠A＝∠ACF D．AD＝CF
5．（2024秋 济宁期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　）
A．1m B．1.6m C．1.8m D．1.4m
6．（2025春 城关区校级期中）如图，AB⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为B、E，∠1＝∠2，AD＝AB，则下列结论正确的（　　）
A．∠1＝∠EFD B．BD＝EC C．BF＝CD D．FD∥BC
7．（2025春 历下区期中）如图，点B，C，D三点在同一直线上，且AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD．若∠1+∠2+∠3＝100°，则∠3的度数为（　　）
A．45° B．50° C．55° D．60°
二．填空题（共5小题）
8．（2024秋 醴陵市期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B、C作经过点A的直线的垂线段BD、CE，若BD＝6cm，CE＝8cm，则DE的长为　 　 cm．
9．（2024秋 信丰县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动 　 　 s时，CF＝AB．
10．（2024秋 单县期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D，E，AD，CE相交于点H，EH＝EB＝6，AE＝9，则CH的长为 　 　 ．
11．（2024秋 辉县市期末）如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条互相平行的直线l1，l2，l3，l4上，这四条直线中，相邻两条之间的距离依次为h1，h2，h3，若h1＝4，h2＝2，则正方形ABCD的面积S等于 　 　 ．
12．（2025春 西安期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为线段BC上的一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交AC于点E，以下三个结论：①∠DEC＝∠BDA；②若AB＝DC，则AD＝DE；③当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的是 　 　 .（填序号）
三．解答题（共3小题）
13．（2025 张店区二模）如图1，△ABC和△DFE，点E，B，F，C在同一条直线上，已知AB＝DF，AB∥DF，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）如图2，连接AE，CD，请判断四边形AEDC的形状，并说明理由．
14．（2024秋 阳新县期末）如图，点B，C分别在射线AM，AN上，点E，F都在∠MAN内部的射线AD上，已知AB＝AC，且∠BED＝∠CFD＝∠BAC．
（1）求证：△ABE≌△CAF；
（2）试判断EF，BE，CF之间的数量关系，并说明理由．
15．（2024秋 贵池区期末）【问题提出】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
【问题探究】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ADC≌△EDB”的推理过程．
（1）求证：△ADC≌△EDB．
证明：延长AD到点E，使DE＝AD，
∵D是BC的中点（已知），
∴CD＝BD（中点定义），
在△ADC和△EDB中，
∵，
∴△ADC≌△EDB（ 　 　 ）．
（2）探究得出AD的取值范围是 　 　 ；
【问题解决】
如图2，△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE＝6，且∠ADE＝90°，求AE的长．
期末核心考点 全等三角形的判定与性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 路桥区二模）如图，在3×3的正方形网格中，线段AB，CD的端点均在格点上，则∠1和∠2的数量关系是（　　）
A．∠1+∠2＝180° B．∠1＝∠2
C．∠2＝∠1+90° D．∠2＝2∠1
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】A
【分析】利用SAS证明△ABM≌△DCN，根据全等三角形的性质求出∠ABM＝∠1，再根据邻补角定义求解即可．
【解答】解：如图，
在△ABM和△DCN中，
，
∴△ABM≌△DCN（SAS），
∴∠ABM＝∠1，
∵∠ABM+∠2＝180°，
∴∠1+∠2＝180°，
故选：A．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
2．（2024秋 太康县期末）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD，AC，BD交于点M，关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　）
结论Ⅰ：AC＝BD；
结论Ⅱ：∠CMD＞∠COD
A．Ⅰ对，Ⅱ错 B．Ⅰ错，Ⅱ对 C．1，Ⅱ都对 D．Ⅰ，Ⅱ都错
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】A
