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“2年高考1年模拟”课时精练（四十八） 空间直线、平面的垂直
1.(2025·东北师大附中模拟)如果直线l，m与平面α，β，γ满足l=β∩γ，l∥α，m α和m⊥γ，那么必有 (　　)
A.l⊥m B.m∥β
C.m⊥β D.l∥m
2.(2025·万州模拟)[多选]已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法错误的是 (　　)
A.若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
B.若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n
C.若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥β
D.若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β
3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=1，AD=2，则直线A1C与平面ABCD所成角的正弦值为 (　　)
A. B.
C. D.
4.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在 (　　)
A.直线AC上 B.直线BC上
C.直线AB上 D.△ABC内部
5.(2025·贵港模拟)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD是矩形，且AD=2AB，点E是棱BC上的动点(包括端点)，则满足PE⊥DE的点E有 (　　)
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
6.(2025·杭州模拟)[多选]如图，在三棱锥P-EDF的平面展开图中，E，F分别是AB，BC的中点，正方形ABCD的边长为2，则下列说法正确的是 (　　)
A.△PEF的面积为
B.PD⊥EF
C.平面PEF⊥平面DEF
D.三棱锥P-EDF的体积为
7.(2025·合肥一模)[多选]如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题正确的是 (　　)
A.直线BC与平面ABC1D1所成的角等于
B.四棱锥C-ABC1D1的体积为
C.两条异面直线D1C和BC1所成的角为
D.二面角C-BC1-D的平面角的余弦值为-
8.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BB1=BC=AC=6，A1B1=4，点D是AB的中点，点E是平面AA1C1C的中心，则点E到平面B1CD的距离为 (　　)
A. B.
C. D.
9.已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，l⊥α，m β，下列四个命题：①α∥β l⊥m；②α⊥β l∥m；③l⊥m α∥β；④l∥m α⊥β.其中正确的命题是　　　.(写出所有正确命题的序号)
10.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件　　　　时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况).
11.在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角V-AB-C的大小为　　　　.
12.(2025·延安一模)已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，E是BD的中点，F是侧面BB1C1C内(含边界)的动点，若D1E⊥EF，则EF的最小值为　　　　　.
13.(2024·全国甲卷)如图，已知AB∥CD，CD∥EF，AB=DE=EF=CF=2，CD=4，AD=BC=，AE=2，M为CD的中点.
(1)证明：EM∥平面BCF；
(2)求点M到平面ADE的距离.
14.(2025·丽水模拟)如图，在三棱台ABC-DEF中，∠BAC=60°，∠ACF=∠BCF=120°，BC=CF=AF=1.
(1)证明：CF⊥DE；
(2)求直线DF与平面ABF所成角的正弦值；
(3)当点C到平面ABED的距离最大时，求三棱台ABC-DEF的体积.
（解析）精练（四十八） 空间直线、平面的垂直
1.(2025·东北师大附中模拟)如果直线l，m与平面α，β，γ满足l=β∩γ，l∥α，m α和m⊥γ，那么必有 (　　)
A.l⊥m B.m∥β
C.m⊥β D.l∥m
解析：选A　∵m⊥γ，且l γ，∴l⊥m，A正确，D错误.直线m和平面β没有确定关系.
2.(2025·万州模拟)[多选]已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法错误的是 (　　)
A.若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
B.若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n
C.若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥β
D.若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β
解析：选ABC　由题意，A项，设α∩β=l，因为m∥α，则m∥l，又n∥β，则n∥l，所以m∥n，A错误；B项，设m⊥α且m β，n⊥β且n α，此时m⊥n，B错误；C项，当m∥α，n⊥β，m⊥n时，α可能垂直于β，C错误；D项，当m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β，D正确.故选ABC.
3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=1，AD=2，则直线A1C与平面ABCD所成角的正弦值为 (　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　如图，连接AC，根据长方体性质知AA1⊥平面ABCD，故∠ACA1为A1C与平面ABCD所成的角，且AB=AA1=1，AD=2，所以CA1==，所以sin∠ACA1==.
4.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在 (　　)
A.直线AC上 B.直线BC上
C.直线AB上 D.△ABC内部
解析：选C　连接AC1，如图所示.
∵∠BAC=90°，∴AB⊥AC.又BC1⊥AC，AB∩BC1=B，AB，BC1 平面ABC1，∴AC⊥平面ABC1.又AC 平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.又平面ABC1∩平面ABC=AB，∴点C1在底面ABC上的射影H必在直线AB上.故选C.
