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“2年高考1年模拟”课时精练（五十九） 抛物线
1.若圆x2-4x+y2-2y=0的圆心在抛物线y2=2px上，则该抛物线的焦点坐标为 (　　)
A. B.
C. D.(1，0)
2.抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为，则p= (　　)
A.1 B.2
C.2 D.4
3.(2023·北京高考)已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5，则|MF|= (　　)
A.7 B.6
C.5 D.4
4.抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线x=2交C于P，Q两点，C的准线交x轴于点R，若PR⊥QR，则C的方程为 (　　)
A.y2=4x B.y2=6x
C.y2=8x D.y2=12x
5.(2025·厦门模拟)已知抛物线E：x2=8y的焦点为F，点P为E上一点，Q为PF靠近点P的三等分点，若|PF|=10，则Q点的纵坐标为 (　　)
A.2 B.4
C.6 D.8
6. (2025·唐山模拟)已知抛物线C：y2=2px(p>0)，直线l：y=k(k>0)与C的一个交点为M，F为抛物线C的焦点，O为坐标原点，若sin∠MFO=，则k= (　　)
A. B.
C. D.
7.(2025·昆明模拟)[多选]已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，点A∈l，线段AF交抛物线C于点B，过点B作l的垂线，垂足为H，若=3，则 (　　)
A.||= B.||=4
C.||=3|| D.||=4||
8.(2024·新课标Ⅱ卷)[多选]抛物线C：y2=4x的准线为l，P为C上动点，过P作☉A：x2+(y-4)2=1的一条切线，Q为切点.过P作l的垂线，垂足为B，则 (　　)
A.l与☉A相切
B.当P，A，B三点共线时，|PQ|=
C.当|PB|=2时，PA⊥AB
D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个
9.[多选]设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点.若△ABF的面积为9，则 (　　)
A.|BF|=3
B.△ABF是等边三角形
C.点F到准线的距离为3
D.抛物线C的方程为y2=6x
10.(2024·北京高考)抛物线y2=16x的焦点坐标为　　　　.
11.(2025·江西五市联考)若抛物线x2=8y上一点(x0，y0)到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍，则y0=　　　　　.
12.已知F是抛物线C：y=2x2的焦点，N是x轴上一点，线段FN与抛物线C相交于点M，若2=，则|FN|=　　　　.
13.已知椭圆C1：+=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|.
(1)求C1的离心率；
(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.
14.已知抛物线C：y2=2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)与焦点的距离为2.
(1)求p和m；
(2)若在抛物线C上存在点A，B，使得MA⊥MB，设AB的中点为D，且D到抛物线C的准线的距离为，求点D的坐标.
15.如图，已知点F为抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|=3.
(1)求抛物线E的方程；
(2)已知点G(-1，0)，延长AF交抛物线E于点B，求证：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切.
（解析）精练（五十九） 抛物线
1.若圆x2-4x+y2-2y=0的圆心在抛物线y2=2px上，则该抛物线的焦点坐标为 (　　)
A. B.
C. D.(1，0)
解析：选A　圆x2-4x+y2-2y=0的圆心坐标为(2，1)，则12=2p×2，得p=，所以该抛物线的焦点坐标为.
2.抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为，则p= (　　)
A.1 B.2
C.2 D.4
解析：选B　抛物线的焦点坐标为，其到直线x-y+1=0的距离为d==，解得p=2(p=-6舍去).
3.(2023·北京高考)已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5，则|MF|= (　　)
A.7 B.6
C.5 D.4
解析：选D　因为抛物线C：y2=8x的焦点为F(2，0)，准线方程为x=-2，点M在C上，所以M到准线x=-2的距离为|MF|，又M到直线x=-3的距离为5，所以|MF|+1=5，故|MF|=4.故选D.
4.抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线x=2交C于P，Q两点，C的准线交x轴于点R，若PR⊥QR，则C的方程为 (　　)
A.y2=4x B.y2=6x
C.y2=8x D.y2=12x
解析：选C　如图，由题可设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，则准线方程为x=-，当x=2时，可得y=±2，可得P(2，2)，Q(2，-2)，又R，PR⊥QR，所以·=-1，即=4p，解得p=4，
所以C的方程为y2=8x.
