资源简介

“2年高考1年模拟”课时精练（四十一） 等比数列
1.在等比数列{an}中，a1=1，a3=4，则a7= (　　)
A.-128 B.128
C.-64 D.64
2.(2024·洛阳三模)已知等比数列{an}的公比为q，若a1+a2=12，且a1，a2+6，a3成等差数列，则q= (　　)
A. B.-
C.3 D.-3
3.(2023·新课标Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4=-5，S6=21S2，则S8= (　　)
A.120 B.85
C.-85 D.-120
4.已知等比数列{an}中，a1=1，a1+a3+…+a2k+1=85，a2+a4+…+a2k=42，则k等于 (　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
5.(2025·南通阶段练习)我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢 ”描述的问题是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则两鼠相遇至少需要 (　　)
A.1天 B.2天
C.3天 D.4天
6.已知等比数列的前n项和为Sn，且公比大于1.若S2=4，28S8=5S4S6，则S6= (　　)
A.28 B.21
C.7 D.7或28
7.(2025·云南阶段练习)[多选]已知数列{anan+1}(n∈N*)是公比为2的等比数列，且a1=1，则下列结论正确的是 (　　)
A.若{an}是等比数列，则公比为
B.{a2n}是公比为2的等比数列
C.a2n-1=2n-1
D.若a2=，则an=
8.定义：对于数列{xn}，若存在M>0，使得对一切正整数n，恒有|xn|≤M成立，则称数列{xn}为有界数列.设数列{an}的前n项和为Sn，则下列选项中，满足数列{Sn}为有界数列的是 (　　)
A.an=2n-1 B.an=
C.an=(-1)n·n D.an=
9.[多选]如图，在四边形ABCD中，Fn(n∈N*)为边BC上的一列点，连接AFn交BD于点Gn(n∈N*)，且Gn满足anan+1=an-2an+1，其中数列{an}是首项为1的正项数列，则 (　　)
A.数列为等比数列
B.数列的前n项和为2n+1-n-2
C.数列{an}为递增数列
D.an=
10.等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2=3，S3=13，则a3=　　　　.
11.已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为　　　　.
12.我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列{an}，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a1=1，a5=12，a9=192，则a7=　　　　,数列{an}所有项的和为　　　　.
13.(2025·成都开学考)已知数列{an}满足a1=1，nan+1=2(n+1)an.设bn=.
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式.
14.(2024·全国甲卷)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=3an+1-3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{Sn}的前n项和.
15.(2025·上海期末)设数列{an}的首项a1为常数，且an+1=3n-2an(n∈N*).
(1)证明：是等比数列.
(2)若a1=，{an}中是否存在连续三项成等差数列 若存在，写出这三项；若不存在，请说明理由.
(3)若{an}是递增数列，求a1的取值范围.
（解析）精练（四十一） 等比数列
1.在等比数列{an}中，a1=1，a3=4，则a7= (　　)
A.-128 B.128
C.-64 D.64
解析：选D　设等比数列{an}的公比为q，则q2==4，所以a7=a1q6=a1(q2)3=1×43=64.
2.(2024·洛阳三模)已知等比数列{an}的公比为q，若a1+a2=12，且a1，a2+6，a3成等差数列，则q= (　　)
A. B.-
C.3 D.-3
解析：选C　∵a1，a2+6，a3成等差数列，∴2(a2+6)=a1+a3.又a1+a2=12，∴2(12-a1+6)=a1+a3，整理可得3a1+a3=3a1+a1q2=36，∴===，解得q=0(舍去)或q=3.故选C.
3.(2023·新课标Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4=-5，S6=21S2，则S8= (　　)
A.120 B.85
C.-85 D.-120
解析：选C　法一　设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由题意易知q≠1，
则化简整理得所以S8==×(1-44)=-85.故选C.
法二　易知S2，S4-S2，S6-S4，S8-S6，…为等比数列，所以(S4-S2)2=S2·(S6-S4)，解得S2=-1或S2=.当S2=-1时，由(S6-S4)2=(S4-S2)·(S8-S6)，解得S8=-85；当S2=时，S4=a1+a2+a3+a4=(a1+a2)(1+q2)=(1+q2)S2>0，与S4=-5矛盾，舍去.综上，S8=-85.
