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期末核心考点 相交线与平行线
一．选择题（共7小题）
1．（2025 吉安县一模）光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，矩形ABFE为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点D，折射后照到水槽底部的点C．测得α＝40°，β＝30°，若P、D、B三点在同一条直线上，则∠BDC的度数为（　　）
A．40° B．30° C．20° D．10°
2．（2025春 昌乐县校级期中）古代房梁建筑中多采用“四梁八柱”的设计，其中蕴含着数学知识，将房梁中的一些图形抽象出如图所示的几何模型．在三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，DF∥AC，∠C＝∠EDF，则下列结论错误的是（　　）
A．DE∥BC B．∠ADE＝∠B
C．∠BFD＝∠AED D．∠B+∠CED＝180°
3．（2025 佛山一模）将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，若∠1＝50°，则下列正确的是（　　）
A．∠5＝130° B．∠4＝40° C．∠3＝140° D．∠2＝40°
4．（2025 南山区校级一模）为方便市民绿色出行，我市推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝50°，当∠MAC为（　　）度时，AM平行于支撑杆CE．
A．15 B．60 C．70 D．115
5．（2024秋 萧县期末）如图，将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起，若∠BOD＝α，则∠AOC一定可以表示为（　　）
A．2α B．180°﹣α C．90°+α D．360°﹣4α
6．（2025春 沈阳期中）若一个角的余角比它的补角的少20°，则这个角的度数是（　　）
A．30° B．40° C．45° D．60°
7．（2025 雁塔区校级模拟）一束平行于主光轴的光线（AB∥OF1）射向凹透镜，点F1，F2均为焦点．光线经过凹透镜后折射方向如图所示，若∠1＝132°，则∠2的度数为（　　）
A．45° B．48° C．50° D．52°
二．填空题（共5小题）
8．（2024秋 铁锋区期末）如图，∠AOB＝90°，直线CD经过点O，∠AOC＝130°，则∠BOD＝ 　 　 ．
9．（2024秋 衡东县期末）如图，将三个三角板直角顶点重叠在一起，公共的直角顶点为点B，若∠ABE＝45°，∠GBH＝30°，那么∠FBC的度数为　 　 ．
10．（2025 东台市一模）如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上．已知∠HFB＝19°，∠FED＝55°，则∠GFH的度数为 　 　 ．
11．（2025 淮安一模）如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2＝44°，那么∠1的度数是　 　 ．
12．（2025春 台州校级期中）如图摆放的一副学生用直角三角板，∠E＝60°，∠B＝45°，AB与DE相交于点G，当EF∥BC时，则∠EGB的度数是　 　 ．
三．解答题（共3小题）
13．（2025春 市南区校级期中）如图，已知四边形CFBE，点A在BE的延长线上，点D在BF的延长线上，连接AD交CE，FC于点G，H，若∠AGE＝∠D，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠CHG．
14．（2024秋 埇桥区期末）如图，点B、C在线段AD异侧，E、F分别是线段AB、CD上的点，EC和BF分别交AD于点G和点H．已知∠AEG＝∠AGE，∠DGC＝∠C，∠BEC+∠BFD＝180°．求证：EC∥BF．
15．（2025春 广东校级期中）综合与实践
【探索发现】
（1）已知：如图，∠BAP＝40°，∠APC＝75°，∠PCD＝35°，求证：AB∥CD．
【深入思考】
（2）某条河流的两岸各安置了一盏旋转探照灯．如图所示，PQ∥MN，灯A的光线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B的光线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒3度，灯B转动的速度是每秒2度．如果灯B的光线先转动10秒，灯A的光线才开始转动，那么在灯B的光线到达BQ之前，灯A转动几秒时，两灯的光束互相平行？
【拓展延伸】
（3）如图，在（2）的条件下，“如果灯B的光线先转动10秒”改为“两灯同时转动”，在灯A的光线到达AN之前，若两灯射出的光束交于点C，过C作∠ACD＝135°，CD交PQ于点D，∠MAB＝135°，则在转动过程中，请求出∠BAC与∠BCD的数量关系．
期末核心考点 相交线与平行线
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 吉安县一模）光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，矩形ABFE为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点D，折射后照到水槽底部的点C．测得α＝40°，β＝30°，若P、D、B三点在同一条直线上，则∠BDC的度数为（　　）
A．40° B．30° C．20° D．10°
