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“2年高考1年模拟”课时精练（五十） 空间中的距离
1.直线l的方向向量为m=(1，0，-1)，且l过点A(1，1，1)，则点P(1，-1，-1)到l的距离为 (　　)
A. B.
C. D.2
2.(2025·深圳期末)若平面α的一个法向量为n=(1，2，1)，=(-1，-1，2)，A α，B∈α，则点A到平面α的距离为 (　　)
A.1 B.
C. D.
3.两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(1，2，3)，且两平面的一个法向量n=(-1，0，1)，则两平面间的距离是 (　　)
A. B.
C. D.3
4.(2025·滁州模拟)《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”文中“阳马”是底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.在阳马P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=1，AB=AD=2，则点A到平面PBD的距离为 (　　)
A. B.
C. D.
5.(2025·杭州模拟)如图，在下列四个正方体中，P是顶点，A，B，C是棱的中点，则三棱锥P-ABC的体积最大的是 (　　)
6.[多选]如图，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A在平面α内，其余各顶点均在平面α的同侧，已知顶点D，B到平面α的距离分别是1和2.下列说法正确的是 (　　)
A.点C到平面α的距离是3
B.点C1到平面α的距离是4
C.正方体底面ABCD与平面α夹角的余弦值是
D.AB在平面α内的射影与AD1所成角的余弦值为
7.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为4的菱形，且∠DAB=，PD⊥底面ABCD，若点D到平面PAC的距离为，则PD=　　　　.
8.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则线段AD1上的动点P到直线A1C1的距离的最小值为　　　　.
9.(2025·哈尔滨模拟)在圆台O1O2中，ABCD是其轴截面，AD=DC=BC=AB，过O1C与轴截面ABCD垂直的平面交下底面于EF，若点A到平面CEF的距离是，则圆台的体积等于　　　　.
10.(2025·江西校联考模拟)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P点为B1C1的中点，Q点在正方形ABCD内运动(含边界)，在点Q运动过程中，P点到平面A1D1Q的最小距离是　　　　.
11.(2024·辽宁二模)如图，经过棱长为1的正方体的三个顶点的平面截正方体得到一个正三角形，将这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面体内部能容纳的最大的球半径是　　　　.
12.(2025·盐城模拟)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，设点P为底面A1B1C1D1内(含边界)的动点，则点A，C1到平面PBD距离之和的最小值为　　　　.
13.(2025·无锡模拟)如图，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在棱AA1上，且AE=1.
(1)求四棱锥D1-EABB1的表面积；
(2)若点P在棱D1C1上，且P到平面B1DE的距离为，求点P到直线EB1的距离.
14.(2025·广州模拟)如图，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，点F在底面圆O上，OA=BF=，AD=3，点G是线段BF的中点，点H是的中点.
(1)证明：EG∥平面DAF；
(2)求点H到平面DAF的距离.
（解析）精练（五十） 空间中的距离
1.直线l的方向向量为m=(1，0，-1)，且l过点A(1，1，1)，则点P(1，-1，-1)到l的距离为 (　　)
A. B.
C. D.2
解析：选C　∵A(1，1，1)，P(1，-1，-1)，∴=(0，-2，-2)，又m=(1，0，-1)，∴在m方向上的投影的模为||·cos<，m>===，∴P到l的距离d===.
2.(2025·深圳期末)若平面α的一个法向量为n=(1，2，1)，=(-1，-1，2)，A α，B∈α，则点A到平面α的距离为 (　　)
A.1 B.
C. D.
解析：选B　因为=(-1，-1，2)，平面α的一个法向量为n=(1，2，1)，所以点A到平面α的距离为=.故选B.
3.两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(1，2，3)，且两平面的一个法向量n=(-1，0，1)，则两平面间的距离是 (　　)
A. B.
C. D.3
解析：选A　∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(1，2，3)，=(1，2，3)，且两平面的一个法向量n=(-1，0，1)，∴两平面间的距离d===.故选A.
4.(2025·滁州模拟)《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”文中“阳马”是底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.在阳马P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=1，AB=AD=2，则点A到平面PBD的距离为 (　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　如图，作PE⊥BD交BD于点E，由题意知BD=2，PE=，设A到平面PBD的距离为h，则三棱锥P-ABD的体积为×S△ABD×PA=×S△PBD×h，即有××2×2×1=××2××h，解得h=.
5.(2025·杭州模拟)如图，在下列四个正方体中，P是顶点，A，B，C是棱的中点，则三棱锥P-ABC的体积最大的是 (　　)
解析：选A　建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2.
