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绵阳南山中学实验学校高2023级高二（下）期末模拟试题 （三） 数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C C D A D C A B ABC ABD ABD
C【详解】先挂2盏吊灯有种挂法，
再在2盏吊灯之间挂3盏纱灯有种挂法，最后将宫灯插空挂．
当4盏宫灯分成2，2两份插空时,有种挂法；
当4盏宫灯分成1，1，2三份插空时,有种挂法；
当4盏宫灯分成1，1，1，1四份插空时,有1种挂法，
所以共有种不同的挂法．故选：C
A【详解】由题可得，
又数列为等比数列，且，所以，
即，
所以，故选：A
B【详解】记事件A为“为奇数”，事件为“为奇数”，是奇数的概率为．
当为奇数时，若，则仍然为奇数，
当为偶数时，若或3，则为奇数，从而，
即，即，整理可得．
又，所以是首项为，公比为的等比数列，则，
所以．故是奇数的概率为．故选：B
9.ABC【详解】对于A：将一枚均匀的骰子掷两次基本事件共有个，
事件包括，2个基本事件，所以，故A错误；
对于B：因为不互斥，，，
所以，故B错误；
对于C：事件包括4个基本事件，所以，
，故C错误；
对于D：事件为“第一次出现偶数点”， ，，
，与相互独立，故D正确；故选：ABC.
10.ABD【详解】对于A，若随机变量，可得正态曲线关于对称，
由，可得，
所以，故A正确；
对于B，若随机变量，则期望，故B正确；
对于C，已知随机变量的分布列为，
所以，
所以，解得，
则，故C错误；
对于D，从3名男生，2名女生中选取2人共有种选法，则其中至少有一名女生的选法有，所以其中至少有一名女生的概率为，故D正确.故选：ABD.
ABD【详解】解：令，，显然该函数为增函数，且，而在恒成立，故是上的增函数，
故在上是增函数，A正确；
对于B，恒成立，故在上是增函数，
由已知得，，所以不等式恒成立，即恒成立，即在上恒成立，
再令，得，易知是极大值点，也是最大值点，故即为所求，故B正确；
对于C，恒成立，故在上是增函数，且，故，
设，若，即，即，
令，，则，故在上是增函数，结合，
故时，，故不成立，C错误；
对于D，因为在上单调递减，在上单调递增，在上递减，在上递增，
则有唯一解，而，所以，由，
即，即有，所以，即，
所以，又，且，
，故D正确．故选：
7 13.21 14.2
13.【详解】函数，求导得，于是函数的图像在点处的切线斜率为，
切线方程为，而，令，得，又，
因此数列是等比数列，公比为，，
所以.故答案为：21.
14.【详解】由题知，，，则，
令，，，则当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以时，最大，且为，
所以，即的最小值为.
15.【详解】（1）由，可得，，
依题意，，即得，
此时切线方程为，(4分）该直线与x轴平行，所以，所以；
（2）函数在上单调递增等价于在上恒成立，
即在上恒成立，(8分）也即在上恒成立，
故得且，(12分）即的取值范围是.
16.【详解】（1）由于，由题可知利润与投资金额相关性较强，
又，
所以；又，所以，
由题，得，所以，
则关于的经验回归方程为.
①设事件“抽取到的是男性车主”，事件“该车主表示满意”
，该车主是男性的概率为
②零假设为：车主性别与满意度无关
将所给数据进行整理，得到性别与满意度的列联表
满意度 性别 合计
男性 女性
满意 60 36 96
不满意 30 24 54
合计 90 60 150
根据列联表，经计算得
，因为
我们没有充分证据推断不成立，可以认为车主性别与满意度无关，因此可以认为这一观点不成立.
17.【详解】（1）因为，所以，则，，.
因为数列为等差数列，所以，即，解得，
所以的公差为.
（2）①解：当时，，
当时，，
故的通项公式为
②证明：当时，，满足.
当时，，
则
.
综上.
18.【详解】（1）设该微生物经过第一次分裂得到新微生物个数为，可能取值有，
因为，则有，，
所以；
（2）设事件“该微生物至多经过两次分裂后消失”， 事件“该微生物第一次分成个，”，
则，
，
，
所以，
故该微生物至多经过两次分裂后消失的条件下，第一次分裂得到两个新微生物的概率；
（3）开始有一个这样的微生物，设最终消失的概率为，
那么有个这样的微生物最终消失的概率为，，
则，
代入得：，
整理得：，
即
因为，所以有，
即，解得，故的取值范围是.
