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“2年高考1年模拟”课时精练（五十七） 椭 圆
1.(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：+y2=1(a>1)，C2：+y2=1的离心率分别为e1，e2，若e2=e1，则a= (　　)
A. B.
C. D.
2.已知椭圆C：+=1(a>b>0)经过点(0，4)，离心率为，则椭圆C的方程为 (　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
3.(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C：x2+y2=16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为 (　　)
A.+=1(y>0) B.+=1(y>0)
C.+=1(y>0) D.+=1(y>0)
4.已知椭圆C的离心率为cos 40°，焦点为F1，F2，一个短轴顶点为B，则∠F1BF2= (　　)
A.40° B.50°
C.80° D.100°
5.如图，F1，F2分别为椭圆+=1的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为4的正三角形，则b2的值是 (　　)
A.8 B.2
C.4 D.4+2
6.(2025·福州检测)[多选]已知椭圆C：+=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上一点，则 (　　)
A.椭圆C的离心率为
B.△PF1F2的周长为5
C.∠F1PF2<90°
D.1≤|PF1|≤3
7.(2025·贵港模拟)已知F1，F2分别是椭圆E：+=1(a>b>0)的左、右焦点，O是坐标原点，P是椭圆E上一点，PF1与y轴交于点M.若|OP|=|OF1|，|MF1|=，则椭圆E的离心率为 (　　)
A.或 B.或
C.或 D.或
8.(2025·苏州模拟)在平面直角坐标系xOy内，将椭圆C：+=1(a>b>0)绕原点O旋转得到椭圆C1：x2+y2-xy=6，点P(m，n)是椭圆C1上任意一点，则下列说法错误的是 (　　)
A.椭圆C1的对称轴为y=±x
B.m+n的最大值为2
C.椭圆C1的离心率为
D.n的最大值为2
9.(2025·潍坊模拟)已知F1，F2分别为椭圆C：+=1的左、右焦点，点P(x0，y0) 在C上，若∠F1PF2大于，则x0的取值范围是 (　　)
A.(-∞，-)∪(，+∞)
B.(-)
C.(-∞，-)∪(，+∞)
D.(-)
10.若椭圆+=1的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是　　　　.
11.(2024·济南联考)已知椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线交椭圆于A，B两点，若F2为线段AB的中点，则△AF1B的面积为　　　　.
12.已知椭圆的两焦点为F1(-4，0)，F2(4，0)，点P在椭圆上.若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆的标准方程为　　　　　　.
13.如图所示，已知椭圆+=1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB=90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且=2，求椭圆的方程.
14.(2024·北京高考)已知椭圆E：+=1(a>b>0)，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点(0，t)(t>)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，过点A和C(0，1)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D.
(1)求椭圆E的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值.
15.(2024·新课标Ⅰ卷)已知点A(0，3)和点P分别为椭圆C：+=1(a>b>0)上的两点.
(1)求C的离心率；
(2)若过点P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程.
（解析）精练（五十七） 椭 圆
1.(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：+y2=1(a>1)，C2：+y2=1的离心率分别为e1，e2，若e2=e1，则a= (　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　由e2=e1，得=3.因此=3×.因为a>1，所以a=.
2.已知椭圆C：+=1(a>b>0)经过点(0，4)，离心率为，则椭圆C的方程为 (　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
解析：选D　依题意b=4，又=，且a2=b2+c2，所以a=5，c=3，故椭圆C的方程为+=1.
3.(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C：x2+y2=16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为 (　　)
A.+=1(y>0) B.+=1(y>0)
C.+=1(y>0) D.+=1(y>0)
解析：选A　法一　设点M(x，y)，则P'(x，0)，因为M为PP'的中点，所以P(x，2y)，又P在曲线x2+y2=16(y>0)上，所以x2+4y2=16(y>0)，即+=1(y>0)，即点M的轨迹方程为+=1(y>0).