【分析】根据已知条件可知三角形的全等，根据全等三角形的性质可知边相等，对应的高相等，再根据三角形的内角和即可求出角的大小．
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
∴∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD，故结论Ⅰ正确；
∵△AOC≌△BOD，
∴∠OCA＝∠MDO，
∴∠MDC＝∠MDO+∠ODC，
∴∠OCD＝∠OCA+∠MCD，
∵∠COD＝180°﹣（∠OCD+∠ODC），∠CMD＝180°﹣（∠MDC+∠MCD），
∴∠CMD＝180°﹣（∠MDO+∠ODC+∠MCD），∠COD＝180°﹣（∠OCE+∠MCD+∠ODC），
∴∠CMD＝∠COD，故结论Ⅱ错误．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形对应性质和判定定理是解题的关键．
3．（2024秋 歙县期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，BD＝CF，BE＝CD，则∠EDF的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．30°
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】B
【分析】由SAS证明△BDE≌△CFD，得出∠BDE＝∠CFD，∠EDF可由180°与∠BDE、∠CDF的差表示，进而求解即可．
【解答】解：在△BDE与△CFD中，
，
∴△BDE≌△CFD（SAS）；
∴∠BDE＝∠CFD，
∴∠EDF＝180°﹣（∠BDE+∠CDF）＝180°﹣（∠CFD+∠CDF）＝180°﹣（180°﹣∠C）＝50°；
故选：B．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
4．（2024秋 三门峡期末）如图，△ABC中，D是AB上一点，E是AC的中点，D，E，F三点共线，添加一个条件______，使得DE＝EF．下列选项不正确的是（　　）
A．AB∥CF B．∠ADF＝∠F C．∠A＝∠ACF D．AD＝CF
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】根据添加的条件去证明△ADE≌△CFE，从而可证明DE＝EF，据此利用全等三角形的判定定理逐一判断即可．
【解答】解：∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
添加条件AB∥CF，则∠A＝∠ECF，∠ADE＝∠F，
在△ADE笔△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴DE＝EF，
故A正确，不符合题意；
添加条件∠ADF＝∠F，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴DE＝EF，
故B正确，不符合题意；
添加条件∠A＝∠ACF，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（ASA），
∴DE＝EF，
故C正确，不符合题意；
添加条件AD＝CF，不能证明DE＝EF，故D错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
5．（2024秋 济宁期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　）
A．1m B．1.6m C．1.8m D．1.4m
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】证明△OBD≌△COE（AAS），得OE＝BD＝1.4m，OD＝CE＝1.8m，即可解决问题．
【解答】解：∵∠BOC＝90°，
∴∠BOD+∠COE＝90°，
由题意可知，OB＝CO，DA＝1m，BD⊥OA，CE⊥OA，
∵∠BDO＝∠OEC＝90°，
∴∠BOD+∠OBD＝90°，
∴∠COE＝∠OBD，
在△OBD和△COE中，
，
∴△OBD≌△COE（AAS），
∴OE＝BD＝1.4m，OD＝CE＝1.8m，
∴AE＝OA﹣OE＝OD+DA﹣OE＝1.8+1﹣1.4＝1.4（m），
即小丽距离地面的高度是1.4m，
故选：D．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
6．（2025春 城关区校级期中）如图，AB⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为B、E，∠1＝∠2，AD＝AB，则下列结论正确的（　　）
A．∠1＝∠EFD B．BD＝EC C．BF＝CD D．FD∥BC