【考点】对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】根据“对顶角相等”得∠BDC+β＝α，代入数据求解即可．．
【解答】解：根据“对顶角相等”得∠BDC+β＝α，
∵α＝40°，β＝30°，
∴∠BDC＝α﹣β＝10°，
故选：D．
【点评】本题主要考查对顶角，熟练掌握该知识点是关键．
2．（2025春 昌乐县校级期中）古代房梁建筑中多采用“四梁八柱”的设计，其中蕴含着数学知识，将房梁中的一些图形抽象出如图所示的几何模型．在三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，DF∥AC，∠C＝∠EDF，则下列结论错误的是（　　）
A．DE∥BC B．∠ADE＝∠B
C．∠BFD＝∠AED D．∠B+∠CED＝180°
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】根据DF∥AC，可得∠C＝DFB，由∠C＝∠EDF，等量代换得到∠DFB＝∠EDF，进而推出DE∥BC，再结合平行线的性质逐一判断即可．
【解答】解：∵DF∥AC，
∴∠C＝DFB（两直线平行，同位角相等），
∵∠C＝∠EDF，
∴∠DFB＝∠EDF（等量代换），
∴DE∥BC，故选项A正确，不符合题意；
∴∠ADE＝∠B（两直线平行，同位角相等），故选项B正确，不符合题意；
∴∠AED＝∠C，
∴∠AED＝∠BFD，故选项C正确，不符合题意；
∴∠B+∠BDE＝180°，
∵∠CED与∠BDE不一定相等，
∴∠B+∠CED不一定等于180°，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，关键是平行线判定定理及性质的熟练掌握．
3．（2025 佛山一模）将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，若∠1＝50°，则下列正确的是（　　）
A．∠5＝130° B．∠4＝40° C．∠3＝140° D．∠2＝40°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】由邻补角的性质求出∠3＝130°，由平行线的性质推出∠2＝∠1＝50°，∠5+∠4＝180°，由平角定义得到∠4＝40°，求出∠5＝140°．
【解答】解：∵∠1＝50°，
∴∠3＝180°﹣50°＝130°，
故C不符合题意；
∵纸条的上下两边平行，
∴∠2＝∠1＝50°，∠5+∠4＝180°，
故D不符合题意；
∵∠4＝180°﹣90°﹣50°＝40°，
∴∠5＝140°，
故A不符合题意，B符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠2＝∠1＝50°，∠5+∠4＝180°．
4．（2025 南山区校级一模）为方便市民绿色出行，我市推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝50°，当∠MAC为（　　）度时，AM平行于支撑杆CE．
A．15 B．60 C．70 D．115
【考点】平行线的性质；平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】C
【分析】先利用平行线的性质可得∠ABC＝∠BCD＝60°，从而利用三角形内角和定理可得：∠ACB＝70°，然后利用内错角相等，两直线平行即可解答．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD＝60°，
∵∠BAC＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝70°，
∴当∠MAC＝∠ACB＝70°时，AM平行于支撑杆CE，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
5．（2024秋 萧县期末）如图，将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起，若∠BOD＝α，则∠AOC一定可以表示为（　　）
A．2α B．180°﹣α C．90°+α D．360°﹣4α
【考点】余角和补角；角的概念．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】B
【分析】根据余角的定义先求出∠AOD，再根据角的和差即可得出答案．
【解答】解：∵∠BOD＝α，∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOD＝90°﹣∠BOD＝90°﹣α，
∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝90°﹣α+90°＝180°﹣α．
故选：B．
【点评】本题考查了余角的定义，熟练掌握余角的定义是解题的关键．
6．（2025春 沈阳期中）若一个角的余角比它的补角的少20°，则这个角的度数是（　　）
A．30° B．40° C．45° D．60°
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】B
【分析】设这个角的度数为α，则它的余角为90°﹣α，它的补角为180°﹣α，根据题意列出方程，解出α即可解答．
【解答】解：设这个角的度数为α，
由题意得，，
解得：α＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查了余角和补角的定义、一元一次方程的应用，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键．
