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中考核心考点 无理数与实数
一．选择题（共10小题）
1．（2025春 雷州市二模）下列式子正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025春 天山区二模）13的平方根是（　　）
A． B． C． D．169
3．（2025春 綦江区二模）估计的大小在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
4．（2025 重庆）已知四个整式分别为：x﹣2，x﹣1，x+1，x+2；若对这四个整式中的一个添加绝对值符号或多个分别添加绝对值符号（注：绝对值里面无绝对值，即不出现多重绝对值）后再求和称为一次“防御操作”；例如：|x﹣2|+x﹣1+x+1+x+2为一次“防御操作”，|x﹣2|+x﹣1+|x+1|+x+2为一次“防御操作”等；则以下表述正确的个数是（　　）
①对于任意的实数x，存在某种“防御操作”使得化简结果恒为0；
②对于特殊“防御操作”：|x﹣2|+|x﹣1|+|x+1|+|x+2|的最小值是6；
③共有15种不同的“防御操作”．
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2025 南安市一模）下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C．3.14 D．
6．（2025春 惠城区二模）若，则（x+y）2024等于（　　）
A．﹣1 B．1 C．32023 D．﹣32023
7．（2025春 包河区二模）在实数3.1415926，，π+1，，2025，0.，0，﹣0.030030003…（两个3之间依次增加一个0）中，无理数的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2025春 海珠区二模）如图，三角形的直角边分别对应数为﹣1和1，则数轴上点A所表示的数a的值是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025春 江津区二模）如图，面积为2的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为﹣2，若AD＝AE，则数轴上点E所表示的数为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025春 鼓楼区二模）已知，，则（　　）
A．38.73 B．387.3 C．12.25 D．122.5
二．填空题（共5小题）
11．（2025春 宁河区二模）（1）的相反数是 　 　 ；
（2） 　 　 ．
12．（2025春 天山区二模）的立方根是 　 　 ，的算术平方根是 　 　 ．
13．（2025春 红桥区二模）已知a2＝36，b3＝27，则a+b的值是　 　 ．
14．（2025 深圳）如图，从一个大正方形中截去面积为15cm2和24cm2的两个小正方形后剩余部分（阴影部分）的面积为　 　 ．
15．（2025春 思明区二模）阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成问题．
证明：设不是无理数而是有理数，那么存在两个互质的正整数P，q，使得，于是，两边平方，得_____．
∴p2含有因数5，设p＝5m，∴_____，
∴_____，∴q2含有因数5，∴_____，
这样P，q有公因数5，不互质，这与假设P，q互质矛盾．这个矛盾说明，不能写成分数的形式，
所以不是有理数而是无理数．
将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是　 　 （填上序号）．
①q2＝5m2；②25m2＝5q2；③q含有因数5；④p2＝5q2．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春 新市区二模）木工李师傅现有一块面积为144m2的正方形胶合板做装饰材料用，他准备沿着边的方向裁出一块面积为120m2的长方形装饰材料，且其长、宽之比为3：2．李师傅的方案是否可行？请说明理由．
17．（2025春 西安二模）将下列各数近似地表示在数轴上，并用“＜”把它们连接起来．
，|﹣4|，，．
18．（2025春 宁河区二模）已知正数x的两个平方根分别为2﹣a和2a+1，的整数部分为b．
求：（1）a，x，b的值；
（2）的值．
19．（2025春 重庆二模）【课本再现】据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，要求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，华罗庚讲述了下列的计算过程：
第一步：因为103＝1000，1003＝1000000，1000＜59319＜1000000，．所以59319的立方根是两位数
