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“2年高考1年模拟”课时精练（四十五） 与球有关的切、接问题
1.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的表面积为 (　　)
A. B.3π
C.9π D.27π
2.已知在三棱锥P-ABC中，AC=，BC=1，AC⊥BC且PA=2PB，PB⊥平面ABC，则其外接球的体积为 (　　)
A. B.4π
C. D.4π
3.(2025·潍坊模拟)已知圆锥的底面半径为2，高为4，则该圆锥内切球的表面积为 (　　)
A.4π B.8π
C.16π D.32π
4.(2025·临沂模拟)[多选]已知A，B，C三点均在球O的表面上，AB=BC=CA=2，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的，则下列结论正确的是 (　　)
A.球O的表面积为6π
B.球O的内接正方体的棱长为1
C.球O的外切正方体的棱长为
D.球O的内接正四面体的棱长为2
5.已知圆锥SO1的高为4，体积为，若圆锥的顶点S与底面圆周上的所有点均在球O上，则球O的体积为 (　　)
A.18π B.24π
C.36π D.48π
6.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为 (　　)
A. B.
C. D.
7.(2025·烟台模拟)某正四棱台形状的模型，其上、下底面的面积分别为2 cm2，8 cm2，若该模型的体积为14 cm3，则该模型的外接球的表面积为 (　　)
A.20π cm2 B.10π cm2
C.5π cm2 D. cm2
8.(2025·内江模拟)如图，四边形ABCD是一个角为60°且边长为2的菱形，把△ABD沿BD折起，得到三棱锥A'-BCD.若A'C=，则三棱锥A'-BCD的外接球的表面积为 (　　)
A.5π B.π
C.6π D.π
9.(2025·南平模拟)某雕刻师在切割玉料时，切割出一块如图所示的三棱锥形边料，测得在此三棱锥A-BCD中，侧面ABC⊥底面BCD，且AB=AC=DB=DC=AD=2 cm，该雕刻师计划将其打磨成一颗球形玉珠，则磨成的球形玉珠的直径的最大值为 (　　)
A.2 cm B.2 cm
C.2(2-) cm D.(2-) cm
10.[多选]刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角.角度用弧度制表示.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为2π-3×=π.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=，则下列结论正确的是 (　　)
A.在四面体ABCD1中，点A的曲率为
B.在四面体ABCD1中，点D1的曲率大于
C.四面体ABCD1外接球的表面积为12π
D.四面体ABCD1内切球半径的倒数为
11.在三棱锥A-BCD中，若AD⊥平面BCD，AB⊥BC，AD=BD=2，CD=4，点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为　　　　.
12.已知某正三棱柱既有内切球又有外接球，外接球的表面积为20π，则该三棱柱的体积为　　　　.
13.(2023·全国甲卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点.以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有　　　　个公共点.
14.(2024·衡阳二模)已知三棱锥A-BCD中，AB=6，AC=3，BC=3，三棱锥A-BCD的体积为，其外接球的体积为π，则线段CD长度的最大值为　　　　.
设C在平面α上的射影为E，则E的轨迹为圆，如图所示，
（解析）精练（四十五） 与球有关的切、接问题
1.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的表面积为 (　　)
A. B.3π
C.9π D.27π
解析：选C　设正方体的棱长为a，a>0，则6a2=18，a=，正方体的体对角线长为=3，所以球的直径2R=3，半径R=，所以球的表面积为4π×=9π.
2.已知在三棱锥P-ABC中，AC=，BC=1，AC⊥BC且PA=2PB，PB⊥平面ABC，则其外接球的体积为 (　　)
A. B.4π
C. D.4π
解析：选A　AB==，设PB=h，则由PA=2PB，可得=2h，解得h=1，可将三棱锥P-ABC还原成如图所示的长方体，则三棱锥P-ABC的外接球即为长方体的外接球，设外接球的半径为R，则2R= =2，R=1，所以其外接球的体积V=R3=.
3.(2025·潍坊模拟)已知圆锥的底面半径为2，高为4，则该圆锥内切球的表面积为 (　　)
A.4π B.8π
C.16π D.32π
解析：选B　圆锥与内切球的轴截面图如图所示，设点O为球心，内切球的半径为r，D，E为切点，OD=OE=r，由条件可知，BE=BD=2，所以AB==6，在Rt△ADO中，AO2=AD2+DO2，即(4-r)2=(6-2)2+r2，解得r=，所以圆锥内切球的表面积S=4πr2=8π.故选B.
