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绵阳南山中学实验学校高2023级高二（下）期末模拟试题 （二） 数 学
命题：伍敏 考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知曲线的一条切线为，则( )
A. B. C. 0 D. 1
2. 甲、乙、丙三人排成一排，则甲不在排头，且乙或丙在排尾的概率是（ ）
A． B． C． D．
3. 若，则（ ）
A．1 B． C．129 D．
4.某市高二数学统考，满分为150分.假设学生考试成绩，如果从高到低按照的比例将考试成绩分为四个等级，则A等级分数线大概为（ ）
（参考数据:若，则）
A. 134 B. 120 C. 116 D. 110
5. 已知每门大炮击中某目标的概率是0.4，现在n门大炮向此目标各射击一次．如果此目标至少被击中一次的概率超过92%，至少需要大炮的门数是（ ）（参考数据：，）
A．5 B．6 C．7 D．8
某市卫健委用模型的回归方程分析年月份感染新冠肺炎病毒的人数，令后得到的线性回归方程为，则（ ）
A． B． C． D．
7．因工作需要，某单位安排甲、乙、丙、丁4位领导在端午节3天假期值班，要求每天有两人值班，且每人需要值班1天或2天，则不同的值班方案有（ ）
A．92种 B．90种 C．86种 D．76种
8．设函数，，若存在，使得，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
下列说法中正确的是（ ）
A．设随机变量X服从二项分布，则
B．一批零件共有20个，其中有3个不合格，随机抽取8个零件进行检测，则至少有一件不合格的概率为
C．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则
D．，
10. 函数的图象被称为牛顿三叉戟曲线，以下图象可能为函数的图象的是（ ）
A B C D
11．“石头，剪刀，布”游戏起源于中国汉朝，称为“手势令”．游戏规则为：（1）参加游戏的人随机出一种手势，且石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头；（2）两人游戏时，出相同的手势为平局；多人游戏时，都出相同的手势或三种手势都出现为平局．现有个人共举行了局游戏，且各局游戏互不影响，则下列说法正确的有（ ）
A．若，，则只有一人获胜的概率为
B．若，，则平局的概率为
C．若，且规定其中一人连续两局获胜，比赛结束，则恰经过5局比赛结束的概率为
D．若，且规定每局比赛输者淘汰，则恰经过5局比赛决出最终胜利者的概率为
填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
的二项展开式中的系数为 ．
干支纪年法是我国古代一种纪年方式，它以十天干(甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸)和十二地支(子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥)的组合来表示年份，循环纪年.比如某一年为甲子年，则下一年为乙丑年，再下一年为丙寅年，以此类推，排列到癸酉年后，天干回到“甲”，即甲戌年，下一年为乙亥年，之后地支回到“子”，即丙子年，以此类推.已知2025年是乙巳年，则2025年之后的首个己巳年是________年.(用数字作答)
14. 某学校有两家餐厅，王同学第1天选择餐厅就餐的概率是，若第1天选择餐厅，则第2天选择餐厅的概率为；若第1天选择餐厅就餐，则第2天选择餐厅的概率为；已知王同学第2天是去餐厅就餐，则第1天去餐厅就餐的概率为________．
四、解答题：(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.（13分）
已知等比数列中，数列满足．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
（15分）
近年来，我国青少年近视问题呈现高发性、低龄化、重度化趋势. 已知某校有学生200人，其中40人每天体育运动时长小于1小时，160人每天体育运动时长大于或等于1小时，为研究体育运动时长与青少年近视的相关性，研究人员采用分层随机抽样的方法从学生中抽取50人进行调查，得到以下数据：
体育运动时长小于1小时 体育运动时长大于或等于1小时 合计
近视 4
无近视 2
合计
（1）请完成上表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为学生是否近视与体育运动时长有关？
（2）为进一步了解近视学生的具体情况，现从调查的近视学生中随机抽取3人进行进一步的检测，设随机变量为体育运动时长小于1小时的人数，求的分布列和数学期望.
附：
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式：，其中.
