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2025年河南省普通高中招生名校联考三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列四个数中，最小的数是（ ）
A． B．0 C．1 D．
2．榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，如图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．深度求索是一家专注于研究世界领先的通用人工智能底层模型与技术、挑战人工智能前沿性难题的创新型科技公司，的芯片在每秒可以处理数据的同时，执行580万亿次浮点运算，数据580万亿可用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是的直径，，则（ ）
A． B． C． D．
5．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．4
6．为方便市民绿色出行，我市推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，当为（　　）度时，平行于支撑杆．
A．15 B．60 C．70 D．115
7．围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为入口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB＝CG＝EF；弯道为以点O为圆心的一段弧，且，，所对的圆心角为90o．甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以10m/s的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系如图2所示．结合题目信息，下列说法正确的是（　　）
A．甲车在立交桥上共行驶9s
B．从F口出比从G口出多行驶40m
C．甲车从F口出，乙车从G口出
D．立交桥总长为120m
9．如图是铺设在人行道上地板砖的一部分，它由正六边形和菱形无缝隙镶嵌而成．为各多边形顶点，已知正六边形的边长为，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，．的垂直平分线分别交于点，将绕点逆时针旋转得到，旋转角为．连接，．当是直角三角形时，旋转角的度数为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
二、填空题
11．因式分解： ．
12．如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点，与地面垂直于点，，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度为 ．
13．如图，在矩形中，，．连接，在和上分别截取，使，分别以点E和点F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线交于点H，则线段的长是 ．
14．“黄金螺旋线”是一种优美的螺旋曲线，它是用半径不同，圆心角是的扇形的弧线画出来的．如图，第五步是由半径分别为1，1，2，3，5厘米，圆心角是的弧线组成；则画完第五步后这条“黄金螺旋线”的长度是 厘米．
15．如图，在平行四边形中，，点从点出发，以的速度沿匀速运动，点同时从点出发，以的速度沿匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，图是的面积（cm2）随时间（s）变化的函数图象（图中为线段）， ；当的面积为时，运动时间为 ．
三、解答题
16．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
17．随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
配送速度和服务质量得分统计表：
项目 统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分
平均数 中位数 平均数 方差
甲 7.8 m 7
乙 8 8 7
(1)补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角α的度数为______；
(2)表格中的____，_____（填“”“”或“”）；
(3)综合表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择哪家公司？请说明理由．
18．如图，线段、相交于点．且，于点．
(1)尺规作图：过点作的垂线，垂足为点、连接、；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母）
(2)若，请判断四边形的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问）
19．如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与y轴交于点C．
(1)求反比例函数和一次函数解析式；
(2)连接，求的面积；
(3)如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标．