4.(2025·临沂模拟)[多选]已知A，B，C三点均在球O的表面上，AB=BC=CA=2，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的，则下列结论正确的是 (　　)
A.球O的表面积为6π
B.球O的内接正方体的棱长为1
C.球O的外切正方体的棱长为
D.球O的内接正四面体的棱长为2
解析：选AD　设球O的半径为r，△ABC的外接圆圆心为O'，半径为R，易得R=.因为球心O到平面ABC的距离等于球O半径的，所以r2-r2=，得r2=.所以球O的表面积S=4πr2=4π×=6π，A正确；球O的内接正方体的棱长a满足a=2r，即a=，B不正确；球O的外切正方体的棱长b满足b=2r=，C不正确；球O的内接正四面体的棱长c满足c=r=×=2，D正确.
5.已知圆锥SO1的高为4，体积为，若圆锥的顶点S与底面圆周上的所有点均在球O上，则球O的体积为 (　　)
A.18π B.24π
C.36π D.48π
解析：选C　设圆锥SO1的底面圆半径为r，球O的半径为R，则=πr2×4，解得r=2.当球心位于圆锥SO1内部时，过圆锥顶点S，底面圆圆心O1和球心O作出轴截面如图1所示，∴r2+O=R2，即8+(4-R)2=R2，解得R=3，∴球O的体积V=πR3=π×27=36π.当球心位于圆锥SO1外部时，过圆锥顶点S，底面圆圆心O1和球心O作出轴截面如图2所示，∴r2+O=R2，即8+(R-4)2=R2，解得R=3<4，舍去.综上所述，球O的体积为36π.
6.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为 (　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　根据题意作出图形，设球心为O，过A，B，C三点的小圆的圆心为O1，连接OO1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，连接SD，则SD⊥平面ABC.∵CO1=×=，∴OO1==，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，∴V三棱锥S-ABC=××=.
7.(2025·烟台模拟)某正四棱台形状的模型，其上、下底面的面积分别为2 cm2，8 cm2，若该模型的体积为14 cm3，则该模型的外接球的表面积为 (　　)
A.20π cm2 B.10π cm2
C.5π cm2 D. cm2
解析：选A　设正四棱台形状的模型高为h cm，故(2+8+)h=14，
解得h=3 cm，如图，取正方形EFGH的中心为M，正方形ABCD的中心为N，连接MN，则MN=h=3 cm，故该模型的外接球的球心在MN上，设为点O，连接ME，NA，OE，OA，
设上、下底面正方形的边长分别为a cm，b cm，
则a2=2，b2=8，解得a= cm，b=2 cm，
故EM=1 cm，NA=2 cm，
设ON=y cm，则MO=(3-y)cm，
由勾股定理得EO2=OM2+EM2=(3-y)2+1，AO2=ON2+AN2=y2+4，
故(3-y)2+1=y2+4，解得y=1，
故外接球的半径为= cm，该模型的外接球的表面积为4π·()2=20π cm2.故选A.
8.(2025·内江模拟)如图，四边形ABCD是一个角为60°且边长为2的菱形，把△ABD沿BD折起，得到三棱锥A'-BCD.若A'C=，则三棱锥A'-BCD的外接球的表面积为 (　　)
A.5π B.π
C.6π D.π
解析：选D　取BD中点E，连接A'E，CE，因为四边形ABCD是一个角为60°且边长为2的菱形，所以A'D=A'B=BD=CB=CD=2，所以△A'BD，△CBD为等边三角形，故A'E=CE=，A'E⊥BD，又因为A'C=，即A'E2+CE2=A'C2，所以A'E⊥CE，因为BD∩CE=E，BD 平面BCD，CE 平面BCD，所以A'E⊥平面BCD.设G为△BCD的重心，过G作OG⊥平面BCD，且O点为三棱锥A'-BCD的外接球球心，外接球半径为R，过O作OF⊥A'E，交A'E于F，连接OC，OA'，因为OG⊥平面BCD，A'E⊥平面BCD，所以OG∥A'E，因为OF⊥A'E，A'E⊥CE，所以四边形OFEG为矩形.所以OF=GE=，CG=，A'E=，设OG=FE=x，则A'F=-x，在Rt△OGC中，OC2=OG2+CG2 R2=x2+，在Rt△OFA'中，OA'2=OF2+A'F2 R2=+(-x)2，解得x=，R2=，所以三棱锥A'-BCD的外接球的表面积为S=4πR2=π.