对于A，P(2，2，2)，A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，所以=(1，0，-1)，=(0，1，-1)，=(2，2，1)，设平面ABC的一个法向量为n=(x，y，z)，则令x=1，则y=z=1，所以n=(1，1，1)，设点P到平面ABC的距离为d1，则d1===，易知△ABC为等边三角形，边长为，所以S△ABC=×=，所以VP-ABC=·S△ABC·d1=××=.对于B，易求得S△PAC=，点B到平面PAC的距离为1，所以VP-ABC=VB-PAC=·S△PAC·1=××1=.对于C，P(2，2，0)，A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(0，1，2)，所以=(1，0，-1)，=(0，1，1)，=(2，2，-1)，设平面ABC的一个法向量为m=(x，y，z)，则令x=1，则z=1，y=-1，所以m=(1，-1，1)，设点P到平面ABC的距离为d2，则d2===，易求得S△ABC=，所以VP-ABC=·S△ABC·d2=××=.对于D，易求得S△PBC=，点A到平面PBC的距离为1，所以VP-ABC=VA-PBC=·S△PBC·1=××1=.所以A选项的体积最大.
6.[多选]如图，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A在平面α内，其余各顶点均在平面α的同侧，已知顶点D，B到平面α的距离分别是1和2.下列说法正确的是 (　　)
A.点C到平面α的距离是3
B.点C1到平面α的距离是4
C.正方体底面ABCD与平面α夹角的余弦值是
D.AB在平面α内的射影与AD1所成角的余弦值为
解析：选ACD　以A为坐标原点，为x，y，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(3，3，0)，D(0，3，0)，C1(3，3，3)，D1(0，3，3)，∴=(3，0，0)，=(0，3，0)，=(3，3，0)，=(3，3，3)，=(0，3，3)，设平面α的法向量m=(x，y，z)，则即令y=1，解得x=2，z=2，∴m=(2，1，2).对于A，点C到平面α的距离为==3，A正确；对于B，点C1到平面α的距离为==5，B错误；对于C，∵平面ABCD的一个法向量n=(0，0，1)，∴|cos m，n |==，即平面ABCD与平面α夹角的余弦值为，C正确；对于D，AB在平面α内的射影对应的向量t=-m=，∴|cos t， |===，即AB在平面α内的射影与AD1所成角的余弦值为，D正确.故选ACD.
7.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为4的菱形，且∠DAB=，PD⊥底面ABCD，若点D到平面PAC的距离为，则PD=　　　　.
解析：如图，设E为BC的中点，连接DE，因为底面ABCD是边长为4的菱形，且∠DAB=，所以DE⊥BC，而AD∥BC，所以DE⊥DA.以D为坐标原点，以分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设PD=a，a>0，则P(0，0，a)，A(4，0，0)，C(-2，2，0).设n=(x，y，z)是平面PAC的法向量，因为=(4，0，-a)，=(-6，2，0)，则令x=a，得n=(a，a，4).设点D到平面PAC的距离为d，因为=(4，0，0)，所以d===，得a=2.
答案：2
8.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则线段AD1上的动点P到直线A1C1的距离的最小值为　　　　.
解析：如图建立空间直角坐标系，连接A1P，则A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，
设P(x，0，1-x)，0≤x≤1，则=(x-1，0，-x)，=(-1，1，0)，∴动点P到直线A1C1的距离为d=
===≥，当且仅当x=时取等号，即线段AD1上的动点P到直线A1C1的距离的最小值为.
答案：
9.(2025·哈尔滨模拟)在圆台O1O2中，ABCD是其轴截面，AD=DC=BC=AB，过O1C与轴截面ABCD垂直的平面交下底面于EF，若点A到平面CEF的距离是，则圆台的体积等于　　　　.
解析：连接O1D，O1O2，因为AD=DC=BC=AB，所以四边形ADCO1为平行四边形，所以O1C=O1D=O1A=AD，则△AO1D为正三角形，所以∠DAB=60°，由题意得，平面CEF⊥平面ABCD，且平面CEF∩平面ABCD=O1C，所以点A到平面CEF的距离即为AD与O1C的距离，在△AO1D中，过点O1作AD的垂线O1M，过点D作AO1的垂线DN，则O1M=，所以AO1==2，则O1O2=DN=2sin 60°=，设圆台的上、下底面半径分别为r，R，高为h，则圆台的体积为V=h(R2+Rr+r2)=(4+2+1)=.
答案：
10.(2025·江西校联考模拟)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P点为B1C1的中点，Q点在正方形ABCD内运动(含边界)，在点Q运动过程中，P点到平面A1D1Q的最小距离是　　　　.
解析：如图所示，连接A1P，D1P，PQ，由题意知，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，Q∈平面ABCD，所以Q到平面A1B1C1D1的距离等于A到平面A1B1C1D1的距离，所以=×AA1=××2×2×2=，所以==，设点P到平面A1D1Q的距离为h，则=·h=，所以h=，过点Q作QM⊥AD交AD于点M，又因为平面ABCD⊥平面ADD1A1，平面ABCD∩平面ADD1A1=AD，QM 平面ABCD，所以QM⊥平面ADD1A1，又因为D1A1 平面ADD1A1，所以QM⊥D1A1，过点M作MN∥AA1交D1A1于点N，连接QN，则MN⊥D1A1，又因为MN∩QM=M，MN，QM 平面QMN，
所以D1A1⊥平面QMN，又因为QN 平面QMN，所以D1A1⊥QN，设QM=x(0≤x≤2)，则QN=(0≤x≤2)，所以=A1D1×QN=×2×=(0≤x≤2)，所以当x=2时，取得最大值为2，此时h取得最小值为.
