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2025年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷（三）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的相反数是( )
A. B. C. D.
2.汽车灯的剖面示意图如图所示，从位于点的灯泡发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
3.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
4.如图，是由个完全相同的小正方体组成的几何体．则下列个平面图形中，不是这个几何体的三视图的是( )
A. B. C. D.
5.我国古代数学著作张丘建算经中著名的“百鸡问题”叙述如下：“鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，则翁、母、雏各几何？”意思是公鸡五钱一只，母鸡三钱一只，小鸡一钱三只，要用一百钱买一百只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各多少只？若现已知母鸡买只，设公鸡买只，小鸡买只，则可列方程组为( )
A. B.
C. D.
6.在一扇形统计图中，有一扇形的面积占整个圆面积的，则这个扇形的圆心角为( )
A. B. C. D.
7.下列语句中，一定正确的是( )
过三点有且只有一个圆；平分弦的直径垂直于弦；三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；同弧或等弧所对的圆周角相等；圆内接平行四边形是矩形．
A. B. C. D.
8.在同一平面直角坐标系中，函数与的图象不可能是( )
A. B. C. D.
9.如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，，为的中点，交于点，连接，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.年春节假期，国内旅游出游共计人次，同比增长，将用科学记数法表示为______．
12.如图是两个各自分割均匀的转盘，同时转动两个转盘，转盘停止时，两针所指区域的数字和为偶数的概率是______．
13.如图，从一块字径为的圆形纸片上剪出一个圆心角是的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径是______．
14.已知关于的方程的解为正数，则实数的取值范围是______．
15.张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完本图书所用的时间与李强清点完本图书所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点本，则张明平均每分钟清点图书的数量______本．
16.如图，正方形的对角线、相交于点，等边绕点旋转，在旋转过程中，当时，的度数为______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：；
解不等式组：，并写出它的所有整数解．
18.本小题分
如图，在 中，，分别是和的中点，连接和，过点作交的延长线于．
求证：四边形是平行四边形；
当点是中点时，求证：四边形是菱形．
19.本小题分
某中学举办七、八年级全体学生的安全知识比赛活动后，从这两个年级分别随机抽取名学生的比赛成绩百分制进行整理、描述和分析成绩得分用表示，共分成四组：；；；现有下列信息：七年级名学生的比赛成绩是：，，，，，，，，，；八年级名学生的比赛成绩在组中的数据是：，，．
七、八年级抽取的学生比赛成绩统计表
平均数 中位数 众数 满分率
七年级
八年级
______； ______； ______；根据以上信息，解答下列问题：
根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生体育技能水平更好？请说明一条理由；
该校七年级有人，八年级有人参加了此次比赛，请估计参加此次比赛获得成绩优秀的学生人数是多少？
20.本小题分
如图，港在港的正北方向海里处，港在港的正东方向海里处，港，港在港的正东方向，且港在港北偏东方向，港在港的东北方向参考数据：，
求，两港之间的距离结果保留小数点后一位；
甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港装运新的物资若甲、乙两艘货轮的速度相同停靠，两港的时间相同，哪艘货轮先到达港？请通过计算说明．
21.本小题分
某服装店店庆当天，将一款恤在标价的基础上降价元，再打九折销售小天妈妈在店庆当天购买了这款恤，实付款比标价便宜了元，求这款恤的标价．
22.本小题分
下面是小刚同学的一则日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
年月日星期日
利用一次函数知识解决化学问题
今天我看到一则化学实验材料：
如图，在一支的试管中充满了和的混合气体，将其倒立在盛有足量水的烧杯中，这里会发生化学反应．
当和的体积比为：时，和恰好完全反应，如果反应后仍有剩余，则会和水继续发生化学反应．
化学反应中参与反应的与生成的的体积比为：．
根据以上材料，我有如下思考：化学反应结束后试管中剩余气体的体积与化学反应前试管中混合气体中的体积存在怎样的关系？经过分析，我可以建立一次函数模型解决这个问题
设原混合气体中的体积为，的体积为，完全反应后试管内剩余气体的体积为．
情况一：由反应可知，当和的体积比为：时，和恰好完全反应，此时，．
情况二：当时，由反应可知全部参加反应，过量，参加反应的的体积为剩余的体积为，因为不溶于水，故完全反应后试管内刺余气体的体积，即．
在平面直角坐标系中画出当时的函数图象如图所示．
情况三：当时，由反应可知全部参与反应，过量，参与反应的的体积为，剩余的和水发生反应，产生不溶于水的气体．
任务：在利用一次函数知识解决以上化学问题的过程中，主要运用的数学思想是______从下面选项中选出两个即可；
A.建模思想统计思想分类讨论思想公理化思想；
根据材料中的内容，求出当时，与的函数关系式，并在图的平面直角坐标系中画出该函数图象；
当完全反应后试管内剩余气体的体积为时，求原混合气体中的体积．
23.本小题分
【概念认识】已知圆的两条互相垂直的对称轴、，我们把三个顶点分别在圆、、上的等腰直角三角形叫作这个圆的”友好三角形”如图、图，都是的“友好三角形”．
【数学理解】若都是的“友好三角形”，且直角顶点在上，的半径为．
上满足条件的直角顶点的个数是______个；
的面积的最小值为______；
若与的一边相切，请直接写出相切的不同情况及对应的的面积；
【深入研究】若都是的“友好三角形”，且直角顶点在或上的半径为．
