资源简介

“2年高考1年模拟”课时精练（四十三） 数列的综合问题
1.(2024·滨州二模)已知数列中，a1=，2an+1-an=anan+1.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：2a1a2+22a2a3+…+2nanan+1<.
2.(2024·东三省四市教研体二模)已知数列中，a1=2，nan+1-an=2.
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)设bn=，数列的前n项和为Tn，若Tn<恒成立，试求实数λ的取值范围.
3.记Sn为等差数列的前n项和，已知a1=1，bn=.
(1)若b1=1，λ=-1，求数列的通项公式.
(2)若数列是等差数列，且b1=-5，其前n项和为Tn，求λ的值，并求使Sn+λTn>0成立的n的最大值.
4.(2024·石家庄三模)已知各项均为正数的等比数列满足a1=3，a2+a3=36，数列的前n项和Sn，满足3Sn+n2=3nbn+n，b1=.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若存在正整数n，使得27-8Man≥0成立，求实数M的取值范围.
5.已知数列{an}，记集合T={S(i，j)|S(i，j)=ai+ai+1+…+aj，1≤i(1)对于数列{an}：1，2，3，4，写出集合T.
(2)若an=2n，是否存在i，j∈N*，使得S(i，j)=1 024 若存在，求出一组符合条件的i，j；若不存在，请说明理由.
(3)若an=2n-2，把集合T中的元素从小到大排列，得到的新数列为B：b1，b2，…，bm，….若bm≤2 024，求m的最大值.
（解析）精练（四十三） 数列的综合问题
1.(2024·滨州二模)已知数列中，a1=，2an+1-an=anan+1.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：2a1a2+22a2a3+…+2nanan+1<.
解：(1)因为2an+1-an=anan+1，
两边同除以anan+1，得-=1，
即=2·-1，
两边同时减1，得-1=2·-2，
所以-1=2，
所以=2.又因为-1=2，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以-1=2n，即an=，
所以数列的通项公式为an=.
(2)证明：2nanan+1=
=-，
所以2a1a2+22a2a3+…+2nanan+1
=++…+=-.
因为>0，
所以2a1a2+22a2a3+…+2nanan+1<.
2.(2024·东三省四市教研体二模)已知数列中，a1=2，nan+1-an=2.
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)设bn=，数列的前n项和为Tn，若Tn<恒成立，试求实数λ的取值范围.
解：(1)证明：∵nan+1-an=2(n2+n)=2n(n+1)，两边同时除以n，∴-=2，
∴数列是首项为=2，公差为2的等差数列，
=2+×2=2n，∴an=2n2.
(2)由bn=，可得bn===，
∴Tn===×，
Tn<，即×<λ，即×<λ恒成立.
∴λ>==，
∴λ>.故实数λ的取值范围为.
3.记Sn为等差数列的前n项和，已知a1=1，bn=.
(1)若b1=1，λ=-1，求数列的通项公式.
(2)若数列是等差数列，且b1=-5，其前n项和为Tn，求λ的值，并求使Sn+λTn>0成立的n的最大值.
解：(1)设等差数列的公差为d.
因为a1=1，b1=1，λ=-1，
所以b1==a1-a2+3=1，则a2=3，
所以d=a2-a1=3-1=2，
所以数列的通项公式为an=1+2(n-1)=2n-1.
(2)由an=a1+(n-1)d，Sn=na1+d，
得bn==n+1-+λd+.
因为数列是等差数列，
所以λ+3=0，即λ=-3.
因为b1=-5，所以+1--3d=-5，
所以d=2，所以an=1+(n-1)×2=2n-1，
bn=n+1-1-3×2=n-6，
则Tn==，
Sn=n+×2=n2.
因为Sn+λTn=n2-3×>0，
所以0所以λ的值为-3，正整数n的最大值为21.
4.(2024·石家庄三模)已知各项均为正数的等比数列满足a1=3，a2+a3=36，数列的前n项和Sn，满足3Sn+n2=3nbn+n，b1=.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若存在正整数n，使得27-8Man≥0成立，求实数M的取值范围.
解：(1)设数列的公比为q，
由已知得3q+3q2=36，即q2+q-12=0，
解得q=3或q=-4(舍去)，
所以an=3·3n-1=3n.
因为3Sn+n2=3nbn+n，所以当n≥2时，3Sn-1+(n-1)2=3bn-1+n-1，
两式作差得bn=3bn-1+2n-2.
因为n≥2，所以bn-bn-1=，即数列是首项为，公差为的等差数列，
所以bn=+×=n.
(2)由27-8Man≥0，得M≤.设cn=，则M小于等于数列的最大项.
设n=k时，cn最大，因为c1=，c2=>c1，
所以k>1.
由即
即即
解得
即2.5≤k≤3.5(k∈N*)，所以k=3，
故数列的最大项是c3==1，所以M≤1，即实数M的取值范围是.
5.已知数列{an}，记集合T={S(i，j)|S(i，j)=ai+ai+1+…+aj，1≤i(1)对于数列{an}：1，2，3，4，写出集合T.
(2)若an=2n，是否存在i，j∈N*，使得S(i，j)=1 024 若存在，求出一组符合条件的i，j；若不存在，请说明理由.
(3)若an=2n-2，把集合T中的元素从小到大排列，得到的新数列为B：b1，b2，…，bm，….若bm≤2 024，求m的最大值.
解：(1)由题意得a1+a2=3，a1+a2+a3=1+2+3=6，a1+a2+a3+a4=1+2+3+4=10，a2+a3=2+3=5，a2+a3+a4=2+3+4=9，a3+a4=3+4=7，∴T={3，5，6，7，9，10}.
(2)假设存在i，j∈N*，使得S(i，j)=1 024，则有1 024=ai+ai+1+…+aj=2i+2(i+1)+…+2j=(j-i+1)(i+j)，
∵i+j与j-i奇偶性相同，
∴i+j与j-i+1奇偶性不同.
又∵i+j≥3，j-i+1≥2，
∴1 024有大于等于3的奇数因子，
这与1 024无1以外的奇数因子矛盾，
故不存在i，j∈N*，使得S(i，j)=1 024.
(3)由题意得=(j+i-2)(j-i+1)，
当j=2，i=1时，b1=2，除j=2，i=1外j+i-2≥2，j-i+1≥2，其中j+i-2与j-i+1一奇一偶，则bn能拆成奇数与偶数的乘积，
在正偶数中，只有2n无法拆成一个大于2的奇数与一个不小于2的偶数之乘积，
又T中的元素均为偶数，故T={2n|n∈N*，n≠2k，k∈N*}，故2至2 024偶数中除去4，8，16，32，64，128，256，512，1 024，
∴m=-9=1 003，故m的最大值为1 003.
4 / 5

展开更多......

收起↑