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“2年高考1年模拟”课时精练（四十七） 空间直线、平面的平行
1.平面α内两条直线m，n都平行于平面β，则α与β的关系是 (　　)
A.平行 B.相交
C.重合 D.不确定
2.(2025·大庆开学考试)已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列说法正确的是 (　　)
A.若l⊥α，m⊥α，则l⊥m
B.若l∥α，α∥β，则l∥β
C.若l∥α，l β，α∩β=m，则l∥m
D.若l α，l∥β，m β，m∥α，则α∥β
3.如图，在三棱锥P-ABC中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足AD∥平面PEF，则的值为 (　　)
A.1 B.2
C. D.
4.[多选]设α，β，γ是三个不同的平面，b，c是两条不同的直线，在命题“α∩β=b，c γ，且　　　　，则b∥c”中的横线处填入下列四组条件中的一组，使该命题为真命题，则可以填入的条件有 (　　)
A.α∥γ，c β B.b∥γ，c∥β
C.c∥β，b γ D.α∥γ，c∥β
5.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足什么条件时，有平面D1BQ∥平面PAO (　　)
A.Q为CC1的三等分点 　 B.Q为CC1的中点
C.Q为CC1的四等分点 　 D.Q与C重合
6.(2025·遂宁模拟)[多选]如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AD，BC上的点，且AD=3AE，BC=3BF，设P，Q分别为线段AF，CE的中点，将四边形ABFE沿着直线EF进行翻折，使得点A不在平面CDEF上，在这一过程中，下列关系能成立的是 (　　)
A.直线AB∥直线CD B.直线AB⊥直线PQ
C.直线PQ∥直线ED D.直线PQ∥平面ADE
7.(2025·重庆联考)如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且==，G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G，则= (　　)
A. B.
C. D.
8.(2025·福建模拟)[多选]已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段BD，C1D1上(含端点)的点，则 (　　)
A.当EF∥AD1时，直线EF相对于正方体的位置唯一确定
B.当A1F∥CE时，直线EF相对于正方体的位置唯一确定
C.当C1E∥平面ADF时，直线EF相对于正方体的位置唯一确定
D.当平面AED1∥平面A1CF时，直线EF相对于正方体的位置唯一确定
9.如图，空间图形ABC-A1B1C1是三棱台，在点A1，B1，C1，A，B，C中取3个点确定平面α，α∩平面A1B1C1=m，且m∥AB，则所取的这3个点可以是　　　　.
10.如图，正四棱锥P-ABCD的所有棱长都为2，E为PC的中点，M是底面ABCD内(包括边界)的动点，且EM∥平面PAB，则EM长度的取值范围是　　　　　.
11.(2025·辽宁模拟)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为的正方形，PA=，PA⊥平面ABCD，M为线段PA的中点，若空间中存在平面α满足BD∥α，MC α，记平面α与直线PD，PB分别交于点E，F，则PE=　　　　，四边形MECF的面积为　　　　.
12.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点.
(1)求证：BD1∥平面AMC；
(2)若N为CC1的中点，求证：平面AMC∥平面BND1.
13.(2025·上海模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且==.
(1)作出平面PQC和平面AA1D1D的交线(保留作图痕迹)，并求证：PQ∥平面A1D1DA；
(2)若R是AB上的点，当的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA 请给出证明.
14.三棱柱ABC-A1B1C1的棱长都为2，D和E分别是BB1和A1C1的中点.
(1)求证：直线DE∥平面ABC1；
(2)若∠A1AC=60°，点B到平面ACC1A1的距离为，求三棱锥D-ABC1的体积.
（解析）精练（四十七） 空间直线、平面的平行
1.平面α内两条直线m，n都平行于平面β，则α与β的关系是 (　　)
A.平行 B.相交
C.重合 D.不确定
解析：选D　若直线m与直线n为相交直线，根据平面与平面平行的判定定理可得α∥β，若m∥n，如图，可能α∥β，也可能α与β相交.