第二步：因为59319的个位上的数是9，而在0～9中，只有9的立方的个位上的数是9，所以59319的立方根的个位上的数是9．
第三步：划去59319后面的三位319得到数59，而33＝27，43＝64，27＜59＜64，所以的十位上的数是3．综上，可得．
【方法迁移】
第一步：103＝1000，1003＝1000000，则15625的立方根是 　 　 位数；
第二步：15625个位上的数字是5，则15625的立方根个位上的数字是 　 　 ；
第三步：如果划去15625后面的三位“625”得到数15，而23＝8，33＝27，由此可确定15625的立方根十位上的数字是 　 　 ，
因此15625的立方根是 　 　 ．
【解决问题】
（1）将上述过程补充完整；
（2）现在换一个数300763，你能按这种方法得出它的立方根吗？如果能，请求出它的立方根，并写出必要的推理过程．
20．（2025春 黄埔区二模）已知2a﹣5的平方根是±3，b+2的立方根是2，c是的整数部分，求a+b+c的平方根．
中考核心考点 无理数与实数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025春 雷州市二模）下列式子正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】平方根；算术平方根；立方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】D
【分析】利用算术平方根及立方根的性质一一判断即可．
【解答】解：A、，
故该选项式子错误，不符合题意；
B、，
故该选项式子错误，不符合题意；
C、，
故该选项式子错误，不符合题意；
D、，
故该选项式子正确，符合题意，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平方根，算术平方根，立方根，熟练掌握相关计算公式是解题的关键．
2．（2025春 天山区二模）13的平方根是（　　）
A． B． C． D．169
【考点】平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】根据平方根的定义即可求解．
【解答】解：根据平方根的定义可知：13的平方根是，
故选：A．
【点评】本题考查了平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．
3．（2025春 綦江区二模）估计的大小在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【考点】估算无理数的大小．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】先估算出，进而可得．
【解答】解：∵16＜21＜25，
∴，
∴，
故选：B．
【点评】本题主要考查了无理数的估算，解答本题的关键是熟练运用逼近法估算无理数大小．
4．（2025 重庆）已知四个整式分别为：x﹣2，x﹣1，x+1，x+2；若对这四个整式中的一个添加绝对值符号或多个分别添加绝对值符号（注：绝对值里面无绝对值，即不出现多重绝对值）后再求和称为一次“防御操作”；例如：|x﹣2|+x﹣1+x+1+x+2为一次“防御操作”，|x﹣2|+x﹣1+|x+1|+x+2为一次“防御操作”等；则以下表述正确的个数是（　　）
①对于任意的实数x，存在某种“防御操作”使得化简结果恒为0；
②对于特殊“防御操作”：|x﹣2|+|x﹣1|+|x+1|+|x+2|的最小值是6；
③共有15种不同的“防御操作”．
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】实数的性质；绝对值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】①当x＞2时，四个整式中不论一个添加绝对值符号或多个分别添加绝对值符号，求和后结果均大于0；
②利用绝对值的几何意义求解即可；
③四个整式中的一个添加绝对值符号或多个分别添加绝对值符号，再求和即可．
【解答】解：①当x＞2时，四个整式中不论添加一个或多个绝对值符号，去绝对值后再求和，结果均为x﹣2+x﹣1+x+1+x+2＝4x＞0，
故①错误；
②|x﹣2|+|x﹣1|+|x+1|+|x+2|}表示数轴上表示x的点到表示2，1，﹣1，﹣2的点的距离之和，
所以当﹣1≤x≤1时，|x﹣2|+|x﹣1|+|x+1|+|x+2|的值最小，最小值为6，
故②正确；
③共有15种不同的“防御操作”，依次为：
|x﹣2|+x﹣1+x+1+x+2，x﹣2+|x﹣1|+x+1+x+2，x﹣2+x﹣1+|x+1|+x+2，x﹣2+x﹣1+x+1+|x+2|，|x﹣2|+|x﹣1|+x+1+x+2，|x﹣2|+x﹣1+|x+1|+x+2，|x﹣2|+x﹣1+x+1+|x+2|，x﹣2+|x﹣1|+|x+1|+x+2，x﹣1+|x﹣1|+x+1+|x+2|，x﹣2+x﹣1+|x+1|+|x+2|，x﹣2+|x﹣1|+|x+1|+|x+2|，|x﹣2|+x﹣1+|x+1|+|x+2|，|x﹣2|+|x﹣1|+x+1+|x+2|，|x﹣2|+|x﹣1|+|x+1|+x+2，|x﹣2|+|x﹣1|+|x+1|+|x+2|，
