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“2年高考1年模拟”课时精练（四十四） 空间几何体
1.[多选]下列说法正确的是 (　　)
A.用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面
B.圆台的任意两条母线延长后一定交于一点
C.有一个面为多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥
D.若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥不可能是正六棱锥
2.(2025·淄博一模)如图，某几何体的形状类似胶囊，两头都是半球，中间是圆柱，其中圆柱的底面半径与半球的半径都为2，若该几何体的表面积为20π，则其体积为 (　　)
A.π B.15π
C.π D.π
3.(2025·常德模拟)圆锥的高为2，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为 (　　)
A. B.
C. D.
4.(2025·太原模拟)如图所示的是水平放置的某个三角形的直观图，D'是△A'B'C'中边B'C'的中点且A'D'∥y'轴，A'B'，A'D'，A'C'三条线段对应原图形中的线段AB，AD，AC，那么 (　　)
A.最长的是AB，最短的是AC
B.最长的是AC，最短的是AB
C.最长的是AB，最短的是AD
D.最长的是AD，最短的是AC
5.如图，圆锥PO的底面直径和高均是4，过PO的中点O1作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为 (　　)
A.(7+4)π B.(8+4)π
C.(9+4)π D.(6+4)π
6.(2023·全国甲卷)在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA=PB=2，PC=，则该棱锥的体积为 (　　)
A.1 B.
C.2 D.3
7.(2025·潍坊模拟)一块扇形薄铁板的半径是30，圆心角是120°，把这块铁板截去一个半径为15的小扇形后，剩余铁板恰好可作为一个圆台的侧面，则该圆台的体积为 (　　)
A.π B.π
C.π D.1 750π
8.(2024·北京西城二模)楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用.如图，某楔体形构件可视为一个五面体ABCDEF，其中平面ABCD为正方形.若AB=6 cm，EF=3 cm，且EF与平面ABCD的距离为2 cm，则该楔体形构件的体积为 (　　)
A.18 cm3 B.24 cm3
C.30 cm3 D.48 cm3
9.(2023·新课标Ⅱ卷)[多选]已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB=120°，PA=2，点C在底面圆周上，且二面角P-AC-O为45°，则 (　　)
A.该圆锥的体积为π
B.该圆锥的侧面积为4π
C.AC=2
D.△PAC的面积为
10.(2025·邯郸模拟)[多选]半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体.某半正多面体由6个正方形和8个正六边形围成，其也可由正八面体(由八个等边三角形围成，也可以看作上、下两个正四棱锥黏合而成)切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为1，则下列结论正确的是 (　　)
A.AB∥GF
B.若平面ABDC∩平面EFG=l，则CD∥l
C.该半正多面体的体积为
D.该半正多面体的表面积为6+12
11.如图，一个水平放置的△ABO的斜二测画法的直观图是等腰直角三角形A'B'O'，若B'A'=B'O'=1，则原三角形ABO的面积为　　　　.
12.(2024·九省考前适应性测试)已知轴截面为正三角形的圆锥MM'的高与球O的直径相等，则圆锥MM'的体积与球O的体积的比值是　　　　，圆锥MM'的表面积与球O的表面积的比值是　　　　.
13.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=6，AD=6，AA1=3，现分别以AB，CD为轴，截去底面半径为3的两个四分之一圆柱，得到如图所示的几何体，则该几何体的表面积为　　　　.
14.在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=2A1B1，AA1=2，当正四棱台的体积取得最大值时，AB的长度是　　　　.
（解析）精练（四十四） 空间几何体
1.[多选]下列说法正确的是 (　　)
A.用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面
B.圆台的任意两条母线延长后一定交于一点
C.有一个面为多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥
D.若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥不可能是正六棱锥
解析：选ABD　易知A、B正确；根据棱锥的定义，其余各面的三角形必须有一个公共的顶点，故C错误；若六棱锥的底面边长都相等，则底面为正六边形，由过底面中心和顶点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长一定大于底面边长，故D正确.
2.(2025·淄博一模)如图，某几何体的形状类似胶囊，两头都是半球，中间是圆柱，其中圆柱的底面半径与半球的半径都为2，若该几何体的表面积为20π，则其体积为 (　　)
A.π B.15π
C.π D.π
解析：选A　设该几何体中间部分圆柱的高为h，圆柱的半径为r，则该几何体的表面积为4πr2+2πr·h=20π，因为r=2，所以h=1，所以该几何体的体积V=πr3+πr2·h=π.