20．【问题情境】数学活动课上老师提到我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩之便对公园里的摩天轮进行实地调研．摩天轮位于儿童公园内，摩天轮上均匀分布60个吊舱，顺时针旋转一周需要20分钟．
【实践过程】小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度和所用的时间的数据，并绘制图象如图1．
【问题研究】请根据图1中信息回答：
（1）摩天轮最高点距地面______（米），摩天轮最低点距地面______（米）；
（2）求摩天轮的半径；
【问题解决】如图2，摩天轮从点旋转到点需6分钟，且两点与地面距离相等，即．
（3）若距离地面82米以上能够获得最佳观赏效果，试问摩天轮从点旋转到点的全过程中是否能够获得最佳观赏效果，并说明理由．（结果精确到0.1米，参考数据，，）
21．《哪吒2魔童闹海》票房大卖，相关的玩偶也跟着热销，小郑准备在网上开设一家玩偶专卖店，已知用600元购买款哪吒玩偶的个数与用900元购买款哪吒玩偶个数相等，且款哪吒玩偶单价比款哪吒玩偶单价多3元．
(1)，款哪吒玩偶每个各多少元？
(2)试营业时计划购买款哪吒玩偶共200个，其中款哪吒玩偶的数量不超过款哪吒玩偶数量的，求购买款哪吒玩偶多少个时，购买这批玩偶总费用最低，最低费用是多少元？
22．图1是张带智能发球机的乒乓球桌，它可以自定义设置球的落点、速度、弧度及旋转方式，能更真实地模拟实战．图2是发球机从中线OB的端点O的正上方处的A点发球，球呈抛物线在正上方飞行，当飞行的水平距离为时，达到最高点M，其高度为．以O为原点，，所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系．

(1)求图2中抛物线的表达式．
(2)记图2中的落球点为点E，则的长为多少？
(3)图3是为了更好地模拟与人对打，将出球方向改变，调整成两跳球的方式，即球从点A落到点D，再反弹过网落下，反弹后球呈抛物线飞行，且形状与图2中的抛物线形状保持不变，但反弹后的最高高度变为．若最后球也落在点E，则的长为多少？
23．我校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，发现直角三角形斜边上的高分得的两个三角形与原三角形都相似，从而进行了深入研究．
（一）拓展探究如图1，在中，，，垂足为，
（1）兴趣小组的同学得出了三个结论：①，②，③．请选择其中一个进行证明．
（2）如图2，为线段延长线上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由．
（二）学以致用
（3）如图3，是直角三角形，，，，平面内一点，满足，，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，请直接写出线段的长．
2025年河南省普通高中招生名校联考三模数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C D B C C B B D
1．A
【详解】解：这四个数的大小关系为，
则在这四个数中，最小的数是，
故选：A．
2．A
【详解】
解：由题意，得：“卯”的俯视图为：．
故选A．
3．C
【详解】解：580万亿；
故选C．
4．D
【详解】解：，
，
．
故选：D．
5．B
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴；
故选B．
6．C
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
故选：C．
7．C
【详解】画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中两次摸到相同颜色的棋子的结果数为5种，
∴两次摸到相同颜色的棋子的概率，
故选：C．
8．B
【详解】解：由图象可知，甲车驶出立交桥时，一共行驶的时间为3+2+3＝8（s），故选项A不合题意；
根据两车运行路线，从F口驶出比从G口多走，弧长之和，用时为4s，则走40m，故选项B符合题意；
甲车先驶出立交桥，乙车后驶出立交桥，所以甲车从G口出，乙车从F口出，故选项C不合题意；
图中立交桥总长为：3×3×10+3×2×10＝150（m），故选项D不合题意，
故选：B．
9．B
【详解】解：如图，连接、，，，过作于点，
由正六边形的性质得，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴，即点、、共线，
同理：点、、共线，
∴、、、共线，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
同理：，
∴，，
∴，
同理可得，
∴四边形是菱形，是等边三角形，
∵，
∴，，
∴四边形的面积为．
故选∶．
10．D
【详解】解：在中，，，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，，
∴，
如图所示，当与重合，与重合时，由得，即是直角三角形，
∴与重合，则；
如图所示，当与重合，与重合时，由得，即是直角三角形，
∴与重合，则；
故选：D．
11．
【详解】解：
．
故答案为：．
12．60
【详解】解：如图，过作垂直于地面，
∵O是的中点，垂直于地面，垂直于地面，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴另一端B离地面的高度为，