故③正确．
故选：C．
【点评】本题考查了实数的性质，绝对值，熟练掌握去绝对值及其几何意义，读懂“防御操作”的定义是解题的关键．
5．（2025 南安市一模）下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C．3.14 D．
【考点】无理数；算术平方根；立方根．
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】根据无理数的定义，逐项分析即可得出答案．
【解答】解：A、是有理数，不是无理数，不符合题意；
B、是无理数，符合题意；
C、3.14是有理数，不是无理数，不符合题意；
D、，所以是有理数，不是无理数，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了无理数、立方根，熟记无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
6．（2025春 惠城区二模）若，则（x+y）2024等于（　　）
A．﹣1 B．1 C．32023 D．﹣32023
【考点】非负数的性质：算术平方根；代数式求值；非负数的性质：偶次方．
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】根据非负数的性质求出x＝1，y＝﹣2，再将其值代入（x+y）2024计算即可．
【解答】解：∵，
∴x﹣1＝0，y+2＝0，
∴x＝1，y＝﹣2，
∴（x+y）2024＝（1﹣2）2024＝1，
故选：B．
【点评】此题考查了代数式求值，算术平方根的非负性，根据非负数的性质求出x、y的值是解题的关键．
7．（2025春 包河区二模）在实数3.1415926，，π+1，，2025，0.，0，﹣0.030030003…（两个3之间依次增加一个0）中，无理数的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】无理数；算术平方根；立方根．
【专题】实数；数感．
【答案】C
【分析】根据无限不循环小数叫无理数，进行分析判断即可．
【解答】解：3.1415926为有限小数，是有理数，，2025，0为整数，是有理数，
为无限循环小数，是有理数，
，π+1，﹣0.030030003 （两个3之间依次增加一个0）为无理数．
故选：C．
【点评】本题考查了无理数的定义，立方根的求解，正确进行计算是解题关键．
8．（2025春 海珠区二模）如图，三角形的直角边分别对应数为﹣1和1，则数轴上点A所表示的数a的值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】实数与数轴．
【专题】实数；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】本题可先根据勾股定理求出直角三角形斜边的长度，该长度等于点A到﹣1这个点的距离，再结合数轴上点的位置关系求出点A所表示的数．
【解答】解：直角三角形的两条直角边分别为2和1，根据勾股定理，斜边上c，
∵点A到﹣1的距离是，设点A表示的数为a，则a﹣（﹣1），
∴a1，
故选：D．
【点评】本题综合考查勾股定理和数轴的知识．通过勾股定理计算出线段长度，再利用数轴上点与点之间的距离关系确定点所表示的数，是对集合与代数知识的融合考查．
9．（2025春 江津区二模）如图，面积为2的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为﹣2，若AD＝AE，则数轴上点E所表示的数为（　　）
A． B． C． D．
【考点】实数与数轴．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】根据正方形的面积，求出AD的长，进而得到AE的长，进而求出点E所表示的数即可．
【解答】解：由条件可知，
∴，
∴数轴上点E所表示的数为；
故选：A．
【点评】本题考查实数与数轴，算术平方根的应用，熟练掌握以上知识点是关键．
10．（2025春 鼓楼区二模）已知，，则（　　）
A．38.73 B．387.3 C．12.25 D．122.5
【考点】算术平方根．
【专题】规律型；数感．
【答案】C
【分析】从数字找规律，即可解答．
【解答】解：∵被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位，
且1.225，
∴12.25，
故选：C．
【点评】本题考查了与算术平方根有关的规律型题目，观察题目，总结规律是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025春 宁河区二模）（1）的相反数是 　　 ；