3.(2025·常德模拟)圆锥的高为2，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为 (　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，则==，所以h==2r=2，r=，所以圆锥的体积为πr2h=.
4.(2025·太原模拟)如图所示的是水平放置的某个三角形的直观图，D'是△A'B'C'中边B'C'的中点且A'D'∥y'轴，A'B'，A'D'，A'C'三条线段对应原图形中的线段AB，AD，AC，那么 (　　)
A.最长的是AB，最短的是AC
B.最长的是AC，最短的是AB
C.最长的是AB，最短的是AD
D.最长的是AD，最短的是AC
解析：选C　由题中的直观图可知，A'D'∥y'轴，B'C'∥x'轴，根据斜二测画法的规则可知，在原图形中AD∥y轴，BC∥x轴.又因为D'为B'C'的中点，所以△ABC为等腰三角形，且AD为底边BC上的高，则有AB=AC>AD成立.
5.如图，圆锥PO的底面直径和高均是4，过PO的中点O1作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为 (　　)
A.(7+4)π B.(8+4)π
C.(9+4)π D.(6+4)π
解析：选B　设圆柱的高为h，底面半径为r，可知h=×4=2，r=××4=1，则圆锥的母线长为=2，所以剩下几何体的表面积为π×22+2π×1×2+π×2×2=(8+4)π.
6.(2023·全国甲卷)在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA=PB=2，PC=，则该棱锥的体积为 (　　)
A.1 B.
C.2 D.3
解析：选A　如图，取AB的中点D，连接PD，CD，因为△ABC是边长为2的等边三角形，PA=PB=2，所以PD⊥AB，CD⊥AB，所以PD=CD=，又PC=，所以PD2+CD2=PC2，所以PD⊥CD，又AB∩CD=D，AB，CD 平面ABC，所以PD⊥平面ABC，所以VP-ABC=×S△ABC×PD=××2××=1，故选A.
7.(2025·潍坊模拟)一块扇形薄铁板的半径是30，圆心角是120°，把这块铁板截去一个半径为15的小扇形后，剩余铁板恰好可作为一个圆台的侧面，则该圆台的体积为 (　　)
A.π B.π
C.π D.1 750π
解析：选C　半径为30，圆心角为120°的扇形围成圆锥的底面圆半径r，则2πr=×30，解得r=10，该圆锥的高h==20，体积为V=πr2h=π×102×20=π，截去半径为15的小扇形围成圆锥的底面圆半径r0，则2πr0=×15，解得r0=5，该圆锥的高h0==10，体积为V0=πh0=π×52×10=π，所以该圆台的体积为V-V0=π-π=π.
8.(2024·北京西城二模)楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用.如图，某楔体形构件可视为一个五面体ABCDEF，其中平面ABCD为正方形.若AB=6 cm，EF=3 cm，且EF与平面ABCD的距离为2 cm，则该楔体形构件的体积为 (　　)
A.18 cm3 B.24 cm3
C.30 cm3 D.48 cm3
解析：选C　如图所示，设G，H分别为AB，DC的中点，连接EG，EH，GH，因为面ABCD为正方形，所以AB∥DC，又AB 平面EFCD，DC 平面EFCD，所以AB∥平面EFCD，又平面EFCD∩平面ABFE=EF，所以AB∥EF，因为G，H分别为AB，DC的中点，AB=6 cm，EF=3 cm，所以EF∥GB，EF=GB，则四边形EGBF为平行四边形，则EG∥FB，同理EH∥FC，又GH∥BC，所以EGH-FBC为三棱柱.由题意，可得V四棱锥E-AGHD=S矩形AGHD·h=AD·AG·h=×6×3×2=12.又V三棱柱EGH-FBC=3V三棱锥B-EGH=3V三棱锥E-BGH=3××V四棱锥E-AGHD=·V四棱锥E-AGHD=×12=18.所以该多面体的体积为V=V四棱锥E-AGHD+V三棱柱EGH-FBC=12+18=30 cm3.