故答案为：60．
13．
【详解】解：过H作于Q，如图，
在矩形中，，，,
∴，
由作图得：平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，设，有，
即：，
解得：，
∴,
∴，
故答案为：．
14．
【详解】解：∵“黄金螺旋线”是半径大小不同，圆心角是的扇形的弧线画出来的，
第一步中的扇形的半径是1厘米，
∴（厘米），
∴它的弧线长是厘米；
结合图形，得第二步中所画的弧线长也是厘米；
第三步，半径是（厘米），
∴第三步中所画的弧线长为（厘米）；
第四步，半径是（厘米），
∴第四步中所画的弧线长为（厘米）；
第五步，半径是（厘米），
∴第五步中所画的弧线长为（厘米）；
∴画完第五步后这条“黄金螺旋线”的长度是．
故答案为：．
15．
【详解】解：由图、图可知，当时，点与点重合，当时，点在上运动，而点继续在上运动，
∵四边形是平行四边形，点、点的速度都是，
∴，；
∵，
∴，
∴，
当时，如图，作，交的延长线于点，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，则，
解得；
当时，如图，作，交的延长线于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，则，
解得，不合题意，舍去；
综上，；
故答案为：，．
16．（1）；（2），
【详解】解：（1）
；
（2）
，
，
，
当时，原式．
17．(1)图见解析，
(2)7.5，
(3)选择乙公司，理由见解析．
【详解】（1）解：甲公司配送速度得分为9分的频数为．
补全频数分布直方图如图所示．
扇形统计图中圆心角α的度数为．
（2）解：由频数分布直方图可得，．
由甲、乙快递公司配送服务质量得分折线统计图知，甲公司的得分数据比乙公司的得分数据波动小，
∴．
故答案为：；＜．
（3）解：选择乙公司．
理由：乙公司配送速度得分的平均数和中位数都高于甲公司，说明乙公司的整体配送速度较快（答案不唯一，合理即可）．
18．(1)见解析
(2)四边形是平行四边形，理由见解析
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
19．(1)；
(2)4
(3)点E的坐标为
【详解】（1）解：将代入反比例函数，
解得，
∴，
将代入，
得，
将，点代入，
，解得，
∴；
（2）解：设一次函数与x轴交于点D，
令，则，令，则，
∴的面积
；
；
（3）解：设点，又，
由旋转知：为等腰直角三角形，
∴，
解得，
∴.
20．（1）108，3；（2）摩天轮的半径是52.5米；（3）从点旋转到点的全过程能够获得最佳观赏效果．
【详解】解：（1）图象的最高点对应的的值是108，最低点对应的的值是3米，
摩天轮最高点距地面108米，最低点距离地面3米．
故答案为：108，3；
（2）摩天轮最高点距地面108米，最低点距离地面3米，
摩天轮的直径是米，
摩天轮的半径是52.5米．
答：摩天轮的半径是52.5米；
（3）摩天轮顺时针旋转一周需要20分钟，摩天轮从点旋转到点需6分钟，
所对圆心角的度数．
连接，作于点．
．
，，
．
，
（米）．
点到地面的距离为：（米）．
，
从点旋转到点的全过程能够获得最佳观赏效果．
21．(1)、款哪吒玩偶每个各6元和9元
(2)购买款哪吒玩偶50个时，购买这批哪吒玩偶总费用最低，最低费用是1650元
【详解】（1）解：设款哪吒玩偶每个元，则款哪吒玩偶每个元．
根据题意，得，
解得．
经检验，是原分式方程的解，
则（元），
、款哪吒玩偶每个各6元和9元．
（2）解：设购买款哪吒玩偶个，则购买款哪吒玩偶个，
款哪吒玩偶的数量不超过款哪吒玩偶数量的，
，
解得，
，且为正整数．
根据题意，购买这批哪吒玩偶总费用，
，
随的增大而减小，
，且为正整数，
当时，取最小值，此时，
即购买款哪吒玩偶50个时，购买这批哪吒玩偶总费用最低，最低费用是1650元．
22．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：建立如图2、3所示的直角坐标系，

则点A、M的坐标分别为、，
设抛物线的表达式为：，
将点A的坐标代入上式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：令，
解得：（舍去）或，
即；
（3）解：设点，
由（2）知点，
设抛物线的表达式为：，
则，
解得：（不合题意的值已舍去），
即长为.
23．（1）见解析；（2）是直角三角形；理由见解析；（3）
【详解】解：（1）选①证明：，，
，
，
，
，
；
选②证明：，，
，
，
，
，
；
选③证明：，，
，
，
，
，
，
；
（2）是直角三角形；理由如下：
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形；
（3）线段的长为．理由如下：
是直角三角形，，，，如图，过作交的延长线于，
过作交于，过作交于，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
解得：，
是定值，且是定值，
在直线上运动，
当时，取得最小值，
此时与重合，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
故当线段的长度取得最小值时，线段的长为．

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