2.(2025·大庆开学考试)已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列说法正确的是 (　　)
A.若l⊥α，m⊥α，则l⊥m
B.若l∥α，α∥β，则l∥β
C.若l∥α，l β，α∩β=m，则l∥m
D.若l α，l∥β，m β，m∥α，则α∥β
解析：选C　若l⊥α，m⊥α，则l∥m，A错误；若l∥α，α∥β，则l∥β或l β，B错误；由α∩β=m，l∥α，l β，根据线面平行的性质知l∥m，C正确；如图，l α，l∥β，m β，m∥α，有α，β相交，D错误.故选C.
3.如图，在三棱锥P-ABC中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足AD∥平面PEF，则的值为 (　　)
A.1 B.2
C. D.
解析：选C　如图，连接CD，交PE于点G，连接FG，因为AD∥平面PEF，AD 平面ADC，平面ADC∩平面PEF=FG，所以AD∥FG，因为点D，E分别为棱PB，BC的中点，所以G是△PBC的重心，所以==.故选C.
4.[多选]设α，β，γ是三个不同的平面，b，c是两条不同的直线，在命题“α∩β=b，c γ，且　　　　，则b∥c”中的横线处填入下列四组条件中的一组，使该命题为真命题，则可以填入的条件有 (　　)
A.α∥γ，c β B.b∥γ，c∥β
C.c∥β，b γ D.α∥γ，c∥β
解析：选ACD　如图1，α∩β=b，c γ，α∥γ，c β，∴β∩γ=c，利用面面平行的性质可知b∥c，故A正确；如图2，α∩β=b，c γ，b∥γ，c∥β，∴b∥c或b与c是异面直线，故B错误；如图3，α∩β=b，c γ，c∥β，b γ，因为c∥β，c γ，γ∩β=b，∴b∥c，故C正确；如图4，α∩β=b，c γ，α∥γ，c∥β，∵c∥β，c γ，γ∩β=c'∴c∥c'，∵α∥γ，β∩γ=c'，α∩β=b，∴b∥c'∴b∥c，故D正确.
5.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足什么条件时，有平面D1BQ∥平面PAO (　　)
A.Q为CC1的三等分点 　 B.Q为CC1的中点
C.Q为CC1的四等分点 　 D.Q与C重合
解析：选B　如图所示，设Q为CC1的中点，连接PQ，∵P为DD1的中点，易知PQ∥CD∥AB，且PQ=CD=AB，故四边形BAPQ是平行四边形，∴QB∥PA，又QB 平面D1BQ，PA 平面D1BQ，∴PA∥平面D1BQ.连接DB，则DB过点O，且O是DB的中点，又∵P是DD1的中点，∴D1B∥PO，又D1B 平面D1BQ，PO 平面D1BQ，∴PO∥平面D1BQ.又PA∩PO=P，PA，PO 平面PAO，∴平面D1BQ∥平面PAO，故Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.
6.(2025·遂宁模拟)[多选]如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AD，BC上的点，且AD=3AE，BC=3BF，设P，Q分别为线段AF，CE的中点，将四边形ABFE沿着直线EF进行翻折，使得点A不在平面CDEF上，在这一过程中，下列关系能成立的是 (　　)
A.直线AB∥直线CD B.直线AB⊥直线PQ
C.直线PQ∥直线ED D.直线PQ∥平面ADE
解析：选ABD　翻折之后如图所示.因为AD=3AE，BC=3BF，所以AB∥EF且EF∥CD，因此AB∥CD，故A成立；连接FD，因为P，Q分别为FA，FD的中点，所以PQ∥AD，又因为AB⊥AD，所以AB⊥PQ，故B成立；因为PQ∥AD，ED∩AD=D，所以PQ与ED不平行，故C不成立；因为PQ∥AD，且PQ 平面ADE，AD 平面ADE，所以PQ∥平面ADE，故D成立.