4.已知等比数列{an}中，a1=1，a1+a3+…+a2k+1=85，a2+a4+…+a2k=42，则k等于 (　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
解析：选B　设等比数列{an}的公比为q，则a1+a3+…+a2k+1=a1+a2q+…+a2kq=85，即q(a2+…+a2k)=85-1=84.因为a2+a4+…+a2k=42，所以q=2.则a1+a2+a3+…+a2k+a2k+1=85+42=127=，即128=，解得k=3.
5.(2025·南通阶段练习)我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢 ”描述的问题是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则两鼠相遇至少需要 (　　)
A.1天 B.2天
C.3天 D.4天
解析：选C　设n天后能打穿，则+≥5，化简为2n--4≥0.令f(n)=2n--4，则f(2)=-<0，f(3)=8--4>0.又由函数的单调性可知f(n)=2n--4在(2，3)内有唯一零点，所以至少需要3天.故选C.
6.已知等比数列的前n项和为Sn，且公比大于1.若S2=4，28S8=5S4S6，则S6= (　　)
A.28 B.21
C.7 D.7或28
解析：选A　设等比数列的公比为q(q>1).
因为S2=4，28S8=5S4S6，
所以7S2S8=5S4S6，
即7··
=5··.
化简，得7(1+=5，
即2q4-5q2+2=0.
因为q>1，所以q2=2，
所以S6==·=4×=28.故选A.
7.(2025·云南阶段练习)[多选]已知数列{anan+1}(n∈N*)是公比为2的等比数列，且a1=1，则下列结论正确的是 (　　)
A.若{an}是等比数列，则公比为
B.{a2n}是公比为2的等比数列
C.a2n-1=2n-1
D.若a2=，则an=
解析：选BCD　数列{anan+1}(n∈N*)是公比为2的等比数列，且a1=1，得=2，则an+2=2an.因为a1=1，则a3=2，且an≠0.若{an}是等比数列，则=a1a3，故a2=±，所以公比q=±，A错误.由an+2=2an，故a2n+2=2a2n，即=2，故{a2n}是公比为2的等比数列，B正确.同理，数列{a2n-1}是公比为2的等比数列，由a1=1，则a2n-1=1×2n-1=2n-1，C正确.由a2=，则a2n=2n-2，设m为偶数，则am=，同理设k为奇数，则ak=，所以an=D正确.故选BCD.
8.定义：对于数列{xn}，若存在M>0，使得对一切正整数n，恒有|xn|≤M成立，则称数列{xn}为有界数列.设数列{an}的前n项和为Sn，则下列选项中，满足数列{Sn}为有界数列的是 (　　)
A.an=2n-1 B.an=
C.an=(-1)n·n D.an=
解析：选D　对于A，因为an=2n-1为等差数列，则Sn==n2，可知对任意M>0，当n>时，Sn>M，不满足有界数列的定义，故A错误；对于B，因为an==-，则Sn=(-1)+(-)+…+(-)=-1，可知对任意M>0，当n>(M+1)2时，Sn>M，不满足有界数列的定义，故B错误；对于C，当n为偶数时，Sn=-1+2-3+4-…-(n-1)+n=，可知对任意M>0，当n>2M时，Sn>M，不满足有界数列的定义，故C错误；对于D，可知数列{an}是首项、公比均为的等比数列，则Sn==1-<1，可知当M≥1时，|Sn|9.[多选]如图，在四边形ABCD中，Fn(n∈N*)为边BC上的一列点，连接AFn交BD于点Gn(n∈N*)，且Gn满足anan+1=an-2an+1，其中数列{an}是首项为1的正项数列，则 (　　)
A.数列为等比数列
B.数列的前n项和为2n+1-n-2
C.数列{an}为递增数列
D.an=
解析：选ABD　因为Fn(n∈N*)为边BC上的一列点，设=t，即-=t-t，所以=t+(1-t) .又anan+1=an-2an+1，得=-，即所以-=1，即+1=2，所以数列是公比为2的等比数列，故A正确.因为a1=1，所以+1=2，故是首项为2，公比为2的等比数列，所以+1=2n，=2n-1，的前n项和为21-1+22-1+…+2n-1=21+22+…+2n-n=-n=2n+1-n-2，故B正确.an=，故a1=1，a2=，a3=，显然a110.等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2=3，S3=13，则a3=　　　　.
