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绵阳南山中学实验学校高2023级高二（下）期末模拟试题 （五） 数学参考答案
1．【答案】B【详解】，
，故选：B.
2．【答案】A【详解】由题意得在等比数列中，是方程的两个实数根，
则由韦达定理得，，故，得到，
由等比中项性质得，解得，得到，故A正确.故选：A
3．【答案】C【详解】因为，
又，
两式相加得：，则.故选：C.
4．【答案】C【详解】因为随机变量,
所以,所以.故选:C.
5．B【详解】，其中的常数项为，
的常数项，所以展开式的常数项，
故选：B
6．【答案】A【详解】7位同学排成一排照相，共有种排法，原来5位同学的排列方法有种，
所以保持原来5位同学的相对顺序不变的排法种数为.故选：A
7．【答案】D【详解】设切点为，由已知得，则切线斜率，
切线方程为．∵直线过点，∴，
化简得．∵切线有2条，∴，则的取值范围是，
故选：D
8．【答案】A【详解】设，如图所示：

由的图象知，，则，从而，，
所以．令，，则，
当时，，当且仅当时，，所以在上为减函数，所以，得，即的取值范围是．故选：A．
9．【答案】ACD【详解】对A，当时，，则该方程对应于点的残差为，故A正确；对B，因为，所以，
所以，解得，
即，所以，B错误；
对C，一组数中每个数减去同一个非零常数，新的平均数为原平均数减去常数，所以平均数改变，
对D，对于D，因为，所以，令，所以，又因为，所以，解得，故D正确.故选:ACD
10．【答案】BD【详解】由，可得，则，
又由，可得，所以数列表示首项为，公比为的等比数列，
所以，所以，
由，所以A不正确；
由，即，所以是递增数列，所以B正确；
由，所以C错误；
由，，所以，所以D正确.故选：BD.
11．【答案】ACD【详解】由可得，
设，则，所以（为常数），
所以因为，所以，即
对于A，因为，所以时，，单调递减；
时，，单调递增，所以在上单调递增.故A正确；
对于B，当时，，不合题意；当时，，不合题意；
当时，，且由A可知，在单调递增.所以，解得，故B不正确；对于C，若即，当时，恒成立；
当时，等价于，即，设，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，，所以，故C正确；
对于D，，即，
因为当时，，当时，在单调递增，且，
所以，且，则，
又因为，所以，即，故D正确.
故选：ACD.
12．【答案】【详解】由题意，第0行的数为，
第1行的数为，第2行的数为，第3行的数为，
第4行的数为，因此，第行第个数为：，
所以第9行第8个数是.故答案为：.
13．【答案】【详解】记事件为“小江随机夹的3个饺子中吃到1个含有硬币的饺子”，
事件为“小江随机夹的3个饺子中吃到2个含有不同特殊馅的饺子”，
所以所以．故答案为：.
14．【答案】【详解】对两边取自然对数，得①，
对两边取自然对数，得，即②，
因为方程①②为两个同构方程，所以，解得，设且，则，
所以在上单调递增，故的解只有一个，所以，则．
故答案为：
15【详解】（1）函数的定义域为，又，
由，解得或；由，解得.
故函数的单调递增区间为和；
函数的单调递减区间为.
（2）由（1）可得在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值即最小值，所以，
又，，所以，
所以函数在上的值域为.
16．【详解】（1）
，
所以.
（2）由题意，
所以，所以关于的经验回归方程为，
所以预测2024年2月份该公司的销售金额为万元.
17．【详解】（1）当时，，则，
令，得或，由于，
所以当，，在单调递减，当，，在单调递增，
所以在时取到极小值，且，
又因为，，综上，函数在上的最大值为，最小值为.
（2）因为，所以，
当，即时，，
在单调递增，当，即时，令，则，
所以当，，在单调递增，
当，，在单调递减，
当，，在单调递增.
综上所述，当时，在单调递增，
当时，在，单调递增，在单调递减.
18．【详解】（1）用方案A需要消耗份检测物资，
记用方案B需要消耗X份检测物资，则的可能取值为，
用方案C需要消耗Y份检测物资，则的可能取值为：
，，所以，
，，所以，
由，可知方案B预期消耗物资最少
（2）法一：延用（1）中的记号：现在以小组为单位进行考察：
方案B中：每个小组消耗物资期望为
方案C中：每个小组消耗物资期望为
于是：，，
令，则，解得或，
当时，，故，
此时，方案C预期消耗物资最少，
当时，，故，，方案A预期消耗物资最少，令，则，
解得，此时，故，
此时，三种方案预期消耗物资一样.