（2） 　3　 ．
【考点】实数的性质；立方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】；3．
【分析】根据立方根的运算法则及相反数的概念计算即可．
【解答】解：根据立方根的运算法则及相反数的概念可知：
的相反数是：，
故答案为：；
，
故答案为：3．
【点评】本题考查了求一个数的相反数，求一个数的立方根，解题的关键是掌握立方根的运算法则及相反数的概念．
12．（2025春 天山区二模）的立方根是 　　 ，的算术平方根是 　2　 ．
【考点】立方根；算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】；2．
【分析】根据立方根，算术平方根的计算填空即可．
【解答】解：∵，，
∴的算术平方根，
故答案为：；2．
【点评】本题考查了立方根、算术平方根的计算，掌握其计算方法是关键．
13．（2025春 红桥区二模）已知a2＝36，b3＝27，则a+b的值是　9或﹣3　 ．
【考点】立方根；有理数的乘方．
【专题】实数；运算能力．
【答案】9或﹣3．
【分析】根据平方根、立方根定义，求出a、b的值，再分类计算a+b的值即可．
【解答】解：由条件可知a＝±6，b＝3，
当a＝6，b＝3时，a+b＝6+3＝9，
当a＝﹣6，b＝3时，a+b＝﹣6+3＝﹣3，
故答案为：9或﹣3．
【点评】本题考查平方根与立方根，解题的关键是根据平方根、立方根定义，求出a、b的值．
14．（2025 深圳）如图，从一个大正方形中截去面积为15cm2和24cm2的两个小正方形后剩余部分（阴影部分）的面积为　12cm2　 ．
【考点】算术平方根．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意求出阴影部分的面积进而得出答案．
【解答】解：如图所示：由题意可得：AB2（cm），
BC＝BE（cm），
故两个阴影部分面积和为：2（2）＝12（cm2），
故答案为：12（cm2）．
【点评】此题主要考查了二次根式的应用，正确求出阴影部分面积是解题关键．
15．（2025春 思明区二模）阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成问题．
证明：设不是无理数而是有理数，那么存在两个互质的正整数P，q，使得，于是，两边平方，得_____．
∴p2含有因数5，设p＝5m，∴_____，
∴_____，∴q2含有因数5，∴_____，
这样P，q有公因数5，不互质，这与假设P，q互质矛盾．这个矛盾说明，不能写成分数的形式，
所以不是有理数而是无理数．
将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是　④②①③　 （填上序号）．
①q2＝5m2；②25m2＝5q2；③q含有因数5；④p2＝5q2．
【考点】无理数．
【专题】阅读型；运算能力；推理能力．
【答案】④②①③．
【分析】根据题意填空即可．
【解答】解：设不是无理数而是有理数，那么存在两个互质的正整数P，q，使得，于是，两边平方，
得p2＝5q2，
∴p2含有因数5，设p＝5m，
∴25m2＝5q2，
∴q2＝5m2，
∴q2含有因数5，
∴q含有因数5，
这样P，q有公因数5，不互质，这与假设P，q互质矛盾，
这个矛盾说明，不能写成分数的形式，
∴不是有理数而是无理数．
故答案为：④②①③．
【点评】本题主要考查对题意得阅读理解能力，能正确理解题意是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春 新市区二模）木工李师傅现有一块面积为144m2的正方形胶合板做装饰材料用，他准备沿着边的方向裁出一块面积为120m2的长方形装饰材料，且其长、宽之比为3：2．李师傅的方案是否可行？请说明理由．
【考点】算术平方根．
【专题】方案型；应用意识．
【答案】不可行．
【分析】设长方形纸片的长为3x m，则宽为2x m，根据面积为120m2可得长方形纸片的长，然后作出判断即可》
【解答】解：不可行，理由如下设所裁长方形装饰材料的长为3x m、宽为2x m，
则3x 2x＝120，
解得x＝2（负值已舍去），
∴所裁长方形的长为 6m，
∵正方形胶合板的面积为144m2，
∴正方形的边长为12m，
∵612，
∴李师傅的方案不可行．
【点评】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
17．（2025春 西安二模）将下列各数近似地表示在数轴上，并用“＜”把它们连接起来．
，|﹣4|，，．
【考点】实数大小比较；算术平方根；立方根；实数与数轴．
【专题】实数；数感．
【答案】数轴表示见解析，．
【分析】对无理数取近似值，再借助近似值在数轴上确定它们的大至位置即可．然后根据数轴上的数从左到右逐渐增大排列大小．
【解答】解：如图所示：
从小到大排列为：．
