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2025年福建省福州市第一中学九年级校模拟考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某运动项目的比赛规定，胜一场记作“＋1”分，平局记作“0”分，如果某队得到“－1”分，则该队在比赛中（ ）
A．与对手打成平局 B．输给对手 C．打赢了对手 D．无法确定
2．据第七次全国人口普查公报，钢仁市2020年常住人口约为3300000人，则可以将数据3300000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．在下列几何体中，从正面看到的图形是三角形的是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．球 D．长方体
4．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．要调查某校学生周日的睡眠时间，下列选取调查对象中最合适的是（ ）
A．随机选取该校一个班级的学生 B．随机选取该校100名男生
C．随机选取该校一个年级的学生 D．在该校各年级中随机选取100名学生
6．如图，已知在四边形中，对角线交于点O，且，要使四边形是矩形，添加一个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线过点和点，则和的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
8．一种药品原价每盒16元，经过两次涨价后每盒25元．设两次涨价的百分率都为x，则x满足（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，半径为6的扇形中，，C是上一点，，，垂足分别为D，E，若，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
10．小明发现某些函数图像上的三点满足如下性质：对于任意非零实数k，存在位于y轴同侧的A、B、C三点，使这三点“横坐标之和”与“纵坐标之积”异号．下列函数不具备该性质的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．五边形的内角和为 ．
12．不等式的解集为 ．
13．如图，已知，则等于 ．
14．若是方程的根，则代数式的值是 ．
15．如图为两个边长为1的正方形组成的格点图，点A，B，C，D都在格点上，AB，CD交于点P，则 ．
16．如图1的螺丝钉由头部（直六棱柱）和螺纹（圆柱）组合而成，其俯视图如图2所示．在“测量螺丝钉半径”的综合与实践活动中，小吴想出了一种测量方法：将刻度尺紧靠螺纹放置，经过点且交于点，量得长为毫米，并测得正六边形的边长为毫米，则螺纹的直径为 毫米．
三、解答题
17．计算：．
18．如图，，求证：．
19．先化简，再求值：，其中．
20．已知：如图，在四边形中，，点E为边上一点，与分别为和的平分线．
(1)作线段的垂直平分线交于点O，并以为直径作（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，连接，当，求证：四边形是菱形．
21．有三个购房者在售楼部进行抽签选房，在一个不透明的盒子中，共有标号为1至3的3个小球，除颜色外其他完全相同．买房者按照到达的先后顺序迸行抽签，不放回地从盒中抽球，将球的编号作为最终选房的顺序（如抽到2号球的人第2个选房）
(1)第一个抽签的人第1个选房的概率为_____．
(2)有买房者质疑这种选房规则，认为先抽签的人第一个选房的概率更大．请判断这种说法是否正确？用概率知识并结合树状图说明理由．
22．“千载竹艺，万缕竹篾”满载着手艺的传承和传统民族文化的魅力．用细竹篾编织的罩子，横截面可以近似的看成一个抛物线形状．已知其宽度厘米，最高点（抛物线的顶点）到的距离为30厘米．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；
(2)如果罩子紧贴桌面，罩内盘子放成一排，试通过计算说明罩子下面能放下2个直径为27厘米，高度为6厘米的盘子吗？
23．福州鼓山位于福建省福州市，主峰海拔米，总面积达平方千米，有今古名山之称，蓬莱左股之誉，是第四批国家级风景名胜区．小庄在五一长假来福州旅游，在登鼓山之前，通过查找资料做了以下的旅游攻略：
材料1：鼓山拥有丰富的登山路线，以下是几条经典的路线：
路线1——古道登山路线：该路线从廨院出发，途经喝水岩、十八景等点，最终到达涌泉寺（山顶），全程石板路，路程约4千米．
路线2——松之恋线：起点为廨院（松之恋登山道入口与廨院相近），终点为涌泉寺，全程约千米．该路线坡度较缓，适合休闲出行．
路线3——骑行线：起点为山脚下院（与廨院起点相近），沿盘山公路骑行，终点为涌泉寺，全程约千米．该路线为公路，适合快速上下山．
材料2：对于陡峭路线（如古道），下山速度通常是上山速度的倍到倍；对于平缓路线（如松之恋线），下山速度通常是上山速度的倍到倍；对于骑行路线（公路），下山骑行速度大约是上山骑行速度的倍．
材料3：在登山前，小庄参照自己一年来的登山的具体时长整理到表格中：
山名 路线名称 长度（） 登山时长
武夷山 天游峰登山步道 分钟
泉州清源山 主步道 小时
龙岩冠豸山 石门湖→长寿亭步道 小时
宁德太姥山 悬空栈道环线 小时小时
