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绵阳南山中学实验学校高2023级高二（下）期末模拟试题（一）
数 学
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，若，则（ ）
A． B． C．15 D．35
2．已知数列的通项公式为，其前项和为，则取得最小值时的值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
3．反复测量某一个物理量，其测量误差通常被认为服从正态分布.若某物理量做次测量，最后结果的误差，则为使的概率控制在0.0455以下，至少要测量的次数为（ ）（附：若随机变量服从正态分布，则）
A．200 B．400 C．800 D．1000
4．某公司男、女职工人数相等，该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20.下列结论正确的是（ ）
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
附：，其中.
A．依据小概率值的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
B．依据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
C．有的把握认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
D．是否接受去外地长时间出差与性别无关
5．从中任选4个不同的数字组成一个四位数，若这个四位数是偶数，则个位 十位和百位上的数字之和为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．为了把田园餐厅打造成“味蕾的乐园”，特举办菜品评选活动.已知评委团由家长代表，学生代表和教工代表组成，人数比为1:2:2，由评委团对1号菜品和2号菜品进行投票（每人只能投一票且必须投一票）.若投票结果显示，家长代表和学生代表中均有的人投票给1号菜品，教工代表中有的人投票给2号菜品，从评委团中随机选一名代表、已知他投票给1号菜品那么他是学生代表的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．函数，若在有最大值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知的展开式共有8项，则（ ）
A． B．无常数项
C．含项的系数为92 D．所有项的二项式系数之和为128
10．甲、乙、丙、丁四人玩报数游戏：第一轮，甲报数字，乙报数字，，丙报数字，，，丁报数字，，，；第二轮，甲报数字，，，，，依次循环，直到报出数字，游戏结束，则（ ）
A．是乙报的 B．是丁报的
C．甲共报了轮 D．甲在前四轮所报数字之和大于
11．从棱长为1个单位长度的正四面体的一顶点出发，每次均随机沿一条棱行走1个单位长度，设行走次时恰好为第一次回到点的概率为，恰好为第二次回到点的概率为，则（ ）
A． B．
C．时，为定值 D．数列的最大项为
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题5 分，共 15 分。
12．已知等差数列的前项和为，且，．设，则 .
13．如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为．若该质点共移动100次，则它位于数字 处的可能性最大．
14．若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入．该公司第i年的年广告费（单位：百万元）满足递推关系，且，年销售量（单位：百万辆）与年广告费相关．令，经过数据处理得到如下统计量的值：
44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06
现有模型作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中均为常数．
（1）求；
（2）求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？
（3）该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）．该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍．电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布，且满足，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率．（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量）
附：①回归直线
②参考数据：，．
16．（15分）
端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，设表示取到的豆沙粽个数.
（1）求的分布列；
（2）求的期望与方差；
（3）求至少取到一个豆沙粽的概率.
17．（15分）
已知数列是等差数列，其前和为，，数列满足
（1）求数列，的通项公式;
（2）若对数列，， 在与之间插入个2（），组成一个新数列，求数列的前2023项的和.
（17分）
已知函数.
（1）求在处的切线方程；
（2）若，，求的取值范围；
（3）若、，讨论与的大小关系，并说明理由.
（17分）
已知函数，其中．
（1）讨论的单调性；
（2）若在定义域内有三个零点a，b，c（）．
（ⅰ）求实数m的取值范围；
（ⅱ）求证：．
试卷第1页，共3页
绵阳南山中学实验学校高2023级高二（下）期末模拟试题（一）
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A C C B A C B A ABD BC ACD
1．A【详解】令，可得，解得，
，
展开式中的系数为.故选：A.
2．C【详解】设，，解得：，
当和时，，所以取得最小值时，.故选：C
3．C【详解】由，
而，则，所以.故选：C
4．B【详解】由题意，列出列联表：
接受 不接受 合计
男 40 60 100
女 20 80 100
合计 60 140 200
零假设为：是否接受去外地长时间出差与性别相互独立，即是否接受去外地长时间出差与性别无关，
所以，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为是否接受去外地长时间出差与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.故选：B.
5．A【详解】若个位上的数字是0，则这样的四位偶数有个；
若个位上的数字不是0，则这样的四位偶数有个.
故四位数是偶数的有156个.
下面考虑这个四位数既满足是偶数，又满足个位 十位和百位上的数字之和为偶数的情况：
若个位 十位和百位上的数字都是偶数，则这样的四位数有个；
若个位 十位和百位上的数字是1个偶数和2个奇数，
则当这个偶数是0时，这样的四位数有个，
当这个偶数不是0时，这样的四位数有个.
综上，满足这两个条件的四位数有60个.故所求的概率为.故选：A
6．C【详解】根据人数比例设家长代表、学生代表和教工代表人数分别是（为比例系数），
由题意知：家长代表中有的人投给1号，人数为；学生代表中有的人投给1号，人数为；教工代表中有的人投给2号，那么教工代表中有的人投给1号，人数为.
所以投给1号的总人数为，学生代表中投给1号的人数为，
因此所求概率为.故选：C.
