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“2年高考1年模拟”课时精练（四十六） 空间点、直线、平面之间的位置关系
1.若直线上有两个点在平面外，则 (　　)
A.直线上至少有一个点在平面内
B.直线上有无穷多个点在平面内
C.直线上所有点都在平面外
D.直线上至多有一个点在平面内
2.[多选]下列叙述正确的是 (　　)
A.若P∈α∩β，且α∩β=l，则P∈l
B.若直线a∩b=A，则直线a与b能确定一个平面
C.三点A，B，C确定一个平面
D.若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l α
3.(2025·大理模拟)如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱A1D1，B1C1，BC，AD的中点，则 (　　)
A.直线HE与直线GF是异面直线
B.直线HE与直线BB1是异面直线
C.直线HE与直线CC1共面
D.直线HE与直线BF共面
4.(2025·新余模拟)空间中有三条两两异面的直线，P为其中一条直线上一定点，过P引直线l使其与这三条异面直线都相交，则对于任意的定点P，存在的直线l有 (　　)
A.1条 B.2条
C.3条 D.无数条
5.[多选]用一个平面截正方体，所得的截面不可能是 (　　)
A.锐角三角形
B.直角梯形
C.有一个内角为75°的菱形
D.正五边形
6.(2025·大同模拟)[多选]如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，过AB1且与BD1平行的平面交A1D1于点P，下列说法正确的是 (　　)
A.PA1=
B.PD1=
C.直线B1P与AD所成角的正切值为2
D.直线B1P与AD所成角的正切值为
7.[多选]一个正四棱锥的平面展开图如图所示，其中E，F，M，N，Q分别为P2A，P1D，P4D，P4C，P3C的中点，关于该正四棱锥，下列四个结论正确的是 (　　)
A.直线AF与直线BQ是异面直线
B.直线BE与直线MN是异面直线
C.直线BQ与直线MN共面
D.直线BE与直线AF是异面直线
8.(2025·惠州模拟)[多选]如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为C1D1，B1C1的中点，O，M分别为BD，EF的中点，则下列说法正确的是 (　　)
A.四点B，D，E，F在同一平面内
B.三条直线BF，DE，CC1有公共点
C.直线A1C与直线OF不是异面直线
D.直线A1C上存在点N使M，N，O三点共线
9.已知a，b，c是不同直线，α是平面，若a∥b，b∩c=A，则直线a与直线c的位置关系是　　　　　　；若a⊥b，b⊥α，则直线a与平面α的位置关系是　　　　　　.
10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O是底面ABCD的中心，过O点作一条直线l与A1D平行，设直线l与直线OC1的夹角为θ，则cos θ=　　　　.
11.(2025·南充一模)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为BC，CC1的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为　　　　.
12.(2025·威海期末)在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD，AB=且最长的棱长为，E为棱AD的中点，则当三棱锥A-BCD的体积最大时，直线AC与BE所成角的余弦值为　　　　.
13.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求证：
(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线.
14.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，C1D1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面A1B1C1D1相交于直线l.
(1)画出直线l的位置，并说明作图依据；
(2)正方体被平面DMN截成两部分，求较小部分几何体的体积.
（解析）精练（四十六） 空间点、直线、平面之间的位置关系
1.若直线上有两个点在平面外，则 (　　)
A.直线上至少有一个点在平面内
B.直线上有无穷多个点在平面内
C.直线上所有点都在平面外
D.直线上至多有一个点在平面内
解析：选D　根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内.
2.[多选]下列叙述正确的是 (　　)
A.若P∈α∩β，且α∩β=l，则P∈l
B.若直线a∩b=A，则直线a与b能确定一个平面
C.三点A，B，C确定一个平面
D.若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l α
解析：选ABD　选项A，点P是两平面的公共点，显然在交线上，故正确；选项B，由基本事实的推论可知，两相交直线确定一个平面，故正确；选项C，只有不共线的三点才能确定一个平面，故错误；选项D，由基本事实2，直线上有两点在一个平面内，则这条直线在平面内，故正确.