解析：法一　设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1，则由题意，得
解得或所以a3=a1q2=9×=1或a3=a1q2=1×32=9.
法二　由S3=a1+a2+a3=3+a1+a3=13，
得a1=10-a3.
由等比数列的性质知,=a1a3，
即9=(10-a3)·a3，解得a3=1或a3=9.
答案：1或9
11.已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为　　　　.
解析：设等比数列项数为n，公比为q，则a1+a3+…+an-1=341，a2+a4+…+an=682.由a2+a4+…+an=a1q+a3q+…+an-1q=(a1+a3+…+an-1)q=341q=682,解得q=2.因为a1，a3，…，an-1是公比为q2=4的等比数列，则=341，即=341，解得n=10.
答案：10
12.我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列{an}，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a1=1，a5=12，a9=192，则a7=　　　　,数列{an}所有项的和为　　　　.
解析：法一　设前3项的公差为d，后7项的公比为q，q>0，则q4===16，且q>0，解得q=2.
则a3=1+2d=，即1+2d=3，解得d=1.
所以a3=3，a7=a3q4=48.
a1+a2+…+a9=1+2+3+3×2+…+3×26=3+=384.
法二　因为数列{an}，3≤n≤9为等比数列，所以=a5a9=12×192=482.
因为an>0，所以a7=48.
因为=a3a7，所以a3==3.
设后7项的公比为q，q>0，
则q2==4，解得q=2.
因为a1+a2+a3==6，a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9===381，
所以a1+a2+…+a9=6+381-a3=384.
答案：48　384
13.(2025·成都开学考)已知数列{an}满足a1=1，nan+1=2(n+1)an.设bn=.
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式.
解：(1)由条件可得an+1=an，
将n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以a2=4.
将n=2代入得，a3=3a2，所以a3=12.
从而b1=1，b2=2，b3=4.
(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列.理由如下：
由条件可得=，即=2bn，
又b1=1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.
(3)由(2)可得=2n-1，所以an=n·2n-1.
14.(2024·全国甲卷)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=3an+1-3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{Sn}的前n项和.
解：(1)因为2Sn=3an+1-3，所以2Sn+1=3an+2-3.两式相减可得2an+1=3an+2-3an+1，
即an+2=an+1，所以等比数列{an}的公比为.
因为2S1=3a2-3=5a1-3，
所以a1=1，故an=.
(2)因为2Sn=3an+1-3，所以Sn=(an+1-1)=.
设数列{Sn}的前n项和为Tn，则Tn=×-n=×-n-.
15.(2025·上海期末)设数列{an}的首项a1为常数，且an+1=3n-2an(n∈N*).
(1)证明：是等比数列.
(2)若a1=，{an}中是否存在连续三项成等差数列 若存在，写出这三项；若不存在，请说明理由.
(3)若{an}是递增数列，求a1的取值范围.
解：(1)证明：===-2.
因为a1≠，所以a1-≠0，
所以数列是首项为a1-，公比为-2的等比数列.
(2)因为a1=，所以数列的首项是a1-=，
所以an-=·(-2)n-1，则an=·(-2)n-1+.
若{an}中存在连续三项成等差数列，则必有2an+1=an+an+2，
即2=+·(-2)n-1++·(-2)n+1，
整理为-=，
解得n=4，
所以a4，a5，a6成等差数列.
(3)如果an+1>an，
即+·(-2)n>+·(-2)n-1对任意自然数均成立，
化简得·3n>-·(-2)n，
当n为偶数时，a1>-·恒成立，
因为p(n)=-·单调递减，
所以p(n)的最大值是p(2)=0，即a1>0，
当n为奇数时，a1<+·恒成立，
q(n)=+·单调递增，
所以q(n)的最小值为q(1)=1，即a1<1，
所以a1的取值范围是(0，1).
1 / 7

展开更多......

收起↑