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“2年高考1年模拟”课时精练（四十九） 空间向量及其应用
1.已知向量=(0，1，2)，=(-1，0，1)，=(2，1，λ)，若O，A，B，C共面，则在上的投影向量的模为 (　　)
A. B.
C. D.
2.(2025·南通模拟)若{a，b，c}和{a+b，b-c，m}都为基底，则m不可以为 (　　)
A.a B.c
C.a+c D.a-c
3.(2025·贵州模拟)已知点A，B，C，D分别位于四面体的四个侧面内，点O是空间任意一点，则“=++”是“A，B，C，D四点共面”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知平面α内有一个点A(2，-1，2)，α的一个法向量为n=(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是 (　　)
A.(1，-1，1) B.
C. D.
5.(2025·榆林模拟)如图所示的三棱锥A-BCD中，令=a，=b，=c，且M，G分别是BC，CD的中点，则+等于 (　　)
A.-a+b+c B.a+b+c
C.-a+b+c D.-a+b-c
6.如图，二面角α-l-β等于135°，A，B是棱l上两点，BD，AC分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB=AC=2，BD=，则CD= (　　)
A.2 B.2
C. D.4
7.(2025·杭州模拟)棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，A1D1的中点，M是DB上靠近B的四等分点，P在正方体内部或表面，·(+)=0，则||的最大值是 (　　)
A.1 B.
C. D.
8.[多选]如图，已知正方体ABCD-EFGH的棱长为2，M为棱CG的中点，P为底面EFGH上的动点，则 (　　)
A.存在点P，使得|AP|+|PM|=4
B.存在唯一点P，使得AP⊥PM
C.当AM⊥BP时，点P的轨迹长度为
D.当P为底面EFGH的中心时，三棱锥P-ABM的外接球体积为
9.已知直线l的方向向量是m=(1，a+2b，a-1)(a，b∈R)，平面α的一个法向量是n=(2，3，3).若l⊥α，则a+b=　　　　.
10.如图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形，E为棱AB的中点，==2，AC1与平面EFG交于点M，则=　　　　.
11.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=，O为BC的中点，M是棱B1C1上一动点，过O作ON⊥AM于点N，则线段MN长度的最小值为　　　　.
12.已知a=(1，-3，2)，b=(-2，1，1)，点A(-3，-1，4)，B(-2，-2，2).
(1)求|2a+b|；
(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b (O为原点)
13.中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进，企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人，更需要努力培育工人们执着专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神，这是传承工艺、革新技术的重要基石.如图所示的一块木料中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，点E，F分别是PC，AD的中点.
(1)求证：EF∥平面PAB；
(2)若要经过点B，E，F将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由.
14.(2024·泉州二模)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面是边长为2的菱形，PA=2，∠DAB=60°，点E，F，G分别为线段CD，PD，PB的中点.
(1)证明：EG∥平面PAD；
(2)求平面AFG与平面PBC夹角的余弦值；
(3)设直线PC与平面AFG的交点为Q，求四边形AFQG的面积.
（解析）精练（四十九） 空间向量及其应用
1.已知向量=(0，1，2)，=(-1，0，1)，=(2，1，λ)，若O，A，B，C共面，则在上的投影向量的模为 (　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　因为O，A，B，C共面，则存在实数x，y，使得=x+y，即(2，1，λ)=(-y，x，2x+y)，于是x=1，y=-2，λ=2x+y=0，=(2，1，0)，所以在上的投影向量的模为==.
2.(2025·南通模拟)若{a，b，c}和{a+b，b-c，m}都为基底，则m不可以为 (　　)
A.a B.c C.a+c D.a-c
解析：选C　若{a+b，b-c，m}不是一个基底，则可设m=λ(a+b)+μ(b-c)=λa+(λ+μ)b-μc(λ，μ∈R).
对于A，若m=a，则方程组无解，
∴{a+b，b-c，m}为基底，A错误；对于B，若m=c，则方程组无解，∴{a+b，b-c，m}为基底，B错误；对于C，若m=a+c，则
解得∴{a+b，b-c，m}不是一个基底，C正确；对于D，若m=a-c，则方程组无解，∴{a+b，b-c，m}为基底，D错误.
3.(2025·贵州模拟)已知点A，B，C，D分别位于四面体的四个侧面内，点O是空间任意一点，则“=++”是“A，B，C，D四点共面”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：选A　充分性：因为=++，且++=1，由空间向量共面定理可知，A，B，C，D四点共面，所以充分性成立.必要性：若A，B，C，D四点共面，=a·+b·+c·，则a+b+c=1，其中a=，b=，c=只是其中的一种情况，a，b，c也可以是其他和为1的取值，所以必要性不成立.综上所述，“=++”是“A，B，C，D四点共面”的充分不必要条件.