7．B【详解】由，
则，
令，得或，
当，即时，，
函数在上单调递增，此时在上没有最大值，不符合题意；
当，即时，
令，得或，令，得，
则函数在和上单调递增，在上单调递减，
又，则在没有最大值，不符合题意；
当，即时，
令，得或，令，得，
则函数在和上单调递增，在上单调递减，
又，，
要使在有最大值，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.故选：B.
8．A【详解】因为，所以，
设过点的切线切曲线于点，
则切线方程为，又其过点，
所以，所以根据题意可得该关于的方程有3解，
即方程有3解，
所以与有3个交点，
设，则，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以的极小值为，的极大值为，
且时，；时，，
所以要使与有3个交点，则需．故选：A
9．ABD【详解】对于A，因为的展开式共有8项，所以，故A正确；
对于B，展开式通项为，
设，此时无解，所以不存在常数项，故B正确；
对于C，令，解得，所以项的系数为，故C错误；
对于D，展开式二项式系数和为，故D正确.故选：ABD
10．BC【详解】甲、乙、丙、丁第轮的报数个数分别为，，，，
前轮共报数个数为.
当时，；
当时，；
且，故是甲报出的，且甲报了轮，A错误，C正确；
对于B，当时，；
当时，，故在第轮报数中，，
故数字是丁报的，B正确；
对于D，甲在前四轮所报数字之和为，D错误.
故选：BC.
11．ACD【详解】由题意得对于任意一次行走，到达其他三个点概率均为，
若要行走次时恰好第一次回到点，则第1、2次均不到点A,
所以，故A选项正确；
若要行走次时恰好第二次回到点，则第2次必须回到点A，概率为，故B选项错误；
若要行走次时恰好为第一次回到点，则次均未到达点A，所以，
所以为定值，故C选项正确；
当时，；
当时，设第次第一次到达点A，第n次恰好第二次到达点A，
由于第1次和第次的行走不用限制，所以此时概率为，
所以，
令，解得，
所以，
所以和为最大值，故D选项正确.故选：ACD.
12．【详解】设等差数列的首项为，公差为．
由得，
由得，解得，，
所以，，所以，
所以．故答案为：.
13．【详解】设质点向右移动的次数为，则服从二项分布，即，
则质点最终的位置等于向右移动的次数减去向左移动的次数，
即，
由二项分布的概率公式可得，
设最大，则，
由可得，
即，
化简可得，解得，
由可得，
即，
化简可得，解得，
即，且，则时，最大，
则质点最终的位置为.故答案为：
14．【详解】因为，所以，
由题知，则，
令可得或.
若，即当时，
由可得或，由可得，
此时，函数在、上单调递增，在上单调递减，
此时，函数在处取得极小值，不合乎题意；
若，即当，则对任意的恒成立，
此时，函数在上单调递增，无极值点；
若，即当时，
由可得或，由可得，
此时，函数在、上单调递增，在上单调递减，
此时，函数在处取得极大值，合乎题意.
故实数的取值范围是.故答案为：.
15．【详解】（1）由得：
，
即，所以，
即，所以为等差数列，又，所以公差为1，
所以，
（2）令，则，
由公式，又由，，
得，所以，即回归方程为.
当时，，
因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）.
（3）净利润为，，
令，所以.
可得在上为增函数，在上为减函数.
所以，
由题意得：，即，
，
即该公司年净利润大于1000（百万元）的概率为.
16.【详解】（1） 的可能取值为
则 ，
所以 的分布列如下：
0 1 2 3
（2）由（1）可知，
.
（3）记“至少取到一个豆沙粽”记为事件A，则表示“一个豆沙粽都没有取到”
则.
17．【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，
由题意，，所以
①
当时，②，
①-②可得，，
当时，适合，
所以
（2）因为，所以在数列中，从项开始到项为止，
共有项数为，
当时，；
当时，，
所以数列前2023项是项之后还有2023-1034=989项为2，
所求和为.
18．(1) (2) (3)，理由见解析
【详解】（1）因为，则，所以，又
所以在处的切线方程为，即.
（2）令，其中，则，
由，可得.
当时，即当时，对任意的，，
此时，函数在上单调递增，则，合乎题意；
当时，即当时，由可得，由可得，
所以，函数在区间上单调递减，
故，不合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是.
（3）不妨设，且当时，，故函数在上单调递增，
先比较与的大小，即比较与的大小关系，
令，其中，所以，
故函数在上单调递增，
因为，所以，即，
即，故，
19．【详解】（1）的定义域为，.
当时，，所以恒成立，
所以在单调递增；
当时，，
所以的两根为，
且，所以，
所以，时，或时，．
所以在上单调递减，在和单调递增．
综上：当时，在单调递减，
在和单调递增；
当时，在单调递增.
（2）（i）由（1）可知当时，在单调，
不可能有三个零点；
当时，的两根为，
且，所以，且，
因为在上单调递减，所以，
因为，所以，
设，
在上单调递减，，
即，所以使.
因为，
又因为，所以，
所以使，
所以，当时，有三个零点，
（ii）由（i）可知，的三个零点：，
因为，且，所以，
又因为，所以，
因为，所以函数单调递减，，
所以，得证．
答案第1页，共2页

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