假设小庄的上山步行速度千米/时恒定，下山速度基于路线类型和方式确定．他在登山时从廨院出发，沿选择一条路线至涌泉寺，然后再选择一条下山路线返回起点．
(1)若小庄选择骑行线上下山，整个行程用时一小时，求小庄上山骑行的速度；
(2)若小庄从廨院步行至涌泉寺，再步行返回，请你设计小庄的一条步行路线（例如：从某路线上山，从某路线下山），使他以材料三中任意合理的速度上、下山时，整个行程的总时间都不超过小时，并说明理由．
24．曲线的应用是广泛的，在历史的长涧中，借助它能够研究许多著名几何问题，如倍立方体问题．初三某班的数学学习小组尝试对反比例函数相关的几何问题进行探究：
(1)如图1，A、C是反比例函数图像上的两点，A、C的横坐标分别是和3，以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，求证：对角线所在直线经过原点．
(2)如图2，P是第一象限内一点，射线与反比例函数图像交于点A，以A为圆心，为半径作圆，交反比例函数图像于点C，以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，连接，点M在x轴正半轴上．请探究：与满足怎样的数量关系，并证明．
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，请探究：是否存在点A，使；若存在，求此时的面积，若不存在，说明理由．
25．已知，是圆的弦且交于同一点．
(1)若是圆的直径，为圆上一点．
①如图，是垂直于的直径，和关于直线对称，连接，证明：；
②如图，过的中点，，连接，证明：．
(2)如图，过的中点，连接交于、，判断的数量关系并证明．
2025年福建省福州市第一中学九年级校模拟考数学试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A B D B B C A C
1．B
【详解】解：由题意可知：胜一场记作“＋1”分，平局记作“0”分，
∴某队得到“－1”分，则球队比赛输给了对手．
故选：B．
2．D
【详解】解：，
故选：D．
3．A
【详解】解：圆锥从正面看是三角形，圆柱从正面看是矩形，球从正面看是是圆，长方体从正面看是矩形．
故选：A
4．B
【详解】解：，
故选：B．
5．D
【详解】解：要调查某校学生周日的睡眠时间，最合适的是在该校各年级中随机选取100名学生．
故选：D．
6．B
【详解】解：∵，，
∴四边形是矩形，
故选：B．
7．B
【详解】解：直线过点和点，
，
随的增大而减小，
，
，
故选：B．
8．C
【详解】解：∵一种药品原价每盒16元，经过两次涨价后每盒25元．设两次涨价的百分率都为x，
∴，
故选：C
9．A
【详解】解：连接，如图所示，
，，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，和全等，
，
故选：A．
10．C
【详解】解：∵对于任意非零实数k，存在位于轴同侧的、、三点，使这三点“横坐标之和”与“纵坐标之积”异号；
∴具备该性质的函数需满足，对于任意非零实数k，函数图象经过第二象限或者第四象限，
∵当时，的图象经过第一、二、三象限，
当时，的图象经过第一、二、四象限，
∴选项A不符合题意；
∵当时，的图象经过第一、二象限，
当时，的图象经过第三、四象限，
∴选项B不符合题意；
∵当时，的图象经过第一、三象限，
当时，的图象经过第二、四象限，
∴选项C符合题意；
∵当时，的图象经过第一、二象限，
当时，的图象经过第三、四象限，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
11．/度
【详解】解：五边形的内角和，
故答案为：．
12．/
【详解】解：
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
故答案为：．
13．/33度
【详解】解：，
，
，
．
故答案为：．
14．
【详解】解：是方程的根，
，即，
，
故答案为：．
15．3
【详解】解：如图，过点D作DH⊥BP于点H，
∵正方形边长为1，
∴AD=2，
在Rt△BCD中，，
在Rt△ABD中，，
∵，
∴，
∵BC∥AD，
，
∴△APD∽△BPC，
∴，
∴DP=2PC，
∴，
在Rt△PHD中，
，
∴，
故答案为：3．
16．/
【详解】解：如图，连接，过点作于点，设正六边形的中心为，连接，由题意可知，、、共线，过点作于点，延长，作于点，
六边形是正六边形，
，，
，
，，
，
在中，，
，则，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，解得：，
，
，
，
，
，
是中点，
，
．
故答案为：．
17．0
【详解】解：
．
18．见解析
【详解】证明：，
在和中，
，
，
．
19．，．
【详解】解：
，
当时，原式．
20．(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：如图，为所求，
（2）证明：∵与分别为和的平分线，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴点E在以为直径的圆上．
∴在中，，
，
又平分，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
21．(1)；
(2)说法不正确；理由见解析.