的面积的最小值为______，最大值为______．
24.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点，
求该抛物线的解析式；
点在线段上，点不与点重合，点在轴的正半轴上，，，设的面积为，求的最大值；
直线与一次函数相交于点，以线段为边向直线下方作正方形当点在抛物线内部时，直接写出的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数是．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：过点向左作射线，使，则，
，，
即．
故选：．
3.【答案】
【解析】A.；．与不是同类项，无法合并；故选D．
4.【答案】
【解析】选项的平面图形是左视图，选项的平面图形是主视图，选项的平面图形是俯视图，
只有选项的平面图形不是该几何体的三视图．
故选B．
5.【答案】
【解析】解：共买了只鸡，
；
公鸡五钱一只，母鸡三钱一只，小鸡一钱三只，且共花费钱，
．
根据题意得可列方程组．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：过不在同一直线上的三点有且只有一个圆，所以错误；
平分弦非直径的直径垂直于弦，所以错误；
三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，所以正确；
同弧或等弧所对的圆周角相等，所以正确；
圆内接平行四边形的对角相等且互补，此时四边形是矩形，所以正确．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：当时，函数的图象经过第一、三象限且过原点，的图象经过第一、三、四象限，
当时，函数的图象经过第一、三象限且过原点，的图象经过第一、二、三象限；
当时，函数的图象经过第二、四象限且过原点，的图象经过第一、二、三象限，
由上可得，选项C不可能；
故选：．
9.【答案】
【解析】解：，，
由题意可得：，，
，
，
设，则，
，
，
解得，
，
，
，
故选：．
10.【答案】
【解析】解：如图，连接，
为的中点，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
11.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解：画树状图得：
共有种等可能的结果，两针所指区域的数字和为偶数的有种情况，
两针所指区域的数字和为偶数的概率是：．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：连接，如图，
，
为的直径，即，
，
设该圆锥的底面圆的半径为，
根据题意得，
解得，
即该圆锥的底面圆的半径为
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：，
，
，
方程的解是正数，
，
，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：由题意列方程得，
解得，
经检验是方程的解．
故答案为：．
16.【答案】或
【解析】如图，当在点右侧时，
是等边三角形，
，，
四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
；
如图，当在点左侧时，
同理≌，
，
，
，
综上：或．
17.【答案】 ；，．
【解析】
解得：；
解得：；
则不等式组的解集为，
这个不等式组的整数解为，．
18.【答案】解：证明：四边形是平行四边形
且，
，分别是和的中点
，
，
又，
四边形是平行四边形；
连接，
四边形是平行四边形，
且，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
又是中点
，
由得：四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
19.【解析】由题意得，，即；
把八年级名学生的比赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是，，故中位数；
七年级名学生的比赛成绩中，出现的次数最多，故众数．
故答案为：；；；
八年级学生体育技能水平更好，理由如下：
因为两个年级的平均数相同，但八年级中位数和满分率比七年级高，所以八年级学生体育技能水平更好；
样本中七年级成绩优秀占比：，
样本中八年级成绩优秀占比：，
人．
答：估计此次比赛获得成绩优秀的学生人数大约为人．
20.【答案】，两港之间的距离为海里；
乙货轮先到达港．
【解析】过点作，交的延长线于点，
根据题意，四边形为矩形，
海里，
海里，
在中，，，
海里，
答：，两港之间的距离为海里；
甲船路线为：，
在中，，海里，
海里，海里，
在中，，
海里，
海里，
海里，
海里，
甲船行驶的总路程为海里，
乙船路线为：，
乙船行驶的总路程为海里，
甲、乙两艘货轮的速度相同停靠，两港的时间相同，
乙货轮先到达港．
21.【答案】这款恤的标价为元．
【解析】解：设恤的标价为元，
由题意列方程得，，
整理得，，
解得，
答：这款恤的标价为元．
22.【解析】解：运用一次函数解决问题属于建模思想，利用样本的特征来估计总体属于统计思想，
故选：；
当时，进行的反应是，
反应消耗的，
剩下的气体满足
，
当时，与的函数关系式：；
函数图象如图所示：
当时，与的函数关系式：，
时，则，
当时，与的函数关系式：，
时，则，
答：原混合气体中的体积为或．
23.【解析】解：如图，
作于，作于，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
在和中
≌，
，
点是第一象限角平分线与圆的交点，
同理：二、三、四象限各有一个，
故答案为：；
，
当最小时，最小，
当时，，
，
故答案为：；
见答案；
解：如图，
作于，连接，
同理可证：，则设
，，
，
，
设
则，
，
代入，得
整理可得：，
两边平方，得，
设，则上式变为，
整理可得：，
上述方程有解，
，
即，
，
解得：，
的最大值是，最小值是
，
故答案为：，．
24.【答案】解：对于，当时，得．
当时，，
，．
把，代入，得：，
解得，
二次函数的解析式为：．
过作轴于，过作轴于．
设．
．
轴，
在中，，
，
又，
．
．
，
，
．
，
．
，
开口向上，
，对称轴为，
当时，有最大值为．
如图，将直线向上、向下平移，分别得到点、，按题意构造正方形后，点落在抛物线上，过点作轴于点，过点作轴交延长线于点，
设，
，轴，
，
四边形是正方形，
，
又轴，轴，
，，
，
解得，，舍去，
则，
，
，且，
，，
将代入得：，
解得，；
将代入，得：，
解得：，
所以，当点在抛物线内部时，的取值范围是．
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