（15分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数在上的最小值是，求的值.
（17分）
已知函数
（1）当 时，求函数的极值；
（2）若函数 在区间 上有1个零点，求实数k的取值范围；
（3）若 在 上恒成立，求出正整数k的最大值；
（17分）
为了更好的普及科学知识，某班举行了科技知识竞赛活动，现在班干制定了两种竞赛规则方案：
（1）方案一竞赛规则：从6道题中任选2题作答，2题均答对就获得“科学之星”的称号.已知6道题中同学甲能答对其中的4道题，求甲在已经答对一题的前提下没有获得“科学之星”称号的概率；
（2）方案二竞赛规则：共设置道题，参加比赛的同学从第1题开始答题，答对就进入下一题，答错则终止答题，若道题全部答对，就获得一个奖品.已知同学乙答对每道题的概率为.
（i）当时，设乙答题结束时，答题的个数为，求随机变量的分布列及数学期望；
（ii）设乙答题结束时，答对题目的个数为，求使得成立的的最小值.
（参考数据：）绵阳南山中学实验学校高2023级高二（下）期末模拟试题 （二） 数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C B B D A A B A ABC BD ABD
7.B【详解】总值班人次为，每人需要值班1天或2天，
因此唯一可能的分配是其中两人各值班天，另外两人各值班天，
先从四人中选出值班两天的两人，有种，
假设选出的两人分别为甲乙，需要值班天，另外两人丙丁各值班天，具体分两种情况，
若甲乙共同值班天，选择共同值班的天，有种情况，
剩余天，由丙丁共同值班仅种方式，总方式；
若甲乙共同值班天，从天中选天，有种情况，
然后甲从剩余的天选择天值班，乙选择剩下天，有种情况，
然后丙丁分别在甲乙剩余值班天中各选择天，有种方式，总方式；
一共有种方式，则总方案数有种.故选：B
8.A【详解】由，可得，所以，又由，所以在上单调递增，
因为，所以，所以，
令，则，
令，则，可得，
所以在上单调递减，且，
当时，，，则在上单调递增；
当时，，，则在上单调递减，
所以当时，有极大值，即最大值，所以.故选：A．
10.BD【详解】令，得，，令，得，
若，，则，且时，恒成立，
时，，递减，，，递减，
，，递增，故D正确；
若，，则，且时，恒成立，
时，，递增，时，，递减，
时，，递减，故B正确；
若，，则，且时，恒成立，
时，，递减，时，，递增，
时，，递增，故C错误；
若，，，且时，恒成立，
时，，递增，，，递增，
，，递减，故A错误；
综上，A,C错误，B,D正确．故选：BD．
11.ABD【详解】对于A，若，，则每个人出的手势都有种可能，
所以个人出手势的总情况数为种，只有一人获胜的情况有种情况，
因为三个人都有可能获胜，所以只有一人获胜的概率为，故A正确；
对于B，若，，个人出手势的总情况数为种，
计算平局的情况：
所有人出相同手势的情况有种（都出石头、都出剪刀、都出布）.
三种手势都出现的情况：用间接法，先计算不满足三种手势都出现的情况，
即只有一种手势的3种情况和只有两种手势的情况.
计算只有两种手势的情况：从3种手势中选2种，有种选法，
设选的两种手势为A和B，把5个人分配到这两种手势中，
排除5个人都出A和5个人都出B的情况，
有种情况，所以只有两种手势的情况有种.
那么三种手势都出现的情况有种.
