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“2年高考1年模拟”课时精练（四） 基本不等式
1.已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是 (　　)
A.a+b≥2 B.+≥2
C.≥2 D.a2+b2>2ab
2.已知正数a，b满足a2+b2=13，则a的最大值为 (　　)
A.6 B.8
C.4 D.11
3.已知命题p： x∈R，ex+e-x≥2，命题q： x∈(0，10)， >5，则 (　　)
A.命题p与q均为真命题
B.命题p与 q均为真命题
C.命题 p与q均为真命题
D.命题 p与 q均为真命题
4.若对x>0，y>0，有(x+2y)·≥m恒成立，则m的取值范围是 (　　)
A.(-∞，4] B.(4，+∞)
C.(-∞，0) D.(-∞，8]
5.(2024·北京通州三模)已知a>0，b>0，则“a2+b2>2”是“a+b>2”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.设x>0，则函数y=-的最小值为 (　　)
A.0 B.
C.-1 D.
7.[多选]已知a>0，b>0，且a+b=ab，则 (　　)
A.(a-1)(b-1)=1 　B.ab的最大值为4
C.a+4b的最小值为9 　D.+的最小值为
8.已知x，y为正实数，则+的最小值为 (　　)
A.4 B.5
C.6 D.8
9.设函数f(x)=4x-2x，若 x∈(-∞，3]，使得f(x)A.(2-1，3) B.(2-1，4)
C.(，+∞) D.(2-1，+∞)
10.(2022·新课标Ⅱ卷)[多选]若x，y满足x2+y2-xy=1，则 (　　)
A.x+y≤1 B.x+y≥-2
C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1
11.若a>0，b>0，lg a+lg b=lg，则2ab的最小值为　　　　　.
12.若a，b∈(0，+∞)，a+b= b，则b的最小值为　　　　.
13.已知x，y均为正数，x+2y=a，若xy的最大值为b，且1≤b≤2，则满足条件的一个实数a的值为　　　　　.
14.已知x>0，y>0，x+2y+xy=30，求：
(1)xy的最大值；
(2)2x+y的最小值.
(2)由x+2y+xy=30可知，y=>0，015.某厂家拟在2025年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=8-(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是4万件.已知生产该产品的固定投入为24万元，每生产一万件该产品需要再投入18万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍.
(1)计算k的值为多少，并将2025年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2025年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大 最大利润是多少
（解析）精练（四） 基本不等式
1.已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是 (　　)
A.a+b≥2 B.+≥2
C.≥2 D.a2+b2>2ab
解析：选C　因为和同号，所以=+≥2=2.
2.已知正数a，b满足a2+b2=13，则a的最大值为 (　　)
A.6 B.8
C.4 D.11
解析：选B　∵a2+b2=13，∴a≤=8，当且仅当a=时等号成立.
3.已知命题p： x∈R，ex+e-x≥2，命题q： x∈(0，10)， >5，则 (　　)
A.命题p与q均为真命题
B.命题p与 q均为真命题
C.命题 p与q均为真命题
D.命题 p与 q均为真命题
解析：选B　因为ex>0，所以ex+e-x≥2=2，当且仅当x=0时取等号，所以命题p为真命题，则 p为假命题.因为≤=5，当且仅当x=5时取等号，所以命题q为假命题，则 q为真命题.
4.若对x>0，y>0，有(x+2y)·≥m恒成立，则m的取值范围是 (　　)
A.(-∞，4] B.(4，+∞)
C.(-∞，0) D.(-∞，8]
解析：选D　因为x>0，y>0，所以(x+2y)·=2+++2≥4+2=8，当且仅当2y=x时取等号，所以m≤8，故选D.
5.(2024·北京通州三模)已知a>0，b>0，则“a2+b2>2”是“a+b>2”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：选B　不妨设a=1.5，b=0.4，此时满足a2+b2=2.25+0.16>2，但不满足a+b>2，充分性不成立.a+b>2两边平方得a2+2ab+b2>4，由基本不等式得2ab≤a2+b2，当且仅当a=b时，等号成立，故a2+b2>4-2ab≥4-(a2+b2)，解得a2+b2>2，必要性成立，故“a2+b2>2”是“a+b>2”的必要不充分条件.故选B.
6.设x>0，则函数y=-的最小值为 (　　)
A.0 B.
C.-1 D.
解析：选C　设2x+1=t，t>1，则x=，y=-=-=+-3≥2-3=-1，当且仅当=，即t=2，x=时等号成立.故选C.