法2：教材复习参考题七所采用方法：B:设每个人检测的随机变量为
1/2 3/2
- 1-
同理后面同法一。
19．【详解】（1）解：数列的通项公式为，
对任意的，都有，
取，则，所以 是“数列”.
（2）解：数列为等差数列，①若是“数列”，，且，
则，对任意的，
，由题意存在，使得，
即，显然，所以，即，
.所以是8的正约数，即，
时，；时；时；时.综上，的可能值为.
②若对任意，存在，使得成立，所以存在，
设数列公差为，则，
可得，对任意，
则，取，
可得，所以数列是“数列”.
第1页，共3页绵阳南山中学实验学校高2023级高二（下）期末模拟试题 （五） 数 学
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数
A．12 B． C．3 D．6
2．在等比数列中，是方程的两个实数根，则
A． B． C． D．3
3．
A．36 B．64 C．128 D．256
4．已知随机变量,则等于
A． B． C． D．
5．展开式的常数项为
A． B． C．42 D．43
6．高二（1）班5位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，若保持原来5位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为
A．42 B．30 C．21 D．15
7．若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是
A． B． C． D．
8．已知函数，若，且，则的取值范围是
A． B． C． D．
多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．下列选项正确的有
A. 已知相关变量满足回归方程，则该方程对应于点的残差为1.1
B．已知随机变量服从正态分布，且，则
C．如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变
D. 以拟合一组数据时，经代换后的经验回归方程为，则
10．已知数列中，，，则下列结论正确的是
A． B．是递增数列 C． D．
11．设定义在上的函数的导函数为，若满足，且，则下列结论正确的是
A．在上单调递增 B．不等式的解集为
C．若恒成立，则 D．若，则
填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．以下排列的数是二项式系数在三角形中的几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，它出现要比杨辉迟393年.那么，第9行第8个数是 .
13．饺子是我国古代传统食物，由东汉末年医学家张仲景发明，最初作为药用．在包饺子时，人们常常将红糖、花生、枣和硬币等包进馅里，红糖代表日子甜美，花生代表健康长寿，枣代表早生贵子，硬币代表财源不断．已知小江一家过年时，在一盘饺子（20个）中，含有红糖、花生的各2个，含枣、硬币的饺子各1个，则小江随机夹的3个饺子中，吃到1个含有硬币的饺子的前提下，吃到2个含有不同特殊馅的饺子的概率为 ．
14．在数学中，我们把仅有变量不同，而结构 形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于b的方程可化为同构方程，则的值为 ．
四、解答题：(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．（13分）
已知函数．
（1）求函数的单调区间．
（2）求函数在上的值域．
16．（15分）
随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展.其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货.某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计.
年月 2023年8月 2023年9月 2023年10月 2023年11月 2023年12月 2024年1月
月份编号 1 2 3 4 5 6
销售金额/万元 15.4 25.4 35.4 85.4 155.4 195.4
若与的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：
(1)试求变量与的样本相关系数（结果精确到0.01）；
(2)试求关于的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额.（，均保留一位小数） 参考数据：
附：经验回归方程，其中，
样本相关系数
17．（15分）
已知函数．
（1）若，求函数在上的最大值和最小值；
（2）讨论函数的单调性．
18．（17分）
某地爆发瘟疫，现在你要负责检查其中8位居民是否感染.已知可以通过检测居民血样来判断该居民是否感染，若检测结果呈阳性，就认为该居民被感染了，否则认为该居民没有感染.由于事发突然，检测物资储备并不富裕，如果逐个检查每位居民的血样，就一定要消耗8份检测物资.此时，你想到：也许可以先将这8位居民按2人一组或4人一组进行分组，将同组居民的血样混合起来进行检测.这样如果最终检测结果不呈阳性，则说明该组所有居民都没有感染，如果检测结果呈阳性，则需要对该组每位居民再逐个检测血样.记：逐个检测为方案A，2人一组检测为方案B，4人一组检测为方案C：
（1）若已知这8位居民中有2位被感染，试确定上述哪种方案预期消耗物资最少；
（2）若每位居民有p的概率被感染，试讨论上述哪种方案预期消耗物资最少.
（17分）
对于无穷数列，若对任意，且，存在，使得成立，则称为“数列”.
（1）若数列的通项公式为，试判断数列是否为“数列”，并说明理由；
（2）已知数列为等差数列，
①若是“数列”，，且，求所有可能的取值；
②若对任意，存在，使得成立，求证：数列为“数列”.
第1页，共3页

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