综上平局的情况共有种，所以平局的概率，故选项B正确；
对于C，当时，两人每次出手势都有3种情况，所以每局的情况数为种，
恰经过5局比赛结束，说明前3局没有一人连续两局获胜，第4局和第5局是同一人获胜，
设两人为甲和乙，若恰经过5局比赛甲获胜，则第一三局甲输，第二四五局甲胜，
其概率为；
若恰经过5局比赛乙获胜，则第一三局乙输，第二四五局乙胜，
其概率为；
所以恰经过5局比赛结束的概率，故选项C错误；
对于D，若，每局比赛打平，则3个人出的手势一样，有3种情况，或者各不相同，
有种情况，所以三人打平的概率为；
若3人中两个人出的手势一样，与另外一个不一样，则每局比赛打平的概率为，
不妨设三人分别为甲、乙、丙，最后经过5局比赛甲获胜，
有以下几种情况，
①， 前4局，三人都是平局，第5局甲胜乙丙，其概率为
，
②，前3局，三人都是平局，第4局甲丙胜乙输，第5局甲胜丙，其概率为
，
③，前3局，三人都是平局，第4局甲乙胜丙输，第5局甲胜乙，其概率为
，
④，第一二局三人打平，第三局甲乙胜丙输，第四局甲乙打平，第五局甲胜乙，
其概率为，
⑤，第一二局三人打平，第三局甲丙胜乙输，第四局甲丙打平，第五局甲胜丙，
其概率为，
⑥，第一局三人打平，第二局甲丙胜乙输，第四五局甲丙打平，第五局甲胜丙，
其概率为，
⑦，第一局三人打平，第二局甲乙胜丙输，第四五局甲乙打平，第五局甲胜乙，
其概率为，
⑧，第一局甲乙胜丙输，第二三四局甲乙都是平局，第5局甲胜乙，其概率为
，
⑨，第一局甲丙胜乙输，第二三四局甲丙都是平局，第5局甲胜丙，其概率为
，
综上，甲获胜的概率为，
所以恰经过5局比赛决出最终胜利者的概率，故选项D正确.故选：ABD.
12. 13.2049 14.
13. 2049解析：天干每10年、地支每12年循环，2025年+24年=2049年为己巳年。
14. 解析：设“王同学第i天去A餐厅就餐”，“王同学第i天去B餐厅就餐”，，
依题意，，，，则，
由有：，
因为，所以
，所以.
15.【详解】（1）设等比数列的公比为，因为，
所以，即，则，则.
（2）由（1），得，
则．
16.【详解】（1）由题意可知：抽取50人中体育运动时长小于1小时的人数为，
据此可得列联表：
体育运动时长小于1小时 体育运动时长大于或等于1小时 合计
近视 8 4 12
无近视 2 36 38
合计 10 40 50
零假设：学生是否近视与体育运动时长无关，
可得，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断出成立，
因此可以认为不成立，即认为学生是否近视与体育运动时长有关.
（2）由题意可知：的可能取值为0，1，2，3，
，，，，
所以的分布列为
0 1 2 3
的期望.
17.【详解】（1），，
若，则在上恒成立，所以在上单调递增，
当时，令，解得，令，解得，
则其在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2），，
若，则在上恒成立，所以在上单调递增，
所以，不满足题意；
若，令，解得，令，解得，
所以函数在单调递减，单调递增，
所以，解得，满足题意；
若， 则在上恒成立，所以在上单调递减，
所以，解得，不满足题意，
综上，.
18.【详解】（1）当时，，，则，
令，得，令，得，
所以的单调增区间为，减区间为.的极小值为0，无极大值。
（2）由，
当时，由，得，所以，在上是单调增函数，且图象不间断，
又，所以当时，，
所以函数在区间上没有零点，不合题意.
当时，令，得，
若，则，故在上是单调减函数，
若，则，故在上是单调增函数，
当时，，又，
所以函数在区间上有1个零点，符合题意．
综上所述，的取值范围为.
（3）由在上恒成立，即，
由，则，对上恒成立，
令，则，设，则，
所以在是单调增函数，又，，
所以存在唯一的实数，使得，
当时，，即，当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，又，即，
，，又，，所以的最大值为3，
19.【详解】（1）设事件表示甲已经答对一题，事件表示甲获得“科学之星”称号，
则，，则.
（2）（i）的可能取值为，
则，，，
故的分布列为：
则.
（ii）的可能取值为，
则，，，
由期望的公式可得，
设，
则，
两式相减可得
，
所以，
则
，
由可得，即，
即，其中，
，则，
所以的最小值为.

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