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山东省实验中学2024～2025学年第二学期阶段性考试
高一数学试题 2025.06
说明：本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第2页至第4页。试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷 （共58分）
一、选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题意）
1．已知向量，，若，则实数（ ）
A．1 B．2 C． D．4
2．已知两个不同的平面，和两条不同的直线，满足，，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得米，在点处测得塔顶的仰角分别为，则塔高（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
4．一个质地均匀的骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷这个骰子两次，并记录每次正面朝上的数字，记事件“两次向上的数字都为3”，“两次向上的数字之和是6”，则下列结论正确的是（ ）
A．事件A与事件B相互独立 B．事件A与事件B互斥
C． D．P(AB)=
5．在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
6．已知高为 4的圆台存在内切球，其下底半径为上底半径的 4 倍，则该圆台的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知正六棱柱的底面边长为4，体积为，点在正六边形内及其边界上运动，若，则动点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
8．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从阳，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是，其中a，b，c是的内角A，B，C的对边，若，且，则面积S的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题包括3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）
9．在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A．复数，则在复平面内对应的点位于第一象限
B．
C．若复数满足，则
D．若，则的最大值为
10. 将一组互不相同的数据，，，，中的每一个数都变成原来的2倍再减去1，则这两组数据可能相同的数字特征是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．极差
11．如图，多面体容器，底面水平放置，，，所在的平面均与底面垂直，且四个三角形均是边长为2的等边三角形，下列选项正确的是（ ）.
A．
B．平面平面
C．经过直线的平面截该几何体，截面的最大面积为
D．从上面往该容器注水，当水面是正多边形时（未注满），注入的水的容积为
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题（本题包括3小题，每小题5分，共15分）
12．已知，与的夹角为，若向量与的夹角是钝角，则实数的取值范围 .
13．在中，角，，的对边分别为，，，角的平分线与交于点，若，则的取值范围是 ．
14．已知三棱锥，为中点，，侧面底面，则过点的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为 ．
四、解答题（本题包括5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（13分）如图所示，在中，分别是边的中点，，.
(1)用表示；
(2)求证：三点共线．
16．（15分）在①2asinC＝ctanA；②2acosB＝2c﹣b；③；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知____．
（1）求A的值；
（2）若面积为，周长为5，求a的值．
17．（15分）为弘扬“中华优秀传统文化”，某中学在校内对全体学生进行了一次检测，规定分数分为优秀，为了解学生的测试情况，现从2000名学生中随机抽取100名学生进行分析，按成绩分组，得到如下频数分布表．
分数 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]
频数 5 35 30 20 10
（1）在图中作出这些数据的频率分布直方图；
（2）估计这次测试的平均分和中位数；
（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中任意抽取3人参加这次考试的质量分析会，试求成绩在的学生至多有2人被抽到的概率.．
18．（17分）如图，在三棱锥中，底面，平面平面.
(1)求证：；
(2)若，，是的中点，、分别在线段、上移动.
①求与平面所成角的正切值；
②若平面，求线段长度取最小值时二面角平面角的正切值．
19．（17分）在中，，，对应的边分别为，，，.
(1)求A；
(2)若为边中点，，求的最大值；
(3)奥古斯丁·路易斯·柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年-1857年），法国著名数学家，柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）的条件下，若，是内一点，过作，，垂线，垂足分别为，，，借助于三维分式型柯西不等式：，，，，当且仅当时等号成立.求的最小值.
试卷第1页，共3页
《2025年5月23日高中数学作业》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A D B D C B ABD AB
题号 11
答案 ACD
1．C【详解】因为，所以，解得.故选：C.
2．．D【详解】当，，则，又，则，即充分性成立；
若，，，则或，则，异面，相交均有可能，即必要性不成立，所以“”是“”的充分非必要条件，故选：B.
3．A【详解】设该塔的高度为米，则．
在中，，
即，由，解得，即塔高为30米.故选：A
4．D【详解】对于选项A：设样本空间为，则，
对于选项B：事件“两次向上的数字都为3” ，
事件“两次向上的数字之和是6” ，
显然事件B包含事件A，所以事件A与事件B不互斥，故B错误；
对于选项C：因为，所以，故C错误；
对于选项D：因为，所以，故D正确；
5．B【详解】由，则，
所以，可得，不能确定是否成立，
所以一定是直角三角形.故选：B
6．D【详解】依题意，圆台的轴截面截其内切球得球的大圆，且该大圆是圆台轴截面等腰梯形的内切圆，
等腰梯形为圆台轴截面，其内切圆与梯形切于点，其中分别为上、下底面圆心，如图，
设圆台上底半径为，则下底半径为，，
而等腰梯形的高，因此，解得，
所以该圆台的表面积为.故选：D
7．C【详解】如图所示，在正六棱柱中，
∵底面正六边形的边长为4，∴.
又正六棱柱的体积为，∴，解得.
∵点在正六边形内及其边界上运动，底面，底面，∴，∴，解得，
∴动点的运动轨迹是以为圆心，半径为，圆心角为的圆弧，
∴动点的运动轨迹长度为.故选：C.
