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“2年高考1年模拟”课时精练（五十八） 双曲线
1.若双曲线-=1的焦点与椭圆+=1的长轴端点重合，则m的值为 (　　)
A.2 B.4
C.-2 D.-4
2.如果双曲线-=1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的左焦点的距离是 (　　)
A.4 B.12
C.4或12 D.不确定
3.双曲线-=1(a>0，b>0)过点()，离心率为2，则双曲线的方程为 (　　)
A.-y2=1 B.x2-=1
C.-=1 D.-=1
4.(2025·周口模拟)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的焦距与其虚轴长之比为3∶2，则C的离心率为 (　　)
A. B.
C. D.
5.设双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率为，实轴长为2，则双曲线C上任意一点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积为 (　　)
A. B.
C. D.
6.(2023·全国甲卷)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率为，C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A，B两点，则|AB|= (　　)
A. B.
C. D.
7.已知F1，F2是双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线上存在点P满足·=-2a2，则双曲线离心率的最小值为 (　　)
A. B.
C.2 D.
8.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y=x，F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，过点F2且垂直于x轴的垂线在x轴上方交双曲线C于点M，则tan∠MF1F2= (　　)
A. B.
C. D.
9.已知双曲线E ：-=1(a>0，b>0)的焦距为2c，右顶点为A，过A作x轴的垂线与E 的渐近线交于M，N 两点，若 S△MON≥c2，则 E 的离心率的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.[，2]
10.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)，离心率e=2，则双曲线C的渐近线方程为　　　　　　.
11.(2025·贵州模拟)我们把离心率为的双曲线称为“黄金双曲线”.已知“黄金双曲线”C：-=1(b>0)，则C的虚轴长为　　　.
12.已知F1，F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为　　　　.
13.已知双曲线-=1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为2x+y=0，且焦点到这条渐近线的距离为1.
(1)求此双曲线的方程；
(2)若点M在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上.
14.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的实轴长为2，右焦点F到x=的距离为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线y=x-1与双曲线C交于M，N两点，求△MNF的面积.
15.(2025·南京模拟)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)过点A(4，3)，离心率e=.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点B(1，0)的直线l交双曲线C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x=1于点P，Q，求的值.
（解析）精练（五十八） 双曲线
1.若双曲线-=1的焦点与椭圆+=1的长轴端点重合，则m的值为 (　　)
A.2 B.4
C.-2 D.-4
解析：选A　椭圆+=1的长轴端点为(0，2)，(0，-2)，所以双曲线的焦点为(0，2)，(0，-2)，故2+m=4 m=2.
2.如果双曲线-=1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的左焦点的距离是 (　　)
A.4 B.12
C.4或12 D.不确定
解析：选C　设双曲线-=1的左、右焦点分别为F1，F2，则a=2，c==4，则|PF2|=8，由双曲线定义可得||PF1|-|PF2||=2a=4，即||PF1|-8|=4，所以|PF1|=4或|PF1|=12，由于c-a=2，故点P到它的左焦点的距离是4或12.
3.双曲线-=1(a>0，b>0)过点()，离心率为2，则双曲线的方程为 (　　)
A.-y2=1 B.x2-=1
C.-=1 D.-=1
解析：选B　双曲线离心率e==2，故c=2a，b=a，将点()代入双曲线方程，得-=1，故a=1，b=，故双曲线方程为x2-=1.
4.(2025·周口模拟)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的焦距与其虚轴长之比为3∶2，则C的离心率为 (　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　由题意可知2c∶2b=3∶2，则c∶b=3∶2，设c=3m(m>0)，则b=2m，所以a==m，故C的离心率为e==.
5.设双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率为，实轴长为2，则双曲线C上任意一点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积为 (　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　由已知，2a=2，=，所以a=1，c=，则b=2.设M(m，n)为双曲线C上任意一点，则m2-=1，即4m2-n2=4.而双曲线C的渐近线方程为2x±y=0，所以点M到两条渐近线的距离之积为×==.
6.(2023·全国甲卷)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率为，C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A，B两点，则|AB|= (　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　根据双曲线的离心率e==，得c=a，即c2=5a2，即a2+b2=5a2，所以b2=4a2，=4，所以双曲线的渐近线方程为y=±2x，易知渐近线y=2x与圆相交.
法一　由得5x2-16x+12=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=，x1x2=.所以|AB|=|x1-x2|==，故选D.
法二　因为圆心(2，3)到渐近线y=2x的距离d==，所以|AB|=2=2=，故选D.