4.已知平面α内有一个点A(2，-1，2)，α的一个法向量为n=(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是 (　　)
A.(1，-1，1) B.
C. D.
解析：选B　对于选项A，=(1，0，1)，·n=5，所以与n不垂直，排除A；同理可排除C、D；对于选项B，有=，所以·n=0，因此B项正确.
5.(2025·榆林模拟)如图所示的三棱锥A-BCD中，令=a，=b，=c，且M，G分别是BC，CD的中点，则+等于 (　　)
A.-a+b+c B.a+b+c
C.-a+b+c D.-a+b-c
解析：选A　因为=a，=b，=c，所以=(a+b)，=(b+c)，所以=-=(b+c)-(a+b)=(c-a)，所以+=(c-a)+(b+c)=-a+b+c.
6.如图，二面角α-l-β等于135°，A，B是棱l上两点，BD，AC分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB=AC=2，BD=，则CD= (　　)
A.2 B.2
C. D.4
解析：选C　由二面角的平面角的定义知<>=135°，所以·=||||cos<>=×2×cos 135°=-2，由AC⊥l，BD⊥l，得·=0，·=0，又因为=++，所以||2=(++)2=+++2·+2·+2·=()2+22+22-2·=10-2×(-2)=14，所以||=，即CD=.故选C.
7.(2025·杭州模拟)棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，A1D1的中点，M是DB上靠近B的四等分点，P在正方体内部或表面，·(+)=0，则||的最大值是 (　　)
A.1 B.
C. D.
解析：选D　如图，建立空间直角坐标系，设P(x，y，z)，则D(0，0，0)，E，
F，M，
所以=，
=，
则+=，
因为·(+)=0，又=(x，y，z)，所以-x-y+z=0，即z=，
所以||2=x2+y2+z2=x2+y2+，又0≤x≤1，0≤y≤1，所以x2+y2+≤1+1+=3，当且仅当x=y=1，此时z=1时，等号成立，所以||的最大值是.
8.[多选]如图，已知正方体ABCD-EFGH的棱长为2，M为棱CG的中点，P为底面EFGH上的动点，则 (　　)
A.存在点P，使得|AP|+|PM|=4
B.存在唯一点P，使得AP⊥PM
C.当AM⊥BP时，点P的轨迹长度为
D.当P为底面EFGH的中心时，三棱锥P-ABM的外接球体积为
解析：选BCD　以D为坐标原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.A(2，0，0)，M(0，2，1)，设P点坐标为(x，y，2)(0≤x≤2，0≤y≤2)，=(x-2，y，2)，=(-x，2-y，-1).为求|AP|+|PM|的最小值，找出点A关于平面EFGH的对称点，设该点为A1，则A1点坐标为(2，0，4)，∴|AP|+|PM|≥|A1M|==>4，故A错误；由AP⊥PM可得·=0 x2-2x+y2-2y+2=0 (x-1)2+(y-1)2=0 x=y=1，故B正确；当AM⊥BP，即·=0时，由点P坐标为(x，y，2)，得-2(x-2)+2(y-2)+2=0 y=x-1，点P轨迹是连接棱EF中点与棱EH中点的线段，其长度为线段HF的一半，即轨迹长度为，故C正确；当P为底面EFGH的中心时，由B选项知AP⊥PM，易得AB⊥BM，∴三棱锥P-ABM的外接球球心为棱AM的中点，从而求得球半径为|AM|=，∴外接球的体积V=，故D正确.故选BCD.
9.已知直线l的方向向量是m=(1，a+2b，a-1)(a，b∈R)，平面α的一个法向量是n=(2，3，3).若l⊥α，则a+b=　　　　.
解析：由题意知m∥n，
∴==，解得a=，b=-，
∴a+b=2.
答案：2
10.如图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形，E为棱AB的中点，==2，AC1与平面EFG交于点M，则=　　　　.
解析：由题图知，设=λ(0<λ<1)，由已知=++=2+3+，所以=2λ+3λ+，因为M，E，F，G四点共面，所以2λ+3λ+=1，解得λ=.
答案：
11.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=，O为BC的中点，M是棱B1C1上一动点，过O作ON⊥AM于点N，则线段MN长度的最小值为　　　　.