19.【详解】（1）函数，，
所以的单调递减区间为，无增区间.
（2）由（1）知，，，，
不妨令，，，
，
，
.
（3），
由，，
，
由，，，
，
，.
.绵阳南山中学实验学校高2023级高二（下）期末模拟试题 （三） 数 学
命题：伍敏 考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S2＝3，S4＝10，则S6＝
A．17 B．19 C．21 D．23
2．某学校一同学研究温差x(°C)与本校当天新增感冒人数y (人)的关系，该同学记录了5天的数据：
x 5 6 8 9 12
y 17 20 25 28 35
经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列结论错误的是
A．样本中心点为 B．
C．时， 残差为 D．相关系数
3. 已知且，则二项式的展开式中，常数项为
A． B． C．1 D．24
4. 若甲、乙、丙、丁、戊随机站成一排，则在甲、乙不相邻的条件下，丙、丁相邻的概率为
A． B． C． D．
5．的展开式中的系数为
A． B． C． D．
6．中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品．经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型．现将4盏相同的宫灯、3盏不同的纱灯、2盏不同的吊灯挂成一排，要求吊灯挂两端，同一类型的灯笼至多2盏相邻挂，则不同挂法种数为
A．384 B．486 C．216 D．208
已知数列是公比为的等比数列，且，若，则
A．4046 B．4045 C．2024 D．2023
8．记为数列的前n项和，若，且的值为1，2，3的可能性相同，则是奇数的概率为
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．将一枚均匀的骰子掷两次，记事件为“第一次出现偶数点”，事件为“两次出现的点数和为”，则下列结论中不正确的是
A． B．
C． D．与相互独立
10. 下列说法中正确的是
A．若随机变量，，则
B．若随机变量，则期望
C．已知随机变量的分布列为，则
D．从3名男生，2名女生中选取2人，则其中至少有一名女生的概率为
11. 已知函数，，则下列说法正确的是
A. 在上是增函数
B. ，不等式恒成立，则正实数a的最小值为
C. 若有两个零点，，则
D. 若，且，则的最大值为
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题5 分，共 15 分。
12. 若随机变量服从二项分布，，则 .
13. 函数(x>0)的图像在点处的切线与x轴交点的横坐标为，且，则 .
14. 直线分别与曲线，交于，，则的最小值为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知函数在处的切线平行于轴.
（1）求与的关系；
（2）若函数在上单调递增，求的取值范围.
（15分）
近几年，我国促进新能源汽车产业发展的政策频出，积极推动新能源汽车市场的迅速发展.某新能源汽车公司为了解其对型充电桩进行投资后所获得的利润（单位：百万元）关于投资金额（单位：百万元）之间的关系，统计后得到10组样本数据，根据统计数据计算得到，利润的方差，投资金额的方差，以及样本相关系数.
（1）根据样本相关系数判断利润与投资的相关性强弱，并求出关于的经验回归方程（精确到0.01，注：）；
（2）为了解使用型充电桩的车主性别与使用满意度的情况，该公司随机调查了150名车主，其中男性车主90名（60名满意，30名不满意），女性车主60名（满意）.将频率视为概率，用样本估计总体：
①为了解车主对充电桩的满意情况，从150名车主中任意抽取一位，若该车主表示满意，求该车主是男性的概率；
②有人认为“车主性别与满意度有关”，请根据上述数据，利用卡方检验判断这一观点是否成立，并给出结论依据.
附：样本相关系数，当时，相关性较强，当时，相关性一般；
经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，
0.100 0.050 0.010 0.025 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
（15分）
已知数列的前n项和为，且，为常数，记.
（1）若数列为等差数列，求的公差.
（2）设.
①求的通项公式；
②记数列的前n项和为，证明：.
（17分）
一种微生物可以经过自身分裂不断生存下来，对于每个微生物，每次分裂的结果为：有的概率消失，有的概率得到一个新微生物，有的概率得到两个新微生物，有的概率得到三个新微生物．假设开始只有一个这样的微生物．
（1）若，求该微生物经过第一次分裂得到新微生物个数的均值；
（2）若，求该微生物至多经过两次分裂后消失的条件下，第一次分裂得到两个新微生物的概率；
（3）若希望最终这种微生物消失的概率不超过，求的取值范围．
（17分）
函数
（1）求的单调区间；
（2）设，证明：；
（3）若，，比较与2的大小，并说明理由.

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