5.(2025·厦门模拟)已知抛物线E：x2=8y的焦点为F，点P为E上一点，Q为PF靠近点P的三等分点，若|PF|=10，则Q点的纵坐标为 (　　)
A.2 B.4
C.6 D.8
解析：选C　过点P，Q分别作准线的垂线，垂足分别为P1，Q1，如图所示，设准线y=-2与y轴的交点为F1，因为Q为PF靠近点P的三等分点，可得==，又因为|PF|=10，可得|QQ1|=8，又由抛物线的准线方程为y=-2，可得点Q的纵坐标为8-2=6，即点Q的纵坐标为6.
6. (2025·唐山模拟)已知抛物线C：y2=2px(p>0)，直线l：y=k(k>0)与C的一个交点为M，F为抛物线C的焦点，O为坐标原点，若sin∠MFO=，则k= (　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　如图，抛物线C的准线n：x=-，直线n与x轴交于点A，过点M作准线n的垂线，垂足为Q，由抛物线的性质可得|MF|=|MQ|，所以===，又=cos∠QMA=cos∠MAF，所以=cos∠MAF，故tan∠MAF==，即k=.
7.(2025·昆明模拟)[多选]已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，点A∈l，线段AF交抛物线C于点B，过点B作l的垂线，垂足为H，若=3，则 (　　)
A.||= B.||=4
C.||=3|| D.||=4||
解析：选BC　抛物线C：y2=4x的焦点F(1，0)，准线l为x=-1，如图，设准线l与x轴交于点M，∵=3，由△ABH与△AFM相似得==，∵|MF|=2，∴|BH|=×2=，即||=，故A错误；由抛物线定义得|BF|=|BH|，∴|AF|=3|BF|=3|BH|=4，即||=4，||=3||，故B、C正确，D错误.
8.(2024·新课标Ⅱ卷)[多选]抛物线C：y2=4x的准线为l，P为C上动点，过P作☉A：x2+(y-4)2=1的一条切线，Q为切点.过P作l的垂线，垂足为B，则 (　　)
A.l与☉A相切
B.当P，A，B三点共线时，|PQ|=
C.当|PB|=2时，PA⊥AB
D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个
解析：选ABD　由题意抛物线y2=4x的准线为x=-1，☉A的圆心(0，4)到直线x=-1的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l和☉A相切，A正确；P，A，B三点共线时，即PA⊥l，则P的纵坐标yP=4，由=4xP，得xP=4，故P(4，4)，此时切线长|PQ|===，B正确；当|PB|=2时，xP=1，此时=4xP=4，故P(1，2)或P(1，-2)，当点P的坐标为(1，2)时，A(0，4)，B(-1，2)，kPA==-2，kAB==2，不满足kPAkAB=-1，当点P的坐标为(1，-2)时，A(0，4)，B(-1，-2)，kPA==-6，kAB==6，不满足kPAkAB=-1，于是PA⊥AB不成立，C错误；
D选项，法一　因为抛物线的焦点F(1，0)，|PB|=|PF|，所以|PA|=|PB|等价于点P在线段AF的中垂线上，易得该中垂线的方程为y=x+，与抛物线方程联立得消去y整理得4x2-196x+225=0，
Δ=(-196)2-4×4×225>0，
所以满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个，D正确.
法二：设点直接求解
设P，由PB⊥l可得B(-1，t)，又A(0，4)，|PA|=|PB|，根据两点间的距离公式，=+1，整理得t2-16t+30=0，Δ=162-4×30=136>0，则关于t的方程有两个解，即存在两个这样的P点，D正确.故选ABD.
9.[多选]设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点.若△ABF的面积为9，则 (　　)
A.|BF|=3
B.△ABF是等边三角形
C.点F到准线的距离为3
D.抛物线C的方程为y2=6x
解析：选BCD　如图，因为以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，所以|FA|=|FB|，又|BF|=|FD|=|FA|，所以∠ABD=90°，|FA|=|AB|，可得△ABF为等边三角形，B正确；过F作FG⊥AB交于G，则G为AB的中点，G的横坐标为，B的横坐标为-，所以A的横坐标为，代入抛物线可得=3p2，|yA|=p，△ABF的面积为9，即(xA-xB)|yA|=··p=9，解得p=3，所以抛物线的方程为y2=6x，D正确；焦点F的坐标为，所以焦点F到准线的距离为×2=3，C正确；此时点A的横坐标为，所以|BF|=|AF|=|AB|=+=6，A不正确.