5.(2025·贵港模拟)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD是矩形，且AD=2AB，点E是棱BC上的动点(包括端点)，则满足PE⊥DE的点E有 (　　)
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
解析：选B　如图，连接AE.由已知可得PE⊥DE，PA⊥DE，又PA∩PE=P，所以DE⊥平面PAE，所以DE⊥AE，所以点E在以AD为直径的圆上，又由几何关系可知以AD为直径的圆与直线BC相切，故满足条件的点E只有1个.
6.(2025·杭州模拟)[多选]如图，在三棱锥P-EDF的平面展开图中，E，F分别是AB，BC的中点，正方形ABCD的边长为2，则下列说法正确的是 (　　)
A.△PEF的面积为
B.PD⊥EF
C.平面PEF⊥平面DEF
D.三棱锥P-EDF的体积为
解析：选ABD　易知S△BEF=S△PEF=BE·BF=，故A正确；连接BD交EF于G，根据正方形的性质易知EF⊥BD，所以有EF⊥GD，EF⊥GP，又PG∩GD=G，PG，GD 平面PGD，所以EF⊥平面GPD，又PD 平面GPD，所以EF⊥PD，故B正确；由上可知∠PGD为平面PEF与平面DEF的夹角，易知PG=，DG=，PD=2≠，则PG，DG不垂直，故C错误；由题意可知PD，PE，PF两两垂直，则VP-EDF=·PD··PE·PF=，故D正确.
7.(2025·合肥一模)[多选]如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题正确的是 (　　)
A.直线BC与平面ABC1D1所成的角等于
B.四棱锥C-ABC1D1的体积为
C.两条异面直线D1C和BC1所成的角为
D.二面角C-BC1-D的平面角的余弦值为-
解析：选ABC　如图，取BC1的中点H，连接CH，则CH⊥BC1，而AB⊥平面BCC1B1，CH 平面BCC1B1，得CH⊥AB，又AB∩BC1=B，AB，BC1 平面ABC1D1，则CH⊥平面ABC1D1，所以∠C1BC是直线BC与平面ABC1D1所成的角为，故A正确；点C到平面ABC1D1的距离为CH的长度为，则=AB·BC1·CH=×1××=，故B正确；易证BC1∥AD1，所以异面直线D1C和BC1所成的角为∠AD1C或其补角，因为△ACD1为等边三角形，所以两条异面直线D1C和BC1所成的角为，故C正确；连接DH，由BD=DC1，所以DH⊥BC1，又CH⊥BC1，所以∠CHD为二面角C-BC1-D的平面角，易求得DH=，又CD=1，CH=，由余弦定理可得cos∠CHD==，故D错误.
8.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BB1=BC=AC=6，A1B1=4，点D是AB的中点，点E是平面AA1C1C的中心，则点E到平面B1CD的距离为 (　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　如图所示，连接AC1，则点E在AC1上，再连接BC1交B1C于点F，则F为B1C的中点，连接DF，AB1，因为D为AB的中点，可得AC1∥DF，因为AC1 平面B1CD，DF 平面B1CD，所以AC1∥平面B1CD，所以点E到平面B1CD的距离等于点A到平面B1CD的距离，设点E到平面B1CD的距离为d，由=，即··d=·S△ACD·BB1，由CD==4，可得S△ACD=AD·CD=4，又由B1D==2，B1C=6，所以CD2+B1D2=B1C2，所以△B1CD为直角三角形，所以=8，所以d===，即点E到平面B1CD的距离为.故选C.
9.已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，l⊥α，m β，下列四个命题：①α∥β l⊥m；②α⊥β l∥m；③l⊥m α∥β；④l∥m α⊥β.其中正确的命题是　　　.(写出所有正确命题的序号)
解析：因为α∥β，l⊥α，所以l⊥β，m β，所以l⊥m，①正确；因为α⊥β，l⊥α，则l∥β或l β，所以l，m可能平行、相交或异面，②错误；l⊥m，l⊥α，m β，则α，β相交或平行，③错误；l∥m，l⊥α，则m⊥α，又m β，所以α⊥β，④正确.
答案：①④
10.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件　　　　时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况).
解析：如图，连接A1C1，由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1可得CC1⊥平面A1B1C1D1，因为B1D1 平面A1B1C1D1，故CC1⊥B1D1，当A1C1⊥B1D1时，因为CC1∩A1C1=C1，故B1D1⊥平面A1C1C，而A1C 平面A1C1C，故A1C⊥B1D1.
答案：A1C1⊥B1D1
11.在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角V-AB-C的大小为　　　　.
解析：如图，作VO⊥平面ABCD，垂足为O，则VO⊥AB.取AB的中点H，连接VH，OH，则VH⊥AB.因为VH∩VO=V，所以AB⊥平面VHO，所以AB⊥OH，所以∠VHO为二面角V-AB-C的平面角.易求VH2=VA2-AH2=4，所以VH=2.而OH=BC=1，所以∠VHO=60°.故二面角V-AB-C的大小是60°.