【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应的关系是解答此题的关键．
18．（2025春 宁河区二模）已知正数x的两个平方根分别为2﹣a和2a+1，的整数部分为b．
求：（1）a，x，b的值；
（2）的值．
【考点】估算无理数的大小；平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）a＝﹣3，x＝25，b＝3；
（2）﹣29．
【分析】（1）根据题意得到2﹣a+2a+1＝0，解得a＝﹣3，求出x＝[2﹣（﹣3）]2＝25，由32＜15＜42得到，得出b＝3；
（2）将a＝﹣3，x＝25，b＝3代入计算即可．
【解答】解：（1）由条件可知2﹣a+2a+1＝0，
解得a＝﹣3，
∴x＝[2﹣（﹣3）]2＝25，
∵32＜15＜42，
∴，
∵的整数部分为b，
∴b＝3；
（2）由条件可知．
【点评】本题考查了平方根，无理数的估算，代数式求值，根据题意列出方程是解题的关键．
19．（2025春 重庆二模）【课本再现】据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，要求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，华罗庚讲述了下列的计算过程：
第一步：因为103＝1000，1003＝1000000，1000＜59319＜1000000，．所以59319的立方根是两位数
第二步：因为59319的个位上的数是9，而在0～9中，只有9的立方的个位上的数是9，所以59319的立方根的个位上的数是9．
第三步：划去59319后面的三位319得到数59，而33＝27，43＝64，27＜59＜64，所以的十位上的数是3．综上，可得．
【方法迁移】
第一步：103＝1000，1003＝1000000，则15625的立方根是 　2　 位数；
第二步：15625个位上的数字是5，则15625的立方根个位上的数字是 　5　 ；
第三步：如果划去15625后面的三位“625”得到数15，而23＝8，33＝27，由此可确定15625的立方根十位上的数字是 　2　 ，
因此15625的立方根是 　25　 ．
【解决问题】
（1）将上述过程补充完整；
（2）现在换一个数300763，你能按这种方法得出它的立方根吗？如果能，请求出它的立方根，并写出必要的推理过程．
【考点】立方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）2，5，2，25；
（2）能，，推理过程见解析．
【分析】（1）根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数，再确定十位数，即可求得立方根；
（2）利用以上规律求解即可．
【解答】解：（1）第一步：103＝1000，1003＝1000000，则15625的立方根是2位数；
第二步：15625个位上的数字是5，则15625的立方根个位上的数字是5；
第三步：如果划去15625后面的三位“625”得到数15，而23＝8，33＝27，由此可确定15625的立方根十位上的数字是2，因此15625的立方根是25．
故答案为：2，5，2，25；
（2）∵103＝1000，1003＝1000000，1000＜300763＜1000000，
∴，
∵300763的个位上的数是3，只有个位数字是7的数的立方的个位数字是3，
∴的个位数字是7．
如果划去300763后面的三位763得到数300，而63＝216，73＝343，216＜300＜343，
∴，
∴，即的十位数字是6．
∴．
【点评】本题考查了数的立方，解题的关键是理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数．
20．（2025春 黄埔区二模）已知2a﹣5的平方根是±3，b+2的立方根是2，c是的整数部分，求a+b+c的平方根．
【考点】估算无理数的大小；平方根；立方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】±4．
【分析】根据题意，由平方根定义，立方根定义求出a，b的值，由“夹逼法”估算无理数的大小，得出c的值，然后求出a+b+c的值，最后求出a+b+c的平方根即可．
【解答】解：∵2a﹣5的平方根是±3，
∴2a﹣5＝9，
解得：a＝7．
∵b+2的立方根是2，
∴b+2＝8，
解得：b＝6．
∵，
∴，
∴的整数部分是3，即c＝3，
∴a+b+c＝7+6+3＝16，
∴，
∴a+b+c的平方根为±4．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，平方根，立方根，掌握估算无理数大小的方法，平方根，立方根定义是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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