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】三角形；图形的全等；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】延长DF∠AB于点H，连接BD，CF，依据“SAS”可判定△AFD和△AFB全等得∠ADF＝∠ABF，DF＝BF，进而可依据“ASA”判定△EDF和△HBF全等，则∠FED＝∠FHB＝90°，由此得FD∥BC，据此可对选项D进行判断；对于选项A，由∠EDF＝∠ABF，∠AFE＞∠ABF得∠AFE＞∠EDF再根据∠1+∠AFE＝90°，∠EFD+∠EDF＝90°得∠1＜∠EFD，据此可对选项A进行判断；对于选项B，根据已知条件无法判定BD＝EC，据此可对选项B进行判断；对于选项C，根据已知条件无法判定∠DFC＝∠DCF，则无法判定DF＝CD，再根据DF＝BF可得出无法判定BF＝CD，据此可对选项C进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：延长DF∠AB于点H，连接BD，CF，如图所示：
∵AB⊥BC，BE⊥AC，
∴∠FED＝∠ABC＝90°，
在△AFD和△AFB中，
，
∴△AFD≌△AFB（SAS），
∴∠ADF＝∠ABF，DF＝BF，
即∠EDF＝∠HBF，
在△EDF和△HBF中，
，
∴△EDF≌△HBF（ASA），
∴∠FED＝∠FHB＝90°，
∴∠FHB+∠ABC＝180°，
∵FH∥BC，
即 FD∥BC，
故选项D正确，符合题意；
对于选项A，
∵∠EDF＝∠ABF，∠AFE＞∠ABF
∴∠AFE＞∠EDF
又∵∠1+∠AFE＝90°，∠EFD+∠EDF＝90°，
∴∠1＜∠EFD，
故选项A不正确，不符合题意；
对于选项B，
根据已知条件无法判定BD＝EC，
故选项B不正确，不符合题意；
对于选项C，
根据已知条件无法判定∠DFC＝∠DCF，
∴无法判定DF＝CD，
又∵DF＝BF，
∴无法判定BF＝CD，
故选项C不正确，不符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
7．（2025春 历下区期中）如图，点B，C，D三点在同一直线上，且AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD．若∠1+∠2+∠3＝100°，则∠3的度数为（　　）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】B
【分析】利用“SAS”证明△ABC和△ADE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠3＝∠1+∠2，然后求解即可．
【解答】解：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠ABC＝∠1，
在△ABC中，由三角形的外角性质得，∠3＝∠ABC+∠BAC＝∠1+∠2，
∵∠1+∠2+∠3＝100°，
∴2∠3＝100°，
∴∠3＝50°．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
8．（2024秋 醴陵市期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B、C作经过点A的直线的垂线段BD、CE，若BD＝6cm，CE＝8cm，则DE的长为　14　 cm．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】14．
【分析】利用垂直的定义得到∠BDA＝∠AEC，由平角的定义及同角的余角相等得到∠ABD＝∠CAE，利用AAS证得△ABD≌△CAE，再由全等三角形对应边相等得到DB＝AE＝6cm，AD＝CE＝8cm，由DE＝AD+AE即可求出DE长．
【解答】解：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴DB＝AE＝6cm，CE＝AD＝8cm，
则DE＝AD+AE＝8+6＝14（厘米），
故答案为：14．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据平角的定义及同角的余角相等证得∠ABD＝∠CAE是解决问题的关键．
9．（2024秋 信丰县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动 　2或5　 s时，CF＝AB．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先证明△CEF≌△ACB（AAS），得出CE＝AC＝7cm，①当点E在射线BC上移动时，BE＝CE+BC＝10cm，即可求出E移动了5s；②当点E在射线CB上移动时，CE′＝AC﹣BC＝4cm，即可求出E移动了2s．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠CBD＝90°，
∵CD为AB边上的高，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD+∠CBD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵∠BCD＝∠ECF，
∴∠ECF＝∠A，
∵过点E作BC的垂线交直线CD于点F，
∴∠CEF＝90°＝∠ACB，
在△CEF和△ACB中，
，
∴△CEF≌△ACB（AAS），
∴CE＝AC＝7cm，
①如图，当点E在射线BC上移动时，BE＝CE+BC＝7+3＝10（cm），
∵点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，
∴E移动了：5（s）；
②当点E在射线CB上移动时，CE′＝AC﹣BC＝7﹣3＝4（cm），
∵点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，