7.[多选]已知a>0，b>0，且a+b=ab，则 (　　)
A.(a-1)(b-1)=1 　B.ab的最大值为4
C.a+4b的最小值为9 　D.+的最小值为
解析：选ACD　由a+b=ab，得a(b-1)-b+1=1，即(a-1)(b-1)=1，故A正确；ab=a+b≥2，当且仅当a=b=2时取等号，解得ab≥4，故B错误；由a+b=ab变形可得+=1，所以a+4b=(a+4b)=5++≥5+2=9，当且仅当a=2b且a+b=ab，即a=3，b=时取等号，故C正确；由a+b=ab，得a=，b>1，所以+=+=-+1=3+，因为<1，所以=，即b=3，a=时，+取最小值，故D正确.故选ACD.
8.已知x，y为正实数，则+的最小值为 (　　)
A.4 B.5
C.6 D.8
解析：选C　由题得+=+，设=t(t>0)，则f(t)=t+=t+2+-2≥2-2=8-2=6，当且仅当t=2，即y=2x时取等号.所以+的最小值为6.故选C.
9.设函数f(x)=4x-2x，若 x∈(-∞，3]，使得f(x)A.(2-1，3) B.(2-1，4)
C.(，+∞) D.(2-1，+∞)
解析：选D　因为f(x)2x+3·-1，所以原问题等价于 x∈(-∞，3]，使得m>2x+3·2-x-1成立，则当x∈(-∞，3]时，m>(2x+3·2-x-1)min.设h(x)=2x+3·2-x-1，x∈(-∞，3]，令t=2x，则t∈(0，8]，设p(t)=t+-1，t∈(0，8]，则p(t)≥2-1，当且仅当t=时取等号，所以当2x=时，h(x)取得最小值2-1.故m的取值范围是(2-1，+∞).
10.(2022·新课标Ⅱ卷)[多选]若x，y满足x2+y2-xy=1，则 (　　)
A.x+y≤1 B.x+y≥-2
C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1
解析：选BC　对于A、B，由x2+y2-xy=1，得(x+y)2-1=3xy≤3，解得-2≤x+y≤2，所以A不正确，B正确；对于C、D，由x2+y2-xy=1，得x2+y2-1=xy≤，当且仅当x=y时取等号，所以x2+y2≤2，所以C正确，D不正确.故选BC.
11.若a>0，b>0，lg a+lg b=lg，则2ab的最小值为　　　　　.
解析：∵lg a+lg b=lg ab=lg(a+b)，∴ab=a+b≥2，当且仅当a=b=2时取等号，∴ab≥4，从而2ab≥8，即2ab的最小值是8.
答案：8
12.若a，b∈(0，+∞)，a+b= b，则b的最小值为　　　　.
解析：因为a，b∈(0，+∞)，所以a+b≥2=2(，当且仅当a=b，即a=时等号成立.因为a+b=b，所以b≥2(，所以b≥16，当且仅当a=4时，b的最小值为16.
答案：16
13.已知x，y均为正数，x+2y=a，若xy的最大值为b，且1≤b≤2，则满足条件的一个实数a的值为　　　　　.
解析：因为x+2y=a≥2，所以xy≤，所以1≤b=≤2，所以8≤a2≤16.又易知a>0，所以2≤a≤4.
答案：4(答案不唯一)
14.已知x>0，y>0，x+2y+xy=30，求：
(1)xy的最大值；
(2)2x+y的最小值.
解：(1)因为x>0，y>0，根据基本不等式，30=x+2y+xy≥2+xy(当且仅当x=2y=6时取等号)，令=t(t>0)，则t2+2t-30≤0，解得-5≤t≤3，又t>0，所以0(2)由x+2y+xy=30可知，y=>0，015.某厂家拟在2025年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=8-(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是4万件.已知生产该产品的固定投入为24万元，每生产一万件该产品需要再投入18万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍.
(1)计算k的值为多少，并将2025年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2025年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大 最大利润是多少
解：(1)依题意，当m=0时，x=8-k=4，得k=4，则x=8->0，所以y=×1.5x-(24+18x)-m=12+9x-m=12+72--m=84--m，其中m≥0，所以k=4，y=84--m(m≥0).
(2)y=85-≤85-2=73，当且仅当m=5时取等号，所以该厂家2025年的促销费用投入5万元时，厂家的利润最大，最大利润为73万元.
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