7．（2025 雁塔区校级模拟）一束平行于主光轴的光线（AB∥OF1）射向凹透镜，点F1，F2均为焦点．光线经过凹透镜后折射方向如图所示，若∠1＝132°，则∠2的度数为（　　）
A．45° B．48° C．50° D．52°
【考点】平行线的性质；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】首先根据邻补角的定义求出∠ABF1，然后根据平行线的性质求出∠2．
【解答】解：∵∠1＝132°，
∴∠ABF1＝180°﹣132°＝48°，
∵AB∥OF1，
∴∠2＝∠ABF1＝48°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质以及邻补角的定义，解题的关键是熟练运用平行线的性质．
二．填空题（共5小题）
8．（2024秋 铁锋区期末）如图，∠AOB＝90°，直线CD经过点O，∠AOC＝130°，则∠BOD＝ 　40°　 ．
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】由平角定义得到∠AOD＝180°﹣∠AOC＝50°，再由角的和差求解即可得到答案．
【解答】解：∵直线CD经过点O，∠AOC＝130°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝50°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOD＝90°﹣∠AOD＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查几何图形中求角度，根据图形，数形结合，准确识别图形是解决问题的关键．
9．（2024秋 衡东县期末）如图，将三个三角板直角顶点重叠在一起，公共的直角顶点为点B，若∠ABE＝45°，∠GBH＝30°，那么∠FBC的度数为　15°　 ．
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据∠ABE＝45°，由角的和差关系求出∠CBG，再根据∠GBH＝30°，由角的和差关系求出∠FBG，最后根据∠FBC＝∠FBG﹣∠CBG进行计算即可．
【解答】解：∵∠ABE＝45°，
∴∠CBE＝45°，
∴∠CBG＝45°，
∵∠GBH＝30°，
∴∠FBG＝60°，
∴∠FBC＝∠FBG﹣∠CBG＝60°﹣45°＝15°．
故答案为：15°．
【点评】此题考查了余角和补角，角的计算，关键是根据已知条件求出角的度数，要能根据图形找出角之间的关系．
10．（2025 东台市一模）如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上．已知∠HFB＝19°，∠FED＝55°，则∠GFH的度数为 　36°　 ．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】36°．
【分析】先根据两直线平行，同位角相等得出∠GFB＝∠FED＝55°，再根据∠GFH＝∠GFB﹣∠HFB计算即可．
【解答】解：∵AB∥CD，∠FED＝55°，
∴∠GFB＝∠FED＝55°，
∵∠HFB＝19°，
∴∠GFH＝∠GFB﹣∠HFB＝55°﹣19°＝36°．
故答案为：36°．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
11．（2025 淮安一模）如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2＝44°，那么∠1的度数是　16°　 ．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】见试题解答内容
【分析】依据∠ABC＝60°，∠2＝44°，即可得到∠EBC＝16°，再根据BE∥CD，即可得出∠1＝∠EBC＝16°．
【解答】解：如图，∵∠ABC＝60°，∠2＝44°，
∴∠EBC＝16°，
∵BE∥CD，
∴∠1＝∠EBC＝16°，
故答案为：16°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
12．（2025春 台州校级期中）如图摆放的一副学生用直角三角板，∠E＝60°，∠B＝45°，AB与DE相交于点G，当EF∥BC时，则∠EGB的度数是　105°　 ．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】105°．
【分析】过点G作HG∥BC，则有∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E，又因为∠E＝60°，∠B＝45°，有∠EGB＝∠HGE+∠HGB，即可得出答案．
【解答】解：过点G作HG∥BC，
由条件可知GH∥BC∥EF，
∴∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E，
由条件可知∠EGB＝∠HGE+∠HGB＝60°+45°＝105°，
故答案为：105°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟练掌握该知识点是关键．
三．解答题（共3小题）
13．（2025春 市南区校级期中）如图，已知四边形CFBE，点A在BE的延长线上，点D在BF的延长线上，连接AD交CE，FC于点G，H，若∠AGE＝∠D，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠CHG．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】见解析．
