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2025年内蒙古呼伦贝尔市鄂伦春自治旗中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．数据显示， 自2025年1月10日正式发布至2025年1月26日，的全球下载量已突破1600万次，这无疑是应用市场上的一次巨大成功，数据1600万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，色泽古朴典雅．如图，这是一个紫砂壶，则它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，则使函数值的自变量的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
5．为了解鄂伦春自治旗1500名八年级学生的身高情况，有关部门从该旗全体八年级学生中抽取300名测量身高，在本次调查中，样本容量是（ ）
A．1500名八年级学生的身高 B．1500
C．300名八年级学生的身高 D．300
6．如图，以边长为的等边顶点为圆心，一定的长为半径画弧，恰好与边相切，分别交，于点，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（ ）
A．轴对称，平移，旋转 B．旋转，轴对称，平移
C．轴对称，旋转，平移 D．平移，旋转，轴对称
8． 已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．分解因式：
10．若是关于x的方程的解，则的值是
11．如图，某学校科技社团进行一次光的折射实验，先将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿处照射到底部处，入射光线与水槽内壁夹角为，然后向水槽注水至的中点处时停止注水，此时入射光线折射到了水槽底部处（直线为法线，为折射光线）．已知点，在同一平面内，测得，，折射角，则的长为 （结果精确到）．（参考数据：，，）
12．如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于 ．
三、解答题
13．计算：
(1)
(2)先化简，再求值：，其中，．
14．某校七、八年级各有500名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及以上为优秀），相关数据统计、整理如下：七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10；
（1）填空：＝________，＝________；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；
（4）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加市党史知识竞赛，请用列表或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．
15．2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线，这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每台B种机器人比A种机器人贵5万元，用600万元采购A种机器人的台数和用650万元采购B种机器人的台数相同．
(1)求采购一台A种机器人、一台B种机器人各需多少万元？
(2)一段时间后，该公司准备用不超过6140万元再采购第二批A、B两种机器人共100台，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司共有多少种采购方案？
16．【感知特例】
（1）如图1，点A，B在直线l上，，，垂足分别为A，B，点P在线段上，且，垂足为P．求证：；
【建构模型】
（2）如图2，点A，B在直线l上，点P在线段上，且．结论仍成立吗？请说明理由；
【解决问题】
（3）如图3，在中，，，点P和点D分别是线段，上的动点，始终满足．设长为，当______时，有最小值是______．
17．如图，已知边长为4的正方形，点E是边的中点，点O是线段上的一个动点（O不与A，E重合），以O为圆心，为半径的圆与边相交于点M，过点M作的切线交于点N，连接．
(1)证明：是的切线；
(2)问为何值时，经过的中点？
(3)的周长是否一个定值？若不是请说明理由，若是，请求出定值．
18．【课本再现】九年级上册第51页探究3：
如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．水面下降，水面宽度增加多少？ 解：设这条抛物线表示的二次函数为，由抛物线经过点可得， ，即，…
(1)请你完成剩余部分；
(2)【实际应用】赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某市计划进行一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，已知水面的宽度为，拱桥最高点到水面的距离为9米，设桥拱上的点到水面的竖直高度米，到点的水平距离米．
①以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，求与的函数关系式；
②据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离．要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计多少条龙舟赛道．
2025年内蒙古呼伦贝尔市鄂伦春自治旗中考二模数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A C D D A B
1．B
【详解】解：1600万，
∴数据1600万用科学记数法表示为，
故选：B
2．D
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
3．A
【详解】
解：从正面看，看到的图形如下：，
∴该紫砂壶的主视图是A选项中的图形，
故选：A．
4．C
【详解】解：由题意得，，
当函数值，即函数图象在函数图象下方时，所对应的横坐标的取值范围，
∴由图象可得：或，
故选：C．
5．D
【详解】解：为了解鄂伦春自治旗1500名八年级学生的身高情况，有关部门从该旗全体八年级学生中抽取300名测量身高，在本次调查中，样本容量是300．
故选：D．
6．D
【详解】解：如图所示，过点作，交于点．
是等边三角形，，
．
在中，．
∴．
故选：D．
7．A
【详解】解：哪吒图片的变换顺序是轴对称平移旋转．
故选：A．
8．B
【详解】解：如图，
当时，，解得，，则，，
将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方的部分图象的解析式为，
即，
当直线经过点时，，解得；
当直线与抛物线有唯一公共点时，方程有相等的实数解，解得，
所以当直线与新图象有4个交点时，的取值范围为．
故选：B．
9．．
【详解】．
10．2021
【详解】解：是关于x的方程的解，
，
整理得，
则，
故答案为：．
11．
【详解】解：，,
，
，
,
，
,
,
是的中点，
又,
，
，
，
，
，
故答案为：．
12．
【详解】过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC//AB，
∴∠QDP=∠DAB=60°，
∴PQ=PD sin∠QDP=PD，
∴=BP+PQ，
∴当点B、P、Q三点共线时有最小值，
∴的最小值为，
故答案为：3.