【详解】（1）解：∵在一个不透明的盒子中，共有标号为1至3的3个小球，除颜色外其他完全相同，
∴第一个抽签的人第1个选房的概率为
故答案为：；
（2）解：不正确.
∵在一个不透明的盒子中，共有标号为1至3的3个小球，除颜色外其他完全相同，
列树状图如下：
由树状图可知，先抽签的人第一个选房的概率为，第二个选房的概率为，第三个选房的概率为，
即概率相等，
∴说法不正确.
22．(1)
(2)罩子下面不能放下2个直径为27厘米，高度为6厘米的盘子
【详解】（1）解：∵宽度厘米，最高点（抛物线的顶点）到的距离为30厘米，
∴点M的坐标为，
设抛物线解析式为,
把原点坐标代入中得：，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：在中，当时，
解得或，
∴，
∵，
∴，
∴罩子下面不能放下2个直径为27厘米，高度为6厘米的盘子。
23．(1)小庄上山骑行的速度为 千米/时．
(2)上山走松之恋线（路线 2），下山走古道线（路线 1），理由见解析
【详解】（1）解：骑行线全程为 8 千米（上山 8 千米，下山 8 千米），总行程用时 1 小时．
根据材料 2，骑行路线下山速度是上山速度的 2 倍．
设上山速度为千米/时，则下山速度为千米/时．
上山时间：小时，下山时间：（小时）．
总时间：．
解得：（千米/时）．
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：小庄上山骑行的速度为千米/时．
（2）解：设计方案：上山走松之恋线（路线 2），下山走古道线（路线 1）．
上山距离：千米（松之恋线），下山距离：千米（古道线）．
理由：
根据材料 3，小庄的上山步行速度范围为（千米/时）（龙岩冠豸山）到（千米/时）（武夷山或宁德太姥山最小时间）．
下山速度根据路线类型确定（材料 2）：
古道线（陡峭）：下山速度为上山速度的 倍到 倍，最小倍数为 ．
松之恋线（平缓）：下山速度为上山速度的 倍到 倍，最小倍数为．
为确保总时间不超过 4 小时，需考虑上山速度最小且下山速度倍数最小．
对于本方案：上山路线为松之恋线（平缓），下山路线为古道线（陡峭）．
最小上山速度 千米/时（来自龙岩冠豸山数据）．
下山速度最小倍数：古道线最小倍数为 2，故下山速度最小为 （千米/时）．
上山时间：（小时）．
下山时间：（小时）．
总时间： 小时．
当上山速度更大（如 2 千米/时）或下山速度倍数更大时，总时间更短，均小于 4 小时．
因此，以材料 3 中任意合理的上山速度（在 1.6 千米/时到 2 千米/时之间）和对应的下山速度，总时间均不超过 4 小时．
24．(1)见解析
(2)；理由见解析
(3)存在；
【详解】（1）证明：∵A、C的横坐标分别是和3，且点A、C在反比例函数图像上，
∴点，，
∵以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，
∴，,
设直线的解析式为：，把代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
把代入得，
∴在直线上，
∴对角线所在直线经过原点．
（2）解：；理由如下：
连接，，设与交于点N，连接，如图所示：
设点，，则，，
设直线的解析式为：，把代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
把代入得，
∴在直线上，
∴O、B、D 三点共线，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∵以A为圆心，为半径作圆，交反比例函数图像于点C，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（3）解：存在；；
连接，交于点N，延长，交y轴于点E，如图所示：
根据解析（2）可知：点B在上，，，
∴，
∴当时，，
∴，，
∴，
∴当时，，
即存在点A，使；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，，
∴，，
∴，
∵点C在反比例函数图像上，
∴，
整理得：，
∴
，
∵，
∴，
∴．
25．(1)①见解析；②见解析；
(2)，理由见解析．
【详解】（1）解：①如图，连接，
∵，是圆的直径，交于同一点．
∴是圆的直径，
∴，
∴，
∵和关于直线对称，
∴，
∴；
②如图，连接，
∵是的中点，是直径，
∴，，，所在直线是圆的对称轴，和关于所在直线对称，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴所在直线是的对称轴，
∴点与点关于所在直线对称，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
同理可证，
∴；
（2）解：，理由如下：
过作交圆于点，连接，，，过作于，交圆于，
∵是的中点，
∴是直径，
∵，，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵点、、、共圆，
∴，
∴点、、、四点共圆，
∴，
∴，
∴．

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