10.(2024·北京高考)抛物线y2=16x的焦点坐标为　　　　.
解析：由题意，知p=8，则=4，所以抛物线y2=16x的焦点坐标为(4，0).
答案：(4，0)
11.(2025·江西五市联考)若抛物线x2=8y上一点(x0，y0)到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍，则y0=　　　　　.
解析：已知拋物线的方程为x2=8y，可得p=4.所以焦点为F(0，2)，准线为l：y=-2.抛物线上一点A(x0，y0)到焦点F的距离等于到准线l的距离，即|AF|=y0+2，又因为A到x轴的距离为y0，由题意得y0+2=2y0，解得y0=2.
答案：2
12.已知F是抛物线C：y=2x2的焦点，N是x轴上一点，线段FN与抛物线C相交于点M，若2=，则|FN|=　　　　.
解析：因为F是抛物线C：y=2x2的焦点，所以F，抛物线C的准线方程为y=-，如图，过点M作抛物线的准线的垂线，交x轴于点A，交抛物线C的准线于点B，则MA∥OF，所以=.因为2=，所以|MA|=×=，|MF|=|MB|=+=，|FN|=3|FM|=.
答案：
13.已知椭圆C1：+=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|.
(1)求C1的离心率；
(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.
解：(1)由已知可设C2的方程为y2=4cx，其中c=.不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为，-；C，D的纵坐标分别为2c，-2c，故|AB|=，|CD|=4c.由|CD|=|AB|得4c=，即3×=2-2，解得=-2(舍去)或=.所以C1的离心率为.
(2)由(1)知a=2c，b=c，故C1：+=1.设M(x0，y0)，则+=1，=4cx0，故+=1　①.由于C2的准线为x=-c，所以|MF|=x0+c，而|MF|=5，故x0=5-c，代入①得+=1，即c2-2c-3=0，解得c=-1(舍去)或c=3.所以C1的标准方程为+=1，C2的标准方程为y2=12x.
14.已知抛物线C：y2=2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)与焦点的距离为2.
(1)求p和m；
(2)若在抛物线C上存在点A，B，使得MA⊥MB，设AB的中点为D，且D到抛物线C的准线的距离为，求点D的坐标.
解：(1)设抛物线C的焦点为F，根据题意可知|MF|=1+=2，解得p=2.故抛物线C：y2=4x.
因为M在抛物线C上，所以m2=4.
又因为m>0，所以m=2.
(2)设A，B，D(x0，y0)，直线MA的斜率为k1，直线MB的斜率为k2.
易知k1，k2一定存在，则k1=，k2=.
由MA⊥MB，得k1k2=-1，即·=-1，化简得(y1+2)(y2+2)=-16，
即y1y2=-2(y1+y2)-20.
因为D到抛物线C的准线的距离d1=x0+1=，所以x0=，即+=13，+=52.
=52+2y1y2=52+2[-2(y1+y2)-20]，即(y1+y2)2+4(y1+y2)-12=0，解得y1+y2=-6或y1+y2=2，则y0==-3或y0==1.故点D的坐标为或.
15.如图，已知点F为抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|=3.
(1)求抛物线E的方程；
(2)已知点G(-1，0)，延长AF交抛物线E于点B，求证：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切.
解：(1)由抛物线的定义得|AF|=2+.由|AF|=3，得2+=3，解得p=2.所以抛物线E的方程为y2=4x.
(2)证明：因为点A(2，m)在抛物线E：y2=4x上，所以m=±2，由抛物线的对称性，
不妨设A(2，2).由A(2，2)，F(1，0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).
由得2x2-5x+2=0，解得x=2或x=，从而B.又G(-1，0)，所以kGA==，kGB==-，所以kGA+kGB=0，从而∠AGF=∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切.
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