∴E移动了：2（s）；
综上所述，当点E在射线CB上移动5s或2s时，CF＝AB；
故答案为：2或5．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练正确全等三角形的判定和性质是解题的关键．
10．（2024秋 单县期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D，E，AD，CE相交于点H，EH＝EB＝6，AE＝9，则CH的长为 　2　 ．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先利用等角的余角相等得到∠BAD＝∠BCE，则可根据“AAS”证明△BCE≌△HAE，则CE＝AE＝6，然后计算CE﹣HE即可．
【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠BEC＝∠ADB＝90°，
∵∠BAD+∠B＝90°，∠BCE+∠B＝90°，
∴∠BAD＝∠BCE，
在△BCE和△HAE中，
，
∴△BCE≌△HAE（AAS），
∴CE＝AE＝9，
∴CH＝CE﹣HE＝9﹣6＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
11．（2024秋 辉县市期末）如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条互相平行的直线l1，l2，l3，l4上，这四条直线中，相邻两条之间的距离依次为h1，h2，h3，若h1＝4，h2＝2，则正方形ABCD的面积S等于 　52　 ．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】过A点作AF⊥l3分别交l2、l3于点E、F，过C点作CH⊥l2分别交l2、l3于点H、G，根据正方形的性质和平行线的性质，证△ABE≌△CDG即可；易证△ABE≌△BCH≌△CDG≌△DAF，且两直角边长分别为h1、h1+h2，四边形EFGH是边长为h2的正方形，所以S＝（h1+h2）2，将h1＝4，h2＝2代入，即可解决问题．
【解答】证明：如图，过A点作AF⊥l3分别交l2、l3于点E、F，过C点作CH⊥l2分别交l2、l3于点H、G，
∵四边形ABCD是正方形，l1∥l2∥l3∥l4，
∴AB＝CD，∠ABE+∠HBC＝90°，
∵CH⊥l2，
∴∠BCH+∠HBC＝90°，
∴∠BCH＝∠ABE，
同理可得，∠BCH＝∠CDG，
∴∠ABE＝∠CDG，
∵∠AEB＝∠CGD＝90°，
在△ABE和△CDG中，
，
∴△ABE≌△CDG（AAS），
∴AE＝CG，
即h1＝h3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∵∠AEB＝∠DFA＝∠BHC＝∠CGD＝90°，∠ABE＝∠FAD＝∠BCH＝∠CDG，
∴△AEB≌△DAF≌△BCH≌△CGD，且两直角边长分别为h1、h1+h2，
∴四边形EFGH是边长为h2的正方形，
∴正方形ABCD的面积S＝4h1（h1+h2）22h1h2（h1+h2）2，
∵h1＝4，h2＝2，
∴S＝（h1+h2）236+16＝52．
故答案为：52．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、直角三角形的性质，本题的关键在于作好辅助线，根据已知找到全等三角形即可．
12．（2025春 西安期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为线段BC上的一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交AC于点E，以下三个结论：①∠DEC＝∠BDA；②若AB＝DC，则AD＝DE；③当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的是 　①②③　 .（填序号）
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】①②③．
【分析】①根据三角形外角的性质即可得到∠BAD＝∠CDE；
②利用AAS证明△ABD≌△DCE，根据全等三角形的性质求出AD＝DE；
③结合三角形内角和定理、等腰三角形的判定求出AD＝DE，利用AAS证明△ABD≌△DCE（AAS），根据全等三角形的性质求出BD＝CE．
【解答】解：①∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝40°，∴∠BAD＝∠CDE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
由三角形内角和定理知：∠DEC＝∠BDA，
故①正确，符合题意；
②∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
由①知：∠DEC＝∠BDA，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
∴AD＝DE，
故②正确，符合题意；
③∵∠BAD＝30°，∠B＝40°，
∴∠BDA＝180﹣30°﹣40°＝110°，
∴∠DEC＝110°，
∴∠AED＝180°﹣110°＝70°，
∴∠EAD＝180°﹣40°﹣70°＝70°＝∠AED，