法二　因为P在曲线C上，不妨取P(0，4)，则P'(0，0)，所以中点M(0，2).因为点M满足轨迹方程，代入选项，只有A符合.
4.已知椭圆C的离心率为cos 40°，焦点为F1，F2，一个短轴顶点为B，则∠F1BF2= (　　)
A.40° B.50°
C.80° D.100°
解析：选D　设椭圆C的中心为O，长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则在等腰△BF1F2中，|F1F2|=2c，|OB|=b，|BF1|=|BF2|=a.因为椭圆C的离心率为cos 40°，所以在Rt△BOF1中，cos 40°==cos∠BF1O，故∠BF1O=40°，∠F1BF2=180°-2×40°=100°.
5.如图，F1，F2分别为椭圆+=1的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为4的正三角形，则b2的值是 (　　)
A.8 B.2
C.4 D.4+2
解析：选A　由于△POF2是面积为4的正三角形，过点P作PH⊥x轴于H，
则H为OF2的中点，所以xP=c，yP=c，所以=×c2=4，即c=4，即P(2，2)，将点P的坐标代入椭圆方程得+=1，即+=1，解得b2=8.故选A.
6.(2025·福州检测)[多选]已知椭圆C：+=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上一点，则 (　　)
A.椭圆C的离心率为
B.△PF1F2的周长为5
C.∠F1PF2<90°
D.1≤|PF1|≤3
解析：选CD　∵椭圆C：+=1，∴a2=4，b2=3，∴c2=a2-b2=1，即c=1，∴离心率e==，故A不正确；△PF1F2的周长为2a+2c=4+2=6，故B不正确；在△PF1F2中，当P点移动到椭圆C的短轴端点处时，∠F1PF2最大，由余弦定理可得，此时cos∠F1PF2===1-=，∴∠F1PF2=60°<90°，故C正确；∵a-c≤|PF1|≤a+c，∴1≤|PF1|≤3，故D正确.
7.(2025·贵港模拟)已知F1，F2分别是椭圆E：+=1(a>b>0)的左、右焦点，O是坐标原点，P是椭圆E上一点，PF1与y轴交于点M.若|OP|=|OF1|，|MF1|=，则椭圆E的离心率为 (　　)
A.或 B.或
C.或 D.或
解析：选B　由|OP|=|OF1|，得|OP|=|F1F2|，则PF1⊥PF2，则△PF1F2∽△OF1M，则=，即=，解得|PF1|=，则|PF2|=2a-|PF1|=2a-=.因为PF1⊥PF2，所以+=，即+=4c2，整理得72c4-85a2c2+25a4=0，则72e4-85e2+25=0，解得e2=或e2=，故e=或e=.故选B.
8.(2025·苏州模拟)在平面直角坐标系xOy内，将椭圆C：+=1(a>b>0)绕原点O旋转得到椭圆C1：x2+y2-xy=6，点P(m，n)是椭圆C1上任意一点，则下列说法错误的是 (　　)
A.椭圆C1的对称轴为y=±x
B.m+n的最大值为2
C.椭圆C1的离心率为
D.n的最大值为2
解析：选C　设(x，y)是椭圆C1上任意一点，则(x，y)关于y=x对称的点为(y，x)，关于y=-x对称的点为(-y，-x)，由C1：x2+y2-xy=6可得(y，x)和(-y，-x)均在曲线上，故椭圆C1的对称轴为y=±x，故A正确；对于B，m2+n2-mn=6，则(m+n)2=6+3mn≤6+3，则(m+n)2≤6，故m+n≤2，当且仅当m=n=时取等号，故B正确；对于C，由A可知，y=±x是C1的两条对称轴，令x=y，则x2+x2-x2=6，解得x=±，令x=-y，则x2+x2+x2=6，解得x=±，故长半轴长为，短半轴长为，故离心率为e====，故C错误；对于D，由m2+n2-mn=6可将其看作是关于m的方程，且该方程有实数根，故Δ=n2-4(n2-6)≥0，故n2≤8，因此n的最大值为2，故D正确.