13．(1)
(2)，
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
，
把，代入得：；
14．（1）＝8， ＝8；（2）见解析；（3）700人；（4）图表见解析，
【详解】解：（1）由题意可知：＝8， ＝8；
（2）七年级学生的党史知识掌握得较好，理由如下：
∵七年级和八年级的平均数相同，但是七年级的优秀率大于八年级的优秀率
∴七年级学生的党史知识掌握得较好；
（3）从现有样本估计全年级，七年级达到优秀的人数可能有500人×80%＝400人，
八年级达到优秀的人数可能有500人×60%＝300人，
所以两个年级能达优秀的总人数可能会有700人；
（4）把七年级的学生记做A，八年级的三名学生即为B、C、D，列表如下：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
由表知，一共有12种等可能性的结果，恰好每个年级都有一个的结果数是6，
两人中恰好是七八年级各1人的概率是 ．
15．(1)采购一台A种机器人需60万元，一台B种机器人需65万元
(2)该公司共有4种采购方案
【详解】（1）解：设采购一台A种机器人需x万元，则一台B种机器人需万元，
由题意得，，
解得，
，
经检验是原分式方程的解，
答：采购一台A种机器人需60万元，一台B种机器人需65万元；
（2）解：设采购A种机器人a台，则采购B种机器人台，
根据题意得，，
解得，
因为a为正整数，所以一共有4种方案，
答：该公司共有4种采购方案．
16．（1）见解析；（2）仍成立，理由见解析；（3），
【详解】（1）证明：，，，
，
，
，
，
∴，
，
即；
（2）解：成立，理由如下：
∵，
又，
∴，
∴，
，
即．
（3）解：∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵长为，则，
∴，
解得：
，
∵，
∴当时，有最大值，
∵，为定值，
∴当有最大值时，有最小值是．
17．(1)见解析
(2)
(3)是，定值是，理由见解析
【详解】（1）解∶∵正方形，
∴，
∵为半径，
∴是的切线；
（2）解：∵正方形，
∴，，
∵M是的中点，
设．则，
∵，
∴在中，，
解得：，
∴时，经过的中点；
（3）解：的周长是一个定值，理由如下：
∵是的半径，是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴周长比等于相似比，相似比为：，
的周长=，
∴周长为：．
18．(1)，见解析
(2)①；②最多可设计5条龙舟赛道
【详解】（1）解：设这条抛物线表示的二次函数为，由抛物线经过点可得，
，
即，
∴抛物线表示的二次函数为，
当时，，
解得，
此时水面宽度为，
∴水面下降，水面宽度增加；
（2）①解：由题意可知，拱桥所在抛物线的顶点为，
可设拱桥所在抛物线的解析式为，
将代入得，，
解得，
∴拱桥所在抛物线的解析式为；
②当时，，
解得或，
∴可设计赛道的宽度为，
∵，
∴最多可设计5条龙舟赛道．

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