8．B【详解】由得，得，
所以
，当且仅当，时，等号成立.故选：B
9．ABD【详解】对于A，在复平面内对应的点位于第一象限，A正确；
对于B，由，又当时，，
因此，B正确；
对于C，取，，而，C错误；
对于D，表示复平面内复数对应点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，
表示点与定点的距离，因此，D正确.故选：ABD
10．AB【详解】不妨设，，，，视为从小到大排序，原平均数为，变化后的平均数为，当时，，故A正确；
原中位数为，变化后的中位数为，当时，，故B正确；
原方差为，变化后的方差为，若两方差相等，则，得，此时每个数都相等，与已知矛盾，故C错误；
原极差为，变化后的极差为，若两极差相等，则，与已知矛盾，故D错误；
11．ACD【详解】对于A，分别取线段的中点，连接，
因为边长为的等边三角形，则，，
因平面平面，平面平面，平面，
则平面，
同理可得平面，，则，，
则四边形为平行四边形，则，
又因，所以，故A正确；
对于B，若平面平面，又平面平面，
平面平面，则可得平面，
又显然不垂直于平面，故假设错误，故B错误；
对于C，设过直线的平面为，平面与多面体的表面交线为，
则平面由平面到平面的转动过程中，截面的可能性有：
若截面为或，则截面面积为；
若平面与平面或平面相交，
由A选项可知，，平面，平面，则平面，
又平面平面，平面，则，则，
由于对称性可知，此时截面为等腰梯形，显然当与重合时截面面积最大，
因等腰梯形的上底，下底，腰，
则等腰梯形的面积为，故此时截面面积的最大值为；
因，故C选项正确；
对于D，由A选项可知，，又平面，平面，
则平面，
同理可得平面，又，平面，
则平面平面，
欲使水面是正多边形，结合对称性可知，
只需，，即可，
因，则，则，
则，则，
则，
又因平面，且，则多面体的高为，
过点分别作，则四边形是面积为的矩形，
由平面，平面，则平面平面，
过点作，又平面平面，平面，
则平面，则为四棱锥的高，
又等边的边长为，则，
则四棱锥的体积为，
因多面体去掉三个体积相等的四棱锥后，剩余的部分为直六棱柱，
则该部分体积为，
故多面体的体积为，故D正确.故选：ACD
12．
【详解】依题意可得，
若向量与的夹角是钝角，可得且向量与不反向，
所以，解得；
当两向量方向相反时可得，且，解得；
因此可得或；
即实数的取值范围为.故答案为：
13． 【详解】设，则.
又，则.
又因为，则.
在中，由正弦定理可得
则.
.
因为，所以，故，所以.
所以的取值范围是.故答案为：.
14.
15．(1)(2)
【详解】（1）.
（2）由两边平方得：
，，
，，由于，所以.
16．选择见解析；（1）60°；（2）．
【详解】解：（1）选①时，2asinC＝ctanA；利用正弦定理得：2sinAsinC＝sinC，整理得：cosA＝，
由于0＜A＜π，所以A＝60°．
（2），由于，解得bc＝1．
由于a＋b＋c＝5，所以a＝5﹣（b＋c），
利用余弦定理：，解得a＝．
选②时，2acosB＝2c﹣b；利用余弦定理：，整理得，
化简得：cosA＝，由于0＜A＜π，所以A＝60°．
（2），由于，解得bc＝1．
由于a＋b＋c＝5，所以a＝5﹣（b＋c），
利用余弦定理：，
解得a＝．
选③时，，整理得：，所以，
解得或－1（舍去），由于0＜A＜π，以A＝60°．
（2），由于，解得bc＝1．
由于a＋b＋c＝5，所以a＝5﹣（b＋c），
利用余弦定理：，
解得a＝．
17．（1）详见解析；（2）74.5；（3）.
【详解】（1）如图所示
（2）55×0.005×10+65×0.035×10+75×0.030×10+85×0.020×10+95×0.010×10
＝2.75+22.75+22.5+17+9.5＝74.5
估计这次测试的平均分为74.5分．
由直方图可知，中位数左边和右边的面积相等，均为，设中位数在70—80之间的宽度为，则有0.005×10+0.035×10+0.030＝0.5整理得0.4+0.03＝0.5所以＝
估计这次测试的中位数为．
18．(1)证明见解析 (2)①②
【详解】（1）过点在平面内作，垂足为点，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，，因为平面，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，、平面，所以平面，
又平面，所以.
（2）由（1）得平面，
所以为在平面的射影，为与平面所成角，
在中，，
在直角中，，
所以与平面所成角的正切值为.
②过在平面内作的垂线，垂足为，过作，交于点，
因为平面，平面，所以，
又因为，、平面，所以，
因为平面，平面，所以平面，同理平面，
因为，、平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面，
设，，且，则，所以，，
所以，，，
因为平面，平面，所以，，
因为为的中点，则，所以，，
所以，，
所以，，
在直角中，，其中，
因为二次函数在上单调递增，
当时，，即，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，，所以，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，所以，故二面角的平面角为，
因为平面，平面，所以，
因为，所以，即为的中点，所以，，
，故二面角的正切值为.
19．(1)(2)(3)
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
由余弦定理，
所以，即，
若，等式不成立，则，可得，
因为，所以.
（2）
由余弦定理，即，所以，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
因为为边中点，所以，
所以，
所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为.
（3）.
又，
.
由三维分式型柯西不等式有.
当且仅当即时等号成立.
由余弦定理得，所以，即，
则，令，则.
因为，得，当且仅当时等号成立，
所以，则，令，则在上递减，
当即时，有最大值，
此时有最小值（此时与可以同时取到）
答案第1页，共2页

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