【分析】先证明GE∥BD，得出∠C＝∠CFD，进而得出∠B＝∠CFB，再证明CF∥AB，最后根据平行线的性质即可得证．
【解答】证明：∵∠AGE＝∠D，
∴GE∥BD（同位角相等，两直线平行），
∴∠C＝∠CFD（两直线平行，内错角相等），
又∠B＝∠C，
∴∠B＝∠CFB，
∴CF∥AB，
∴∠A＝∠CHG．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，关键是平行线判定定理及性质的熟练掌握．
14．（2024秋 埇桥区期末）如图，点B、C在线段AD异侧，E、F分别是线段AB、CD上的点，EC和BF分别交AD于点G和点H．已知∠AEG＝∠AGE，∠DGC＝∠C，∠BEC+∠BFD＝180°．求证：EC∥BF．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】见解析．
【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】证明：∵∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC，∠AGE＝∠DGC，
∴∠AEG＝∠C，
∴AB∥CD；
∴∠B＝∠BFD，
∵∠BEC+∠BFD＝180°，
∴∠B+∠BEC＝180°，
∴BF∥CE．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行的判定和性质定理是解题的关键．
15．（2025春 广东校级期中）综合与实践
【探索发现】
（1）已知：如图，∠BAP＝40°，∠APC＝75°，∠PCD＝35°，求证：AB∥CD．
【深入思考】
（2）某条河流的两岸各安置了一盏旋转探照灯．如图所示，PQ∥MN，灯A的光线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B的光线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒3度，灯B转动的速度是每秒2度．如果灯B的光线先转动10秒，灯A的光线才开始转动，那么在灯B的光线到达BQ之前，灯A转动几秒时，两灯的光束互相平行？
【拓展延伸】
（3）如图，在（2）的条件下，“如果灯B的光线先转动10秒”改为“两灯同时转动”，在灯A的光线到达AN之前，若两灯射出的光束交于点C，过C作∠ACD＝135°，CD交PQ于点D，∠MAB＝135°，则在转动过程中，请求出∠BAC与∠BCD的数量关系．
【考点】平行线的判定与性质；一元一次方程的应用．
【专题】推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）20或68秒；
（3）∠BAC＝3∠BCD．
【分析】（1）过P作PQ∥AB，根据平行线的性质求出∠QPA＝∠BAP＝40°，根据角的和差关系可求出∠CPQ＝35°＝∠DCP，根据平行线的判定可得PQ∥CD，最后根据平行线的传递性即可得证；
（2）设灯A转动t秒时，两灯的光束互相平行，分灯A的光线到达AN之前和之后两种情况讨论，根据平行线的性质构造关于t的方程求解即可；
（3）根据题意，得∠PBC＝（2t）°，∠MAC＝（3t）°，根据平行线的性质得出∠PBA＝∠MAB＝135°，由角的和差关系求出∠BAC＝（3t﹣135）°，∠ABC＝（135﹣2t）°，根据三角形内角和定理求出∠ACB＝（180﹣t）°，由角的和差关系求出∠BCD＝（t﹣45）°，即可求解．
【解答】（1）证明：过P作PQ∥AB，
∴∠QPA＝∠BAP＝40°，
∵∠APC＝75°，
∴∠CPQ＝∠APC﹣∠APQ＝35°，
∵∠DCP＝35°，
∴∠CPQ＝∠DCP，
∴PQ∥CD，
又∵PQ∥AB，
∴AB∥CD；
（2）解：灯A的光线从AM开始顺时针旋转至AN所用时间为180÷3＝60秒，灯B的光线从BP开始顺时针旋转至BQ所用时间为180÷2＝90秒，
设灯A转动t秒时，两灯的光束互相平行，
当0＜t≤60时，设AM′与PQ交于M′，如图，
∵PQ∥MN，
∴∠PM′A＝∠MAM′＝（3t）°，
∵AM′∥BP′，
∴∠MAM′＝∠PBP′＝2（t+10）°，
∴3t＝2（t+10），
解得t＝20；
当60＜t≤90﹣10，即60＜t≤80时，设AM′与PQ交于M′，如图，
∵PQ∥MN，
∴∠PM′A＝∠MAM′＝180×2﹣3t＝（360﹣3t）°，
∵AM′∥BP′，PQ∥MN，
∴四边形AM′BP′是平行四边形，
∴∠MAM′＝∠PBP′＝2（t+10）°，
∴360﹣3t＝2（t+10），
解得t＝68；
综上，当灯A转动20或68秒时，两灯的光束互相平行；
（3）解：∵灯A转动的速度是每秒3度，灯B转动的速度是每秒2度，
∴∠PBC＝（2t）°，∠MAC＝（3t）°，
∵PQ∥MN，
∴∠PBA＝∠MAB＝135°（两直线平行，内错角相等），
∴∠BAC＝∠MAC﹣∠MAB＝（3t﹣135）°，∠ABC＝∠PBA﹣∠PBC＝（135﹣2t）°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣（3t﹣135）°﹣（135﹣2t）°＝（180﹣t）°，
∵∠ACD＝135°，
∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝（t﹣45）°，
又∵∠BAC＝（3t﹣135）°＝3（t﹣45）°，
∴∠BAC＝3∠BCD．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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