解析：因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，O为BC的中点，取B1C1的中点Q，连接OQ，OA，OM，
如图，以O为原点，OC，OA，OQ所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则O(0，0，0)，A(0，，0)，B1(-1，0，)，C1(1，0，)，
因为M是棱B1C1上一动点，设M(a，0，)，且a∈[-1，1]，所以·=(a，0，)·(0，，0)=0，
则OA⊥OM.因为ON⊥AM，所以Rt△OMN∽Rt△AMO，所以=，即MN===，于是令t=，t∈[]，所以==t-，t∈[]，
又函数y=t-在t∈[]上单调递增，所以当t=时，=-=，
即线段MN长度的最小值为.
答案：
12.已知a=(1，-3，2)，b=(-2，1，1)，点A(-3，-1，4)，B(-2，-2，2).
(1)求|2a+b|；
(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b (O为原点)
解：(1)2a+b=(2，-6，4)+(-2，1，1)=(0，-5，5)，故|2a+b|==5.
(2)令=t(t∈R)，所以=+=+t=(-3，-1，4)+t(1，-1，-2)=(-3+t，-1-t，4-2t)，若⊥b，则·b=0，所以-2(-3+t)-1-t+4-2t=0，解得t=.因此存在点E，使得⊥b，此时E点的坐标为.
13.中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进，企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人，更需要努力培育工人们执着专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神，这是传承工艺、革新技术的重要基石.如图所示的一块木料中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，点E，F分别是PC，AD的中点.
(1)求证：EF∥平面PAB；
(2)若要经过点B，E，F将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由.
解：(1)证明：如图，取PB的中点M，连接AM，ME，
因为E是PC的中点，所以ME∥BC，ME=BC，
因为F是AD的中点，所以AF=AD，因为四边形ABCD是正方形，所以AD=BC，AD∥BC，
所以ME∥AF，ME=AF，
所以四边形AFEM为平行四边形，所以AM∥EF，
因为AM 平面PAB，EF 平面PAB，
所以EF∥平面PAB.
(2)因为PA⊥平面ABCD，AB，AD 平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD，
因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥AD，
所以AB，AD，AP两两垂直，以A为原点，以AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(1，1，1)，F(0，1，0)，所以=(-1，1，1)，=(-2，1，0)，=(0，2，-2)，
设平面BEF的法向量为n=(x，y，z)，
则
令x=1，则n=(1，2，-1)，设PD∩平面BEF=H，
设=λ=λ(0，2，-2)，(0<λ<1)，
因为P(0，0，2)，所以H(0，2λ，2-2λ)，
则=(-2，2λ，2-2λ)，
由·n=(-2，2λ，2-2λ)·(1，2，-1)=-2+4λ+2λ-2=0，解得λ=，
即H为PD的三等分点，
连接EH，FH，即EH，FH就是应画的线.
14.(2024·泉州二模)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面是边长为2的菱形，PA=2，∠DAB=60°，点E，F，G分别为线段CD，PD，PB的中点.
(1)证明：EG∥平面PAD；
(2)求平面AFG与平面PBC夹角的余弦值；
(3)设直线PC与平面AFG的交点为Q，求四边形AFQG的面积.
解：(1)证明：取线段AB的中点M，连接ME，MG，如图所示，
∵点E为线段CD的中点，∴ME∥AD，
又∵ME 平面PAD，AD 平面PAD，∴ME∥平面PAD，在△PAB中，∵点G为线段PB的中点，点M为线段AB的中点，∴MG∥PA，
又∵MG 平面PAD，AP 平面PAD，∴MG∥平面PAD，又ME∩MG=M，ME，MG 平面MEG，∴平面MEG∥平面PAD，
又EG 平面MEG，∴EG∥平面PAD.
(2)设平面AFG与平面PBC的夹角为θ，连接BD和AC交于点O，过点O作直线OH垂直于平面ABCD，
如图，
以O为坐标原点，以向量分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则
A(，0，0)，B(0，1，0)，C(-，0，0)，D(0，-1，0)，P(，0，2)，F，G，
所以===(-，-1，0)，=(，-1，2).
设平面AFG的法向量为n1=(x1，y1，z1)，则
取n1=(2，0，).
设平面PBC的法向量为n2=(x2，y2，z2)，则取n2=(1，-，-)，
则cos θ=|cos |=，即平面AFG与平面PBC夹角的余弦值为.
(3)设=λ=(2λ，0，2λ)，则Q(2λ-，0，2λ)，故=(2λ-2，0，2λ)，
依题意可得向量与共面，由平面向量基本定理可得，存在实数m，n，使得(2λ-2，0，2λ)=m+n，得故λ=，
故=，又=(0，1，0)，
因为·=0，所以⊥，又||=，||=1，故四边形AFQG的面积为||·||=.
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