3.(2025·大理模拟)如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱A1D1，B1C1，BC，AD的中点，则 (　　)
A.直线HE与直线GF是异面直线
B.直线HE与直线BB1是异面直线
C.直线HE与直线CC1共面
D.直线HE与直线BF共面
解析：选C　延长AA1，BB1，CC1，DD1，由正四棱台的性质可得侧棱AA1，BB1，CC1，DD1的延长线交于同一点，设该交点为P.因为E，F，G，H分别为棱A1D1，B1C1，BC，AD的中点，延长HE，GF，则HE，GF的延长线必过点P，则直线HE与直线GF，BB1，CC1均相交于点P，直线HE与直线BF是异面直线.
4.(2025·新余模拟)空间中有三条两两异面的直线，P为其中一条直线上一定点，过P引直线l使其与这三条异面直线都相交，则对于任意的定点P，存在的直线l有 (　　)
A.1条 B.2条
C.3条 D.无数条
解析：选A　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，不妨设三条两两异面的直线为A1D1，BB1，CD，令P∈A1D1，过BB1作平面PP1BB1，则过P与BB1相交的直线都在平面PP1BB1内，过DC作平面PP2CD，则过P与DC相交的直线都在平面PP2CD内，平面PP1BB1与平面PP2CD不平行且不重合，有且仅有一条公共直线，所以直线l只有1条.
5.[多选]用一个平面截正方体，所得的截面不可能是 (　　)
A.锐角三角形
B.直角梯形
C.有一个内角为75°的菱形
D.正五边形
解析：选BCD　用一个平面截正方体，只截正方体三个面，得锐角三角形，如图1，截四个面得四边形，四边形可以是矩形、正方形，可以是菱形，如图2中四边形ABCD(其中B，D为所在棱的中点)，但内角不是75°，图中菱形锐角内角的余弦值为，可以是梯形，如图2中四边形AEFG，但不可能是直角梯形，截六个面得六边形，如果过一个顶点截面可为五边形(也可不过顶点)，如图3，但不会是正五边形.故选BCD.
6.(2025·大同模拟)[多选]如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，过AB1且与BD1平行的平面交A1D1于点P，下列说法正确的是 (　　)
A.PA1=
B.PD1=
C.直线B1P与AD所成角的正切值为2
D.直线B1P与AD所成角的正切值为
解析：选AC　如图，利用补形思想，在正方体ABCD-A1B1C1D1的左侧补一个全等的正方体，并平移BD1到AM，则平面MAB1即为过AB1且与BD1平行的平面，平面交A1D1于点P，显然P为A1D1的中点，故A正确，B错误；由于直线B1P与AD所成的角为∠A1PB1，且∠PA1B1=90°，故正切值为2，故C正确，D错误.故选AC.
7.[多选]一个正四棱锥的平面展开图如图所示，其中E，F，M，N，Q分别为P2A，P1D，P4D，P4C，P3C的中点，关于该正四棱锥，下列四个结论正确的是 (　　)
A.直线AF与直线BQ是异面直线
B.直线BE与直线MN是异面直线
C.直线BQ与直线MN共面
D.直线BE与直线AF是异面直线
解析：选BCD　根据展开图，复原几何体，如图所示，因为F，M，N，Q分别为P1D，P4D，P4C，P3C的中点，所以FN∥CD，又AB∥CD，则FN∥AB，故F，N，A，B四点共面，故直线AF与直线BQ是共面直线，故A错误；E在过F，N，A，B四点的平面外，B和MN都在过F，N，A，B四点的平面内，故直线BE与直线MN是异面直线，故B正确；N，Q重合，故直线BQ与直线MN共面，故C正确；E在过F，N，A，B四点的平面外，B和AF都在过F，N，A，B四点的平面内，故直线BE与直线AF是异面直线，故D正确.故选BCD.