7.(2025·重庆联考)如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且==，G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G，则= (　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　如图所示，延长AE交CD于点H，连接FH，则△DEH∽△BEA，所以==.因为平面AEF∥平面BD1G，平面AEF∩平面CDD1C1=FH，平面BD1G∩平面CDD1C1=D1G，所以FH∥D1G.又四边形CDD1C1是平行四边形，所以△DFH∽△C1GD1，所以=，因为==，所以=，因为=，所以FD1=C1G，DF=CG，所以=，故选B.
8.(2025·福建模拟)[多选]已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段BD，C1D1上(含端点)的点，则 (　　)
A.当EF∥AD1时，直线EF相对于正方体的位置唯一确定
B.当A1F∥CE时，直线EF相对于正方体的位置唯一确定
C.当C1E∥平面ADF时，直线EF相对于正方体的位置唯一确定
D.当平面AED1∥平面A1CF时，直线EF相对于正方体的位置唯一确定
解析：选AD　对于A，当且仅当点E与点B重合，且点F与点C1重合时条件成立，故A正确；对于B，如图1，设A1F在平面ABCD上的投影为AF1，AF1∩BD=G，记BD的中点为O，则对于任何满足OE=OG且E，G不重合时，四边形AHCF1为平行四边形，即有EC∥AF1∥A1F，故B错误；对于C，如图1，设E在直线AD上的投影为E1，对于任何满足EE1=C1F的情况，有EE1∥AB∥C1D1，所以四边形EE1FC1为平行四边形，所以C1E∥FE1，又因为FE1 平面ADF，C1E 平面ADF，所以C1E∥平面ADF，故直线EF的位置无法唯一确定，故C错误；对于D，如图2，当且仅当F为C1D1的中点时，取CD的中点H，连接AH，AH∩BD=E，因为==，即点E为线段BD上靠近点D的三等分点，因为AH∥A1F，A1F 平面A1CF，AH 平面A1CF，所以AH∥平面A1CF，连接A1D，A1D∩AD1=F，连接FH，易知FH∥A1C，A1C 平面A1CF，FH 平面A1CF，所以FH∥平面A1CF，又FH∩AH=H，FH，AH 平面AED1，所以平面AED1∥平面A1CF，故D正确.
9.如图，空间图形ABC-A1B1C1是三棱台，在点A1，B1，C1，A，B，C中取3个点确定平面α，α∩平面A1B1C1=m，且m∥AB，则所取的这3个点可以是　　　　.
解析：由空间图形ABC-A1B1C1是三棱台，可得平面ABC∥平面A1B1C1，当平面ABC1为平面α，平面α∩平面A1B1C1=m时，又平面α∩平面ABC=AB，所以由面面平行的性质定理可知m∥AB，所取的这3个点可以是A，B，C1.
答案：A，B，C1(答案不唯一)
10.如图，正四棱锥P-ABCD的所有棱长都为2，E为PC的中点，M是底面ABCD内(包括边界)的动点，且EM∥平面PAB，则EM长度的取值范围是　　　　　.
解析：如图1，设BC，AD的中点分别为M1，M2，连接M1M2，则M1M2∥AB.因为M1M2 平面PAB，AB 平面PAB，所以M1M2∥平面PAB.又EM1∥PB，EM1 平面PAB，PB 平面PAB，所以EM1∥平面PAB.又M1M2∩EM1=M1，所以平面M1EM2∥平面PAB，所以动点M在线段M1M2上运动.连接AC，设PD，AC的中点分别为F，O，连接M2F，EF，M2E，OE，则在等腰梯形EFM2M1中，只需求出点E与线段M1M2上的点的距离的取值范围.易知M2F=FE=EM1=M1O=OM2=1，如图2，作EM3⊥M1O，则EM3=，M2E=2EM3=，所以EM长度的取值范围是.
答案：
11.(2025·辽宁模拟)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为的正方形，PA=，PA⊥平面ABCD，M为线段PA的中点，若空间中存在平面α满足BD∥α，MC α，记平面α与直线PD，PB分别交于点E，F，则PE=　　　　，四边形MECF的面积为　　　　.