9.(2025·南平模拟)某雕刻师在切割玉料时，切割出一块如图所示的三棱锥形边料，测得在此三棱锥A-BCD中，侧面ABC⊥底面BCD，且AB=AC=DB=DC=AD=2 cm，该雕刻师计划将其打磨成一颗球形玉珠，则磨成的球形玉珠的直径的最大值为 (　　)
A.2 cm B.2 cm
C.2(2-) cm D.(2-) cm
解析：选C　如图，设BC的中点为O，连接AO，DO，因为AB=AC=DB=DC，BC=BC，所以△ABC≌△DBC，所以AO=DO，且AO⊥BC，DO⊥BC，又侧面ABC⊥底面BCD且交线为BC，AO 平面ABC，所以AO⊥平面BCD，由于DO 平面BCD，所以AO⊥DO，由于AO∩DO=O，AO，DO 平面AOD，所以BC⊥平面AOD，又AD=2 cm，所以AO=DO= cm，BC=2 cm，因为AB=AC=DB=DC=2 cm，所以AB⊥AC，DB⊥DC.当球形玉珠为三棱锥A-BCD的内切球时，球形玉珠的直径最大.设三棱锥A-BCD的表面积为S，内切球的半径为r，则VA-BCD=Sr，又VA-BCD=S△DBC·AO=××2×2×= cm3，S=S△ABC+S△DBC+S△ABD+S△ADC=×2×2+×2×2+×2×2sin 60°+×2×2sin 60°=4+2 cm2，故=(4+2)r，所以r==(2-) cm，所以磨成的球形玉珠的直径的最大值为2(2-) cm.
10.[多选]刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角.角度用弧度制表示.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为2π-3×=π.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=，则下列结论正确的是 (　　)
A.在四面体ABCD1中，点A的曲率为
B.在四面体ABCD1中，点D1的曲率大于
C.四面体ABCD1外接球的表面积为12π
D.四面体ABCD1内切球半径的倒数为
解析：选ABD　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，易证△ACD1为正三角形，AB⊥AD1，∠BAC=，在四面体ABCD1中，点A的曲率为2π-=，A正确；在正方体ABCD-A1B1C1D1中，∠AD1B=∠BD1C，∵tan∠AD1B=tan∠BD1C=<1，∴0<∠AD1B=∠BD1C<，在四面体ABCD1中，点D1的曲率为2π->2π-=，B正确；∵四面体ABCD1外接球的半径即为正方体ABCD-A1B1C1D1外接球的半径，为×=，∴四面体ABCD1外接球的表面积为4π×=18π，C错误；四面体ABCD1的体积V=××()2×=，四面体ABCD1的表面积S=×()2+×××2+×()2=3+6+3，∴四面体内切球的半径r====，即=，D正确.
11.在三棱锥A-BCD中，若AD⊥平面BCD，AB⊥BC，AD=BD=2，CD=4，点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为　　　　.
解析：根据题意得，BC⊥平面ABD，则BC⊥BD，即AD，BC，BD三条线两两垂直，所以可将三棱锥A-BCD放置于长方体内，如图所示，该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，球心为长方体体对角线的中点，即外接球的半径为长方体体对角线长的一半，此时AC为长方体的体对角线，即为外接球的直径，所以该球的表面积S=4πR2=π·AC2=π·(22+42)=20π.
答案：20π
12.已知某正三棱柱既有内切球又有外接球，外接球的表面积为20π，则该三棱柱的体积为　　　　.
解析：设底面三角形的内切圆的半径为a，则其外接圆半径为2a，底面边长为2a，
若正三棱柱有内切球，则正三棱柱的高h=2a，则正三棱柱的外接球的半径R==a，可得4πR2=20πa2=20π，解得a=1，所以该三棱柱的体积V=×2a×2a××2a=6a3=6.
答案：6
13.(2023·全国甲卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点.以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有　　　　个公共点.
解析：如图，线段EF过正方体的中心，所以以EF为直径的球的球心即正方体的中心，球的半径为，而正方体的中心到每一条棱的距离均为，所以以EF为直径的球与每一条棱均相切，所以共有12个公共点.
答案：12
14.(2024·衡阳二模)已知三棱锥A-BCD中，AB=6，AC=3，BC=3，三棱锥A-BCD的体积为，其外接球的体积为π，则线段CD长度的最大值为　　　　.
解析：因为球的体积为π，所以球的半径R满足π=πR3，可得R=5.又AB=6，AC=3，BC=3，因此AB2=AC2+BC2，即∠ACB=90°，此时S△ABC=×3×3=.设点D到平面ABC的距离为h，则h×=，可得h=7.因为D的轨迹为球的截面圆，设截面圆所在的平面为α，则α与平面ABC平行.设球心到平面ABC的距离为d，而△ABC的外心即为AB的中点，外接圆的半径为AB=3，则d==4，故球心到平面α的距离为7-4=3，可知截面圆半径为=4.
设C在平面α上的射影为E，则E的轨迹为圆，如图所示，
设该圆圆心为O，则当D，O，E三点共线且点O在D，E之间时，DE最长，此时DE=3+4=7，故线段CD长度的最大值为7.
答案：7
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