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“2年高考1年模拟”课时精练（四十二） 数列求和
1.(2025·苏州模拟)已知等差数列的前n项和为Sn，且满足2a5=a2+14，S9=72.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足bn=求数列的前2n项和T2n.
2.设公比为正的等比数列{an}前n项和为Sn，S3=7a1，且a1，a3，20+a2成等差数列.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn=bn+1+bnbn+1log2an，b1=1，求数列{bn}的前n项和Tn.
3.已知数列的前n项和为Sn，数列为等差数列，a1=1，S7=28.
(1)求的通项公式；
(2)记bn=，其中表示不小于x的最小整数，如=2，=3，求数列的前2 023项和.
4.已知数列是正项等比数列，数列满足an=2log2bn-1.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若a4=7，b3=8，设数列和中的所有项按从小到大的顺序排列构成数列，记数列的前n项和为Sn，求S50.
5.(2024·杭州二模)欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，例如：φ(1)=1，φ(4)=2，φ(8)=4，数列{an}满足an=φ(2n)(n∈N*).
(1)求a1，a2，a3，并求数列{an}的通项公式；
(2)记bn=(-1)n，求数列{bn}的前n项和Sn.
（解析）精练（四十二） 数列求和
1.(2025·苏州模拟)已知等差数列的前n项和为Sn，且满足2a5=a2+14，S9=72.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足bn=求数列的前2n项和T2n.
解：(1)依题意，设数列的公差为d，
因为S9=72，所以=9a5=72，则a5=8.
因为2a5=a2+14，即16=a2+14，所以a2=2，
所以d===2，a1=a2-d=0，所以an=(n-1)×2，即an=2n-2.
(2)因为bn=
所以bn=
所以T2n=++…+ =(0+4+…+4n-4)+ =+=2n2-2n+.
2.设公比为正的等比数列{an}前n项和为Sn，S3=7a1，且a1，a3，20+a2成等差数列.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn=bn+1+bnbn+1log2an，b1=1，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)因为等比数列公比q>0，S3=7a1=a1+a1q+a1q2，a1≠0，
所以q2+q+1=7 (q-2)(q+3)=0，即q=2，
a1，a3，20+a2是等差数列，所以2a3=20+a2+a1 8a1=20+2a1+a1 a1=4，
所以an=4×2n-1=2n+1.
(2)因为bn=bn+1+bnbn+1log2an，所以bn=bn+1+bnbn+1log22n+1=bn+1+(n+1)bnbn+1，
所以-=n+1，故-=n，-=n-1，…，-=2，
利用累加法得出-=n+(n-1)+…+2=，
-1= == bn==2，
Tn=2=2=.
3.已知数列的前n项和为Sn，数列为等差数列，a1=1，S7=28.
(1)求的通项公式；
(2)记bn=，其中表示不小于x的最小整数，如=2，=3，求数列的前2 023项和.
解：(1)因为为等差数列，所以公差d==，所以=1+=，
即Sn=，
所以an=Sn-Sn-1=-=n，上式对n=1仍然成立，所以an=n.
(2)由题意可知
bn==
记的前n项和为Tn，则T2 023=0+9×1+90×2+900×3+1 023×4=6 981.
4.已知数列是正项等比数列，数列满足an=2log2bn-1.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若a4=7，b3=8，设数列和中的所有项按从小到大的顺序排列构成数列，记数列的前n项和为Sn，求S50.
解：(1)证明：设数列的公比为q，因为数列是正项等比数列，所以bn>0，q>0.
当n≥2时，an-an-1=(2log2bn-1)-(2log2bn-1-1)=2log2=2log2q为常数，
所以数列是等差数列.
(2)因为a4=7，b3=8，所以b4=16，a3=5，
所以q==2，b1==2，bn=b1qn-1=2n，
数列的公差d=a4-a3=2，a1=a3-2d=1，an=a1+d=2n-1.
因为a50=99∈=，a44=87∈=，所以S50=(a1+a2+…+a44)+(b1+b2+…+b6)=+=1 936+126=2 062.
5.(2024·杭州二模)欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，例如：φ(1)=1，φ(4)=2，φ(8)=4，数列{an}满足an=φ(2n)(n∈N*).
(1)求a1，a2，a3，并求数列{an}的通项公式；
(2)记bn=(-1)n，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)由题意可知a1=φ(2)=1，a2=φ(4)=2，a3=φ(8)=4，
由题意可知，正偶数与2n不互素，所有正奇数与2n互素，比2n小的正奇数有2n-1个，
所以an=φ(2n)=2n-1.
(2)由(1)知an=φ(2n)=2n-1，所以a2n=φ(22n)=22n-1，
所以bn=(-1)n=(-1)n=(-1)n(2n-1)=(4n-2) ，
所以Sn=b1+b2+…+bn=2×+6×+…+(4n-6)×+(4n-2)×，①
-Sn=2×+6×+…+(4n-6)×+(4n-2)× ，②
所以①-②得
Sn=2×+4-(4n-2)×=-+4×-(4n-2)×=-+-(4n-2)×=--，
所以Sn=-+.
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