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绵阳南山中学实验学校高2023级高二（下）期末模拟试题 （四） 数 学
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等差数列的前项和为，，，则的值为
A．70 B．80 C．90 D．100
2．的展开式中的系数为
A．50 B．100 C． D．
3．某校高中三年级1600名学生参加了区第二次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩X服从正态分布（试卷满分为150分），统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为
A．200 B．150 C．250 D．100
4．已知等比数列的公比为，前项和为.若，，则
A．3 B．4 C．5 D．7
5．根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型，求得残差图.对于以下四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差假设的是
A B C D
6．某校在高一开展了选课走班的活动，已知该校提供了3门选修课供学生选择，现有5名同学参加选课走班的活动，要求这5名同学每人选修一门课程且每门课程都有人选，则5名同学选课的种数为
A．150 B．180 C．240 D．540
7．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向上或向右移动一个单位，则质点移动6次后位于的概率为
A． B． C． D．
8．设函数，若恒成立，则的最大值为
A． B． C． D．1
多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．以下说法正确的是
A．相关系数用来衡量成对样本数据的线性相关程度，而决定系数可以用来比较两个模型的拟合效果
B．若，，则，
C．已知经验回归方程为，且样本点的中心为，则的预测值为1
D．某校高二年级的男生身高（单位：）近似服从正态分布.若该校高二年级有1000名男生，则身高在内的男生大约有819人（参考数据：，.）
10．设是等差数列，是其前n项的和.且，，则下面结论正确的是
A． B．
C．与均为的最大值 D．满足的n的最小值为14
11．设函数，则
A．当时，直线不是曲线的切线
B．当时，函数有三个零点
C．若有三个不同的零点，，，则
D．若曲线上有且仅有四点能构成一个正方形，则
填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知函数，则的极小值点为 .
13．在的二项式中，所有的二项式系数之和为64，则各项的系数的绝对值之和为 ．
14．我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，下图是由 “杨辉三角”拓展而成的三角数阵，记第一条斜线之和为，第二条斜线之和为，第三条斜线之和为，以此类推，组成数列.例如若，则 .
四、解答题：(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．（13分）
已知数列的前项和为，且满足.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）求数列的前项和.
16．（15分）
某市共有10所重点大学可供考生选择，其中3所为985高校，4所为211高校，另外3所为特色专业高校．一位考生准备从这10所高校中随机选择4所进行志愿填报，每所高校被选中的概率相同．
（1）求该考生恰好选到2所985高校的概率；
（2）若该考生选到985高校的数量为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
17．（15分）
已知函数是函数的导函数，且．
（1）求；
（2）若在区间内单调递增，求实数的取值范围；
18．（17分）
某工厂引进两条智能化生产线，从这两条生产线生产的产品中各随机抽取100件进行检验，得到的数据如下表：
优质品 合格品 总计
A生产线 90 10 100
B生产线 80 20 100
总计 170 30 200
（1）依据小概率值的独立性检验，分析A，B两条智能化生产线的优质品率是否存在差异；
（2）用样本的频率估计概率，若B生产线的生产效率是A生产线的2倍，现从A，B两条生产线同一时间段内生产的均匀混合放置的产品里任取一件产品，求其是优质品的概率；
α 0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
（3）用样本的频率估计概率，若从B生产线上随机抽取3件产品，记X为这3件产品中优质品的件数，求X的分布列和数学期望．
附．
19．（17分）
已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）求证：．
第1页，共3页绵阳南山中学实验学校高2023级高二（下）期末模拟试题 （四） 数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D C A C D A B C ACD BCD BCD
1．【答案】D【详解】设等差数列的公差为，则，
所以，故选：D.
2．【答案】C【详解】解：，故选：C．
3．【答案】A【详解】因为数学考试成绩服从正态分布，，所以，此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为.故选：A
4．【答案】C【详解】法一：因为等比数列的公比为，则，，所以，解得.
法二：根据等比数列前项和的性质得，，成等比数列，且公比为，
所以，即，解得..故选：C
5．【答案】D【详解】根据一元线性回归模型中对随机误差的假定，残差应是均值为、方差为的随机变量的观测值.
对于A选项，残差与有线性关系，故A错误；
对于B选项，残差的方差不是一个常数，随着观测时间变大而变小，故B错；
对于C选项，残差与有非线性关系，故C错；
对于D选项，残差比较均匀地分布在以取值为的横轴为对称轴的水平带状区域内，故D正确.故选：D.