9.(2023·新课标Ⅱ卷)[多选]已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB=120°，PA=2，点C在底面圆周上，且二面角P-AC-O为45°，则 (　　)
A.该圆锥的体积为π
B.该圆锥的侧面积为4π
C.AC=2
D.△PAC的面积为
解析：选AC　在△PAB中，由余弦定理得AB=2，如图，连接PO，易知圆锥的高h=PO=1，底面圆的半径r=AO=BO=.对于A，该圆锥的体积V=πr2h=π，故A正确；对于B，该圆锥的侧面积S侧=πr·PA=2π，故B错误；对于C，取AC的中点H，连接PH，OH，OC，因为OA=OC，所以OH⊥AC，同理可得PH⊥AC，则二面角P-AC-O的平面角为∠PHO=45°，所以OH=PO=1，AH=CH==，所以AC=2，故C正确；对于D，PH=OH=，S△PAC=×2×=2，故D错误.故选AC.
10.(2025·邯郸模拟)[多选]半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体.某半正多面体由6个正方形和8个正六边形围成，其也可由正八面体(由八个等边三角形围成，也可以看作上、下两个正四棱锥黏合而成)切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为1，则下列结论正确的是 (　　)
A.AB∥GF
B.若平面ABDC∩平面EFG=l，则CD∥l
C.该半正多面体的体积为
D.该半正多面体的表面积为6+12
解析：选ABD　如图所示，对于A，易知四边形HIJL为正方形，∴AB∥GF，A正确；对于B，∵AB∥GF，AB 平面EFG，GF 平面EFG，∴AB∥平面EFG，又AB 平面ABDC，且平面ABDC∩平面EFG=l，∴AB∥l，又AB∥CD，∴CD∥l，B正确；对于C，根据题意可知上、下两个正四棱锥的所有棱长都为3，∴上、下两个正四棱锥的高为边长为3的正方形HIJL对角线的一半，即为，∴一个大正四棱锥的体积为×3×3×=，又截去的一个小正四棱锥与大正四棱锥的相似比为1∶3，∴一个小正四棱锥的体积为×=，∴该半正多面体的体积为2×-6×=8，C错误；对于D，根据题意可得该半正多面体的表面积为6×12+8×6××1×1×=6+12，D正确.故选ABD.
11.如图，一个水平放置的△ABO的斜二测画法的直观图是等腰直角三角形A'B'O'，若B'A'=B'O'=1，则原三角形ABO的面积为　　　　.
解析：根据题意可得O'A'=，在△ABO中，OB=O'B'=1，
OA=2O'A'=2，所以△ABO的面积为S=×1×2=.
答案：
12.(2024·九省考前适应性测试)已知轴截面为正三角形的圆锥MM'的高与球O的直径相等，则圆锥MM'的体积与球O的体积的比值是　　　　，圆锥MM'的表面积与球O的表面积的比值是　　　　.
解析：设圆锥底面圆半径为r，则高为r，设球半径为R，则2R=r，R=r，==.
圆锥的表面积S1=πr2+πr·2r=3πr2，球O的表面积S2=4πR2=4π·r2=3πr2，==1.
答案：　1
13.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=6，AD=6，AA1=3，现分别以AB，CD为轴，截去底面半径为3的两个四分之一圆柱，得到如图所示的几何体，则该几何体的表面积为　　　　.
解析：由题意可得，该几何体共有5个面，其中两个曲面的面积均为以3为底面半径，以6为母线长的圆柱的侧面的四分之一，所以其面积和为2××2π×3×6=18π.两侧的平面图形的面积可看作矩形BCC1B1面积的两倍减去一个半径为3的圆的面积，其面积为2×3×6-π×32=36-9π.顶部的平面图形为矩形A1B1C1D1，其面积为6×6=36，故该几何体的表面积为18π+(36-9π)+36=72+9π.
答案：72+9π
14.在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=2A1B1，AA1=2，当正四棱台的体积取得最大值时，AB的长度是　　　　.
解析：设AB=2A1B1=4x，上底面和下底面的中心分别为O1，O，连接AC，A1C1，O1O，过A1作A1H⊥AC，该正四棱台的高O1O=h，在上、下底面中，由勾股定理可知，A1O1==x，AO==2x.在梯形A1O1OA中，A1A2=AH2+A1H2 12=+h2 h2=12-2x2，
所以该正四棱台的体积为V=(16x2++4x2)h=x2h，
所以V2=x2·x2·h2=x2·x2·(12-2x2)，
令x2=t>0，则V2=(6t2-t3)，t>0，
令f(t)=6t2-t3，则f'(t)=12t-3t2，
令f'(t)=0得t=4，
当00，f(t)单调递增，
当t>4时，f'(t)<0，f(t)单调递减，
故当t=4，即x=2时，f(t)有最大值，此时V有最大值，此时AB的长度是8.
答案：8
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