7.已知F1，F2是双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线上存在点P满足·=-2a2，则双曲线离心率的最小值为 (　　)
A. B.
C.2 D.
解析：选D　设P(x0，y0)，双曲线的半焦距为c，则有|x0|≥a，-=1，F1(-c，0)，F2(c，0)，于是=(c-x0，-y0)，=(-c-x0，-y0)，因此·=-c2+=+b2-c2=·-b2-c2≥·a2-b2-c2=-b2，
当且仅当|x0|=a时取等号，则-2a2≥-b2，即≥2，离心率e==≥，所以双曲线离心率的最小值为.
8.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y=x，F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，过点F2且垂直于x轴的垂线在x轴上方交双曲线C于点M，则tan∠MF1F2= (　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　由题意得，因为该双曲线的一条渐近线方程是y=x，则=，又由c2=a2+b2，可得=，由过点F2且垂直于x轴的垂线在x轴上方交双曲线C于点M，可知M的横坐标为c，代入双曲线方程即可得-=1，-1===，又由y>0，可知M，所以tan∠MF1F2==··=××=.
9.已知双曲线E ：-=1(a>0，b>0)的焦距为2c，右顶点为A，过A作x轴的垂线与E 的渐近线交于M，N 两点，若 S△MON≥c2，则 E 的离心率的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.[，2]
解析：选A　由题意得A(a，0)，渐近线y=±x，将x=a代入得M，N坐标为(a，±b)，所以|MN|=2b.因为MN⊥x轴，所以S△MON=·a|MN|=ab，由已知可得ab≥c2=(a2+b2)，两边同时除以a2，得≥，所以-+≤0，即≤0，解得≤≤，所以≤≤3，所以双曲线的离心率e=∈.
10.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)，离心率e=2，则双曲线C的渐近线方程为　　　　　　.
解析：∵e==2，∴c=2a，又c2=a2+b2，∴4a2=a2+b2，b2=3a2，b=a，∴双曲线C的渐近线方程为y=±x=±x.
答案：y=±x
11.(2025·贵州模拟)我们把离心率为的双曲线称为“黄金双曲线”.已知“黄金双曲线”C：-=1(b>0)，则C的虚轴长为　　　.
解析：因为e====，即1+=，解得b=2，所以C的虚轴长为4.
答案：4
12.已知F1，F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为　　　　.
解析：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|-|PF2|=2a=2，在△F1PF2中，由余弦定理，
得cos∠F1PF2==，
∴|PF1|·|PF2|=8，
∴=|PF1|·|PF2|·sin 60°=2.
答案：2
13.已知双曲线-=1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为2x+y=0，且焦点到这条渐近线的距离为1.
(1)求此双曲线的方程；
(2)若点M在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上.
解：(1)依题意得解得故双曲线的方程为-x2=1.
(2)证明：因为点M在双曲线上，所以-=1.所以m2=.又双曲线-x2=1的焦点为F1(0，-)，F2(0，)，所以·=·=-()2+m2=-5+=0，所以MF1⊥MF2，所以点M在以F1F2为直径的圆上.
14.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的实轴长为2，右焦点F到x=的距离为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线y=x-1与双曲线C交于M，N两点，求△MNF的面积.
解：(1)设双曲线C的焦距为2c(c>0)，
因为双曲线C的实轴长为2，
所以2a=2，解得a=1.
因为右焦点F到x=的距离为，
所以=，解得c=1或c=2.
因为c>a，所以c=2.可得b2=c2-a2=4-1=3，
所以双曲线C的方程为x2-=1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立直线和双曲线可得3x2-(x-1)2-3=0，即x2+x-2=0，解得x=1或x=-2.不妨设x1=1，x2=-2，所以y1=0，y2=-3.
所以S△MNF=|MF|×|y2|=|c-x1|×|y2|=×1×3=.即△MNF的面积为.
15.(2025·南京模拟)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)过点A(4，3)，离心率e=.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点B(1，0)的直线l交双曲线C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x=1于点P，Q，求的值.
解：(1)由题知
解得a2=4，b2=3，c2=7.
所以双曲线C的方程为-=1.
(2)设直线l：y=k(x-1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立
得(3-4k2)x2+8k2x-4k2-12=0，
则Δ=144-144k2>0，-1设直线MA：y-3=(x-4)，
NA：y-3=(x-4)，
令x=1，则yP=3-，
yQ=3-，
所以yP+yQ=6-3.
因为+
=
=
=
==2，
所以yP+yQ=6-3=0，
所以B为PQ的中点，所以=1.
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