∴AD＝DE，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
∴BD＝CE，
故③正确，符合题意；
综上正确符合题意的有①②③，
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，计算各角的度数是解题的关键．
三．解答题（共3小题）
13．（2025 张店区二模）如图1，△ABC和△DFE，点E，B，F，C在同一条直线上，已知AB＝DF，AB∥DF，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）如图2，连接AE，CD，请判断四边形AEDC的形状，并说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）四边形AEDC是平行四边形，理由见解答过程．
【分析】（1）根据平行线的性质求出∠ABC＝∠DFE，利用ASA证明△ABC≌△DFE即可；
（2）根据全等三角形的性质求出AC＝ED，∠ACE＝∠DEC，则AC∥ED，再根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”求解即可．
【解答】（1）证明：∵AB∥DF，
∴∠ABC＝∠DFE，
在△ABC和△DFE中，
∴△ABC≌△DFE（ASA）；
（2）解：四边形AEDC是平行四边形，理由如下：
∵△ABC≌△DFE，
∴AC＝ED，∠ACE＝∠DEC，
∴AC∥ED，
∴四边形AEDC是平行四边形．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
14．（2024秋 阳新县期末）如图，点B，C分别在射线AM，AN上，点E，F都在∠MAN内部的射线AD上，已知AB＝AC，且∠BED＝∠CFD＝∠BAC．
（1）求证：△ABE≌△CAF；
（2）试判断EF，BE，CF之间的数量关系，并说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题；图形的全等；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据已知和三角形外角性质求出∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，根据ASA证两三角形全等即可；
（2）结合（1）△ABE≌△CAF，可得AE＝CF，BE＝AF，进而根据线段的和差即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，
∴∠ABE＝∠CAF，
同理：∠BAE＝∠ACF，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（ASA）；
（2）EF+CF＝BE，理由如下：
∵△ABE≌△CAF，
∴AE＝CF，BE＝AF，
∵AE+EF＝AF，
∴CF+EF＝BE．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，解本题的关键是得到△ABE≌△CAF．
15．（2024秋 贵池区期末）【问题提出】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
【问题探究】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ADC≌△EDB”的推理过程．
（1）求证：△ADC≌△EDB．
证明：延长AD到点E，使DE＝AD，
∵D是BC的中点（已知），
∴CD＝BD（中点定义），
在△ADC和△EDB中，
∵，
∴△ADC≌△EDB（ 　SAS　 ）．
（2）探究得出AD的取值范围是 　1＜AD＜7　 ；
【问题解决】
如图2，△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE＝6，且∠ADE＝90°，求AE的长．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；运算能力．
【答案】（1）SAS；
（2）1＜AD＜7；
（3）AE＝9．
【分析】（1）根据对顶角相等可得理由，再结合三角形的判定方法可得答案；
（2）根据全等三角形的性质可得AC＝BE＝6，再结合三角形的三边关系可得答案；
（3）延长AD交EC于点F，证明△ABD≌△FCD，根据全等性质得CF＝BA，AD＝DF，利用∠ADE＝90°，结合线段的垂直平分线的性质即可求得答案．
【解答】证明：延长AD到点E，使DE＝AD，
∵D是BC的中点（已知），
∴CD＝BD（中点定义），
在△ADC和△EDB中，
∵，
∴△ADC≌△EDB（SAS）；
（2）由题意可得：AC＝BE＝6，
∴8﹣6＜AE＜8+6，
∴2＜2AD＜14，
∴1＜AD＜7．
（3）延长AD交EC于点F，如图：
∵∠B＝90°，CE⊥BC，
∴∠ABC＝∠DCF
在△ABD和△FCD中．
∴△ABD≌△FCD（ASA），
∴CF＝BA＝3，AD＝DF，
∴AE＝FE，
∴AE＝CE+CF＝9．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是作辅助线．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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