6．【答案】A【详解】先把5名同学分为3组：（3人,1人,1人）或（2人,2人,1人），
再把这3组同学分配给3门选修课即可解决.
则5名同学选课的种数为（种）故选：A
7．B【详解】质点从原点出发，移动6次后位于，则质点向右移动2次，向上移动4次，
由此质点移动6次后位于的概率为.故选：B.
8．【答案】C【详解】要使得在上恒成立，则，且无变号零点，
分析与的符号情况如下：
当时，，当时，，令，即，
①当时，，所以且，又，所以
所以，满足题意；
②当时，，所以且，又，所以
所以，满足题意；
③当时，，所以且，又，所以
所以，满足题意；
综上，当时，在上恒成立.
所以，令，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
所以，即故选：C
9．【答案】ACD【详解】对于A：相关系数用来衡量成对样本数据的线性相关程度，而决定系数用来比较两个模型的拟合效果,故A正确；
对于B：由，故B错误；
对于C：由样本点的中心为，所以，
当时，，所以预测值为1，故C正确；
对于D：由题意有，所以
，所以，故D正确.故选：ACD.
10．【答案】BCD【详解】A：因为，所以，所以，故A错误；
B：由A的解析可得B正确；
C：因为，，所以与均为的最大值，故C正确；
D：因为，由，，故D正确；故选：BCD.
11．【答案】BCD【详解】当时，，则，则，
则曲线在点处的切线方程为，故选项错误.
当时，，则，当和时，，单调递增，
时，，单调递减.又因为，，结合三次函数的图像特征，
此时，有三个零点，故B选项正确.设的三个零点分别为，，，
则有，展开后比对含项的系数，可得，故选项C正确.
当时，易知在上单调递增，结合图像知不符合题意，故.
因为，因此函数的图像关于点成中心对称图形.
则此正方形必以为中心，不妨设正方形的四个顶点分别为A，，，，
其中一条对角线的方程为，则，
即，解得，则，
同理可得.由得，根据题意，方程只有一个正解，当时，显然不成立.故，则，因为，则，设，则.设，
根据题意，只需要直线与函数的图像只有唯一的公共点即可.
结合双勾函数的图像可得，解得.所以选项D正确. 故选：BCD
12．【答案】【详解】解：的定义域为，
所以在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，所以是的极小值点
13．【答案】729【详解】由题意的二项式中，所有的二项式系数之和为64，
即，设的各项的系数为，
则各项的系数的绝对值之和为，即为中各项的系数的和，
令，，即各项的系数的绝对值之和为，故答案为：729
14．【答案】【详解】为斐波那契数列：，从中发现：，，，以此类推，
则. 故答案为：.
15．【详解】（1）当时，，解得；
因为，①当时，，②
①②得即，当时，，
又，所以是以为首项，以为公比的等比数列；
（2）由第一问可得，，
根据等比数列前项和公式和分组求和得：
，化简得：.
16．【详解】（1）从10所高校中，任取4所，共有种取法，
恰有2所985高校的取法为：，该考生恰好选到2所985高校的概率为；
（2）设为该考生选到985高校的个数，则的取值为0，1，2，3．
，，
，，
0 1 2 3
.
17．【详解】（1）由题意，设，（为常数），
又，所以，则．
（2）由题意，在内恒成立．，，．
令，则，在区间上单调递增，
，即.所以实数a的取值范围是．
18．【详解】（1）零假设：A，B两条智能化生产线的优质品率是不存在差异
.
依据小概率值的独立性检验，可知零假设不成立，可以认为两条智能化生产线的优质品率存在差异．
（2）设“生产线生产的产品”为事件，“生产线生产的产品”为事件，“任取一件产品是优质品”为事件，
由题可知，，
则，
所以任取一件产品是优质品的概率为．
（3）的所有可能取值为0，1，2，3，由题意得，
，
.
所以的分布列为：
0 1 2 3
0.008 0.096 0.384 0.512
所以的数学期望．
19．【详解】（1）当时，，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2），则．
对于方程．
当，即时，，函数在上单调递减；
当，即时，方程有两不等根，
，且，
所以当或时，；当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，函数的单调递增区间为，
单调递减区间为，．
（3）证明：由（2）知，当时，函数在上单调递减，
又，所以当时，，
即当时，．因为，所以，所以，
即，所以，，，…
，累加可得
，
即，
所以．
第1页，共3页

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