解析：如图，过点C作BD的平行线QH分别交AD，AB的延长线于点Q，H，
则D，B分别为AQ，AH的中点，连接MQ，MH，分别交PD，PB于点E，F，则平面MQH即平面α，
取AD的中点G，由四边形ABCD是正方形，得GD=AD=QD，连接MG，则MG∥PD，
===，ED=MG=PD，因此PE=PD==.
连接EF，因为BD∥平面α，平面α∩平面PBD=EF，BD 平面PBD，所以BD∥EF，
所以EF∥QH，==，
依题意，PD=PB，由BD∥EF，得PE=PF，由△PEM≌△PFM，得ME=MF，从而MQ=MH，
由AC⊥QH，得C为QH的中点，由AB=，得BD=，QH=2，
MC===，由S△QCE=S△HCF=·S△MQH=S△MQH，
故四边形MECF的面积S=S△MQH=S△MQH=QH·MC=×2×=.
答案：　
12.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点.
(1)求证：BD1∥平面AMC；
(2)若N为CC1的中点，求证：平面AMC∥平面BND1.
证明：(1)如图，连接BD，设AC∩BD=O，连接OM，
∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是正方形，∴O是BD的中点，
∵M是DD1的中点，∴OM∥BD1.
∵BD1 平面AMC，OM 平面AMC，
∴BD1∥平面AMC.
(2)连接D1N，BN，∵N为CC1的中点，M为DD1的中点，
∴CN∥D1M，CN=D1M，
∴四边形CND1M为平行四边形，∴D1N∥CM，
又∵MC 平面AMC，D1N 平面AMC，
∴D1N∥平面AMC，
由(1)知BD1∥平面AMC，∵BD1∩D1N=D1，BD1 平面BND1，D1N 平面BND1，
∴平面AMC∥平面BND1.
13.(2025·上海模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且==.
(1)作出平面PQC和平面AA1D1D的交线(保留作图痕迹)，并求证：PQ∥平面A1D1DA；
(2)若R是AB上的点，当的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA 请给出证明.
解：(1)连接CP并延长与DA的延长线交于点M，连接D1M，则平面PQC和平面AA1D1D的交线为D1M.
因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD，
故△PBC∽△PDM，所以==，
又因为==，所以==，
所以PQ∥MD1.
又MD1 平面A1D1DA，PQ 平面A1D1DA，
故PQ∥平面A1D1DA.
(2)证明：当的值为时，能使平面PQR∥平面A1D1DA.
因为=，即=，故=，
所以PR∥DA.
又DA 平面A1D1DA，PR 平面A1D1DA，
所以PR∥平面A1D1DA，又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR=P，PQ，PR 平面PQR，所以平面PQR∥平面A1D1DA.
14.三棱柱ABC-A1B1C1的棱长都为2，D和E分别是BB1和A1C1的中点.
(1)求证：直线DE∥平面ABC1；
(2)若∠A1AC=60°，点B到平面ACC1A1的距离为，求三棱锥D-ABC1的体积.
解：(1)证明：法一　在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，取B1C1的中点F，连接DF，EF，如图1.∵D和E分别是BB1和A1C1的中点，∴DF∥BC1，EF∥A1B1，∴EF∥AB.
又DF 平面ABC1，BC1 平面ABC1，且EF 平面ABC1，AB 平面ABC1，∴DF∥平面ABC1，EF∥平面ABC1.又DF∩EF=F，DF，EF 平面DEF，∴平面DEF∥平面ABC1，而DE 平面DEF，故直线DE∥平面ABC1.
法二　连接CE交AC1于点G，连接CD交BC1于点H，连接HG，如图2.
在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C1∥AC，BB1∥CC1，
∴====，∴=，则DE∥HG.又DE 平面ABC1，HG 平面ABC1，∴直线DE∥平面ABC1.
(2)∵直线DE∥平面ABC1，
∴=，又∠A1AC=60°，
∴在平行四边形ACC1A1中，边AC上的高h'=2sin 60°=，
由B到平面ACC1A1的高hB=，则==·hB=××1××=.故三棱锥D-ABC1的体积为.
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