答案：
11.(2024·辽宁二模)如图，经过棱长为1的正方体的三个顶点的平面截正方体得到一个正三角形，将这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面体内部能容纳的最大的球半径是　　　　.
解析：如图，七面体为正方体ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥B1-BA1C1的几何体，
由正方体的结构特征可得这个七面体内部能容纳的球最大时，该球与三个正方形面和等边三角形面相切，且球心在体对角线B1D上，
以点D为原点建立空间直角坐标系，
则B(1，1，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，
设球心O(a，a，a)，
故=(0，-1，1)，=(-1，0，1)，=(1-a，1-a，-a)，
设平面BA1C1的法向量为n=(x，y，z)，
则可取n=(1，1，1)，
则球心O到平面BA1C1的距离为==，
因为球O与三个正方形面和等边三角形面相切，
所以=a，解得a=，
所以这个七面体内部能容纳的最大的球半径是.
答案：
12.(2025·盐城模拟)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，设点P为底面A1B1C1D1内(含边界)的动点，则点A，C1到平面PBD距离之和的最小值为　　　　.
解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DA，DC，DD1两两互相垂直，建立空间直角坐标系，如图所示，
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C1(0，2，2)，设P(a，b，2)，0≤a≤2，0≤b≤2，
所以=(2，2，0)，=(a，b，2)，设平面PBD的法向量为m=(x，y，z)，
则令x=2，
则y=-2，z=b-a.于是m=(2，-2，b-a)，
则点A，C1到平面PBD的距离之和为d1+d2=+=+
，
设b-a=t，则t∈[-2，2]，d1+d2=+==2=
2=2，
因为t∈[-2，2]，所以4-t∈[2，6]，
所以∈，
函数y=1-+开口向上，对称轴为=，在∈上单调递增，
所以当=时，d1+d2=2取到最小值为d1+d2=2=.
答案：
13.(2025·无锡模拟)如图，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在棱AA1上，且AE=1.
(1)求四棱锥D1-EABB1的表面积；
(2)若点P在棱D1C1上，且P到平面B1DE的距离为，求点P到直线EB1的距离.
解：(1)由AE=1，AB=4，所以D1E=EB1===5，D1B1=4，所以=×1×4=2，=×4×=2==×4×4=8=×(1+4)×4=10，
故四棱锥D1-EABB1的表面积为++++=2+2+16+10=12+2+16.
(2)以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则A(4，0，0)，B(4，4，0)，B1(4，4，4)，D1(0，0，4)，E(4，0，1)，P(0，a，4)，其中0≤a≤4，
则=(4，0，1)，=(4，4，4)，=(0，a，4)，
设平面B1DE的法向量为n=(x，y，z)，
则即令x=1，
则平面B1DE的法向量n=(1，3，-4)，
设P到平面B1DE的距离为d，则d===，
由于0≤a≤4，解得a=1，
故P(0，1，4)，又=(0，4，3)，=(4，3，0)，
所以点P到直线EB1的距离为
==.
14.(2025·广州模拟)如图，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，点F在底面圆O上，OA=BF=，AD=3，点G是线段BF的中点，点H是的中点.
(1)证明：EG∥平面DAF；
(2)求点H到平面DAF的距离.
解：(1)证明：取AF的中点M，连接MD，MG，
因为点M，G分别是FA和FB的中点，所以MG∥AO，且MG=AB=AO.
在圆柱OE的轴截面四边形ABCD中，AO∥DE，AO=DE，
所以MG∥DE，MG=DE，因此四边形DEGM是平行四边形.
所以EG∥DM，又EG 平面DAF，DM 平面DAF，所以EG∥平面DAF.
(2)由圆的性质可知，连接OG并延长必与圆O交于点H，连接OE，EH，
因为OG∥AF，OG 平面DAF，AF 平面DAF，所以OG∥平面DAF，
又EG∥平面DAF，且EG∩OG=G，EG，OG 平面OEH，所以平面DAF∥平面OEH.
从而点H到平面DAF的距离即为点E到平面DAF的距离.
以O为坐标原点，AB的中垂线为x轴，OB所在直线为y轴，OE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
则E(0，0，3)，A(0，-，0)，D(0，-，3)，F，所以=(0，，3)，=(0，0，3)，=.
设n=(x，y，z)为平面DAF的一个法向量，
则由可取n=(，-1，0).
因此点E到平面DAF的距离d===，
故点H到平面DAF的距离为.
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