9.(2025·潍坊模拟)已知F1，F2分别为椭圆C：+=1的左、右焦点，点P(x0，y0) 在C上，若∠F1PF2大于，则x0的取值范围是 (　　)
A.(-∞，-)∪(，+∞)
B.(-)
C.(-∞，-)∪(，+∞)
D.(-)
解析：选D　因为椭圆C：+=1，所以a2=6，b2=2，所以c2=a2-b2=4，
所以F1(-2，0)，F2(2，0)，因为点P(x0，y0) 在C上，所以+=1，所以=2-，-10.若椭圆+=1的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是　　　　.
解析：因为椭圆+=1的焦点在y轴上，所以3-k>k-1>0，解得1答案：(1，2)
11.(2024·济南联考)已知椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线交椭圆于A，B两点，若F2为线段AB的中点，则△AF1B的面积为　　　　.
解析：由题意可知F1(-，0)，F2(，0)，因为点F2为线段AB的中点，所以AB⊥F1F2，所以|AB|==1，所以=|AB|·|F1F2|=.
答案：
12.已知椭圆的两焦点为F1(-4，0)，F2(4，0)，点P在椭圆上.若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆的标准方程为　　　　　　.
解析：如图，当P在y轴上时，△PF1F2的面积最大，所以×8b=12，所以b=3.
又c=4，所以a2=b2+c2=25，所以椭圆的标准方程为+=1.
答案：+=1
13.如图所示，已知椭圆+=1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB=90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且=2，求椭圆的方程.
解：(1)若∠F1AB=90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|=|OF2|，即b=c.
所以a=c，e==.
(2)由题意知A(0，b)，F2(1，0)，设B(x，y)，由=2，得解得x=，y=-.
代入+=1，得+=1，解得a2=3.
所以b2=a2-c2=3-1=2，
所以椭圆方程为+=1.
14.(2024·北京高考)已知椭圆E：+=1(a>b>0)，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点(0，t)(t>)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，过点A和C(0，1)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D.
(1)求椭圆E的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值.
解：(1)由题意可知b=，c=，
所以a==2，
故椭圆E的方程为+=1，离心率e==.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y=kx+t(k≠0)，
联立得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-4=0.
所以Δ=(4kt)2-4(1+2k2)(2t2-4)>0，
即4k2-t2+2>0，
由根与系数的关系得　①.
由椭圆的对称性可得D(-x2，y2)，
因为A，C，D三点共线，所以kAC=kCD，
所以=，即x1y2+x2y1-(x1+x2)=0.
由y1=kx1+t，y2=kx2+t，得x1(kx2+t)+x2(kx1+t)-(x1+x2)=0，
整理得2kx1x2+(t-1)(x1+x2)=0　②.
所以2k·+(t-1)·=0，解得t=2.
所以t的值为2.
15.(2024·新课标Ⅰ卷)已知点A(0，3)和点P分别为椭圆C：+=1(a>b>0)上的两点.
(1)求C的离心率；
(2)若过点P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程.
解：(1)依题意，将点A(0，3)，P的坐标分别代入椭圆方程，可得解得
所以e===.
(2)由(1)得椭圆的方程为+=1，
当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=3，可得B，此时点A(0，3)到直线PB的距离为3，则△ABP的面积为×3×3=，不符合题意.
设l的方程为y=k(x-3)+，
P(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得方程组
消去y并整理，得(4k2+3)x2-(24k2-12k)x+36k2-36k-27=0，
所以x1+x2=，x1x2=，
则|PB|=
=
=.
又A(0，3)到直线l的距离d=，
所以△ABP的面积为·|PB|·d=··=9，
解得k=或k=，
所以l的方程为y=x或y=x-3.
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