答案：60°
12.(2025·延安一模)已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，E是BD的中点，F是侧面BB1C1C内(含边界)的动点，若D1E⊥EF，则EF的最小值为　　　　　.
解析：如图，取BB1的中点M，连接MC，EC，EM，BD，
在Rt△EBM，Rt△D1DE中，====，所以Rt△D1DE∽Rt△EBM，
故∠DD1E=∠BEM，所以D1E⊥EM，
又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，EC 平面ABCD，所以EC⊥BB1，又EC⊥BD，BB1∩BD=B，BB1，BD 平面BB1D1D，
所以EC⊥平面BB1D1D，D1E 平面BB1D1D，所以EC⊥D1E，
又EM∩EC=E，EC，EM 平面EMC，则D1E⊥平面EMC，即F点的轨迹是线段MC，
在Rt△MEC中，EM==，
EC=BD=，MC==，
当EF⊥MC时，EF最小，
此时EF==，
即EF的最小值为.
答案：
13.(2024·全国甲卷)如图，已知AB∥CD，CD∥EF，AB=DE=EF=CF=2，CD=4，AD=BC=，AE=2，M为CD的中点.
(1)证明：EM∥平面BCF；
(2)求点M到平面ADE的距离.
解：(1)证明：由题意，得EF∥MC，且EF=MC，所以四边形EFCM是平行四边形，所以EM∥CF.
又CF 平面BCF，EM 平面BCF，所以EM∥平面BCF.
(2)取DM的中点O，连接OA，OE，因为AB∥MC，且AB=MC，所以四边形AMCB是平行四边形，所以AM=BC=.
又AD=，故△ADM是等腰三角形，同理△EDM是等边三角形.
所以OA⊥DM，OE⊥DM，OA==3，OE==.
又AE=2，所以OA2+OE2=AE2，
故OA⊥OE.
又OA⊥DM，OE∩DM=O，OE，DM 平面EDM，
所以OA⊥平面EDM.
易知S△EDM=×2×=.
在△ADE中，cos∠DEA==，
所以sin∠DEA=，S△ADE=×2×2×=.
设点M到平面ADE的距离为d，由VM-ADE=VA-EDM，得S△ADE·d=S△EDM·OA，得d=，
故点M到平面ADE的距离为.
14.(2025·丽水模拟)如图，在三棱台ABC-DEF中，∠BAC=60°，∠ACF=∠BCF=120°，BC=CF=AF=1.
(1)证明：CF⊥DE；
(2)求直线DF与平面ABF所成角的正弦值；
(3)当点C到平面ABED的距离最大时，求三棱台ABC-DEF的体积.
解：(1)证明：在△ACF中，由正弦定理，得=，解得sin∠CAF=，
由于∠CAF为锐角，故∠CAF=30°，故∠CFA=30°，所以CA=1，
由∠BAC=60°，所以AB=AC=1，
又∠ACF=∠BCF=120°，BC=1，所以BF==，所以BF=AF=，
取AB的中点O，连接OF，OC，则AB⊥OF，AB⊥OC，又OF∩OC=O，OF，OC 平面OCF，
故AB⊥平面OCF，又CF 平面OCF，故AB⊥CF，由三棱台的性质可知AB∥DE，所以DE⊥CF.
(2)由三棱台的性质可知AC∥DF，所以直线DF与平面ABF所成的角即为直线AC与平面ABF所成的角.
由AB⊥平面OCF，AB 平面ABF，可知平面ABF⊥平面OCF，且两平面的交线为OF，作CG⊥OF，连接AG，则∠CAG即为直线AC与平面ABF所成的角.
在△OCF中，OC=AB=，OF===，由余弦定理，得cos∠COF==，
故sin∠COF=，CG=OC·sin∠COF=，
所以sin∠CAG==，故直线DF与平面ABF所成角的正弦值为.
(3)取DE的中点H，连接OH，HF，易知OH⊥AB，OC⊥AB，又OH∩OC=O，OH，OC 平面OHFC，
故AB⊥平面OHFC，又AB 平面ABED，所以平面OHFC⊥平面ABED，
故OC⊥平面ABED时，C到平面ABED的距离最大.
在△OCF中，cos∠OCF==-，HF=OC+CFcos∠CFH=，
DE==，OH=CFsin∠CFH=，OH⊥AB，OH⊥OC，AB∩OC=O，AB，OC 平面ABC，
故OH⊥平面ABC，
故S△ABC=，S△DEF=，VABC-DEF=.
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