8.(2025·惠州模拟)[多选]如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为C1D1，B1C1的中点，O，M分别为BD，EF的中点，则下列说法正确的是 (　　)
A.四点B，D，E，F在同一平面内
B.三条直线BF，DE，CC1有公共点
C.直线A1C与直线OF不是异面直线
D.直线A1C上存在点N使M，N，O三点共线
解析：选ABD　如图，对于A，连接B1D1，因为BB1∥DD1，BB1=DD1，可知四边形BB1D1D为平行四边形，则B1D1∥BD，又因为E，F分别为C1D1，B1C1的中点，则B1D1∥EF，可得BD∥EF，所以四点B，D，E，F在同一平面内，故A正确；对于B，延长BF，DE交于点P，则P∈BF，P∈DE，又因为BF 平面BCC1B1，DE 平面DD1C1C，则P∈平面BCC1B1，P∈平面DD1C1C，且平面BCC1B1∩平面DD1C1C=CC1，所以P∈CC1，即三条直线BF，DE，CC1有公共点，故B正确；对于C，因为A1C 平面AA1C1C，OF∩平面AA1C1C=O，O A1C，所以直线A1C与直线OF是异面直线，故C错误；对于D，因为A1，O，C，C1，M均在平面AA1C1C内，连接OM，则OM与A1C相交，所以直线A1C上存在点N使M，N，O三点共线，故D正确.
9.已知a，b，c是不同直线，α是平面，若a∥b，b∩c=A，则直线a与直线c的位置关系是　　　　　　；若a⊥b，b⊥α，则直线a与平面α的位置关系是　　　　　　.
解析：a，b，c是不同直线，α是平面，
因为a∥b，b∩c=A，
所以直线a与直线c的位置关系是相交或异面.
因为a⊥b，b⊥α，
所以直线a与平面α的位置关系是a∥α或a α.
答案：相交或异面　a∥α或a α
10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O是底面ABCD的中心，过O点作一条直线l与A1D平行，设直线l与直线OC1的夹角为θ，则cos θ=　　　　.
解析：如图所示，设正方体的表面ABB1A1的中心为点P，容易证明OP∥A1D，所以直线l即为直线OP，∠POC1=θ或∠POC1=π-θ.设正方体的棱长为2，则OP=A1D=，OC1=，PC1=，则cos θ=|cos∠POC1|===.
答案：
11.(2025·南充一模)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为BC，CC1的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为　　　　.
解析：连接BC1，AD1，D1F，如图所示，因为E，F分别是BC，CC1的中点，所以EF∥BC1，在正方体中AD1∥BC1，所以EF∥AD1，所以A，D1，E，F在同一平面内，所以平面AEF截该正方体所得的截面为梯形EFD1A，因为正方体的棱长为2，所以EF=，AD1=2，D1F=AE==，则E到AD1的距离为等腰梯形EFD1A的高，为=，所以截面面积为×(2+)×=.
答案：
12.(2025·威海期末)在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD，AB=且最长的棱长为，E为棱AD的中点，则当三棱锥A-BCD的体积最大时，直线AC与BE所成角的余弦值为　　　　.
解析：因为BD⊥CD，所以BC>BD，所以AC=，又因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥BC，所以BC==，又BD2+CD2=10≥2BD·CD，当且仅当BD=CD时等号成立，所以V=×BD·CD×≤，当BD=CD=时取最大值，取DC的中点F，连接EF，FB，所以EF∥AC，所以∠BEF或其补角为直线AC与BE所成的角.因为BE=AD==，EF=AC=，BF==，所以cos∠BEF===-，即直线AC与BE所成角的余弦值为.
答案：
13.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求证：
(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线.
证明：(1)因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD.所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面.
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设A1A，CC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，则Q是α与β的公共点，所以α∩β=PQ.又A1C∩β=R，所以R∈A1C.所以R∈α，且R∈β，则R∈PQ，故P，Q，R三点共线.
14.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，C1D1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面A1B1C1D1相交于直线l.
(1)画出直线l的位置，并说明作图依据；
(2)正方体被平面DMN截成两部分，求较小部分几何体的体积.
解：(1)如图所示，直线NE即为所求.
依据如下：
延长DM交D1A1的延长线于E，连接NE，则NE即为直线l的位置.
∵DM∩D1A1=E，
∴E∈DM 平面DMN，E∈D1A1 平面A1B1C1D1，
∴E∈平面DMN∩平面A1B1C1D1，
又由题意显然有N∈平面DMN∩平面A1B1C1D1，
∴平面DMN∩平面A1B1C1D1=NE，则NE即为直线l的位置.(也可根据线面平行性质确定直线位置)
(2)设直线l与A1B1交于点P，连接MP，则P为A1B1的四等分点，正方体被平面DMN截成两部分，较小部分为三棱台A1PM-D1ND，
其体积为V=(++)·A1D1
=a·=a3.
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