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“2年高考1年模拟”课时精练（十三） 对数与对数函数
1.函数y=loga(x-4)+2(a>0且a≠1)恒过定点 (　　)
A.(4，2) B.(4，0)
C.(5，0) D.(5，2)
2.计算：(log312-2log32)= (　　)
A.0 B.1
C.2 D.4
3.(2025·周口模拟)已知a=3log32，b=log25，c=，则 (　　)
A.cC.a4.已知log2a+log2b=0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)=与g(x)=logbx的图象可能是 (　　)
5.若函数f(x)=log2(2mx+5-m2)在[2，+∞)上单调递增，则实数m的取值范围为 (　　)
A.(-5，1) B.(-1，0)
C.(-1，5) D.(0，5)
6.(2025·商丘模拟)已知正数a，b，c∈(1，+∞)，满足=2+log2a，=3+log3b，=4+log4c，则下列不等式成立的是 (　　)
A.cC.a7.[多选]已知lg x+loy=1，则 (　　)
A.lg x2+loy2=2
B.x=10
C.lg(10x)+lo(10y)=4
D.当x>1，y>1时，logx10+logy的最小值为4
8.[多选]已知函数f(x)=|loga(x+1)|(a>1)，下列说法正确的是 (　　)
A.函数f(x)的图象恒过定点(0，0)
B.函数f(x)在区间(0，+∞)上单调递减
C.函数f(x)在区间上的最小值为0
D.若对任意x∈[1，2]，f(x)≥1恒成立，则实数a的取值范围是(1，2]
9.[(-5)4=　 　　，log43·lo=　　 　.
10.已知实数a，b满足a=107-a，lg b=104-lg b-3，则ab=　　　　.
11.函数f(x)=log2·lo(2x)的最小值为　　　　.
12.(2025·盐城阶段练习)已知函数f(x)=loga(9-ax)，g(x)=loga(x2-ax)(a>0且a≠1)，若对任意x1∈[1，2]，存在x2∈[3，4]，使得f(x1)≥g(x2)恒成立，则实数a的取值范围为　　　　　.
13.(2025·镇江检测)已知函数f(x)=(log2x-2).
(1)当x∈[2，4]时，求该函数的取值范围；
(2)若f(x)≥mlog4x对任意x∈[4，16]恒成立，求实数m的取值范围.
14.已知函数f(x)=loga(1-x)-loga(b+x)+m(a>0且a≠1)为奇函数.
(1)求函数f(x)的定义域及解析式；
(2)若x∈，函数f(x)的最大值比最小值大2，求a的值.
15.已知a∈R，函数f(x)=log2.
(1)若f(2)=-3，求实数a的值；
(2)若关于x的方程f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围；
(3)设a>0，若对任意t∈，函数f(x)在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求实数a的取值范围.
（解析）精练（十三） 对数与对数函数
1.函数y=loga(x-4)+2(a>0且a≠1)恒过定点 (　　)
A.(4，2) B.(4，0)
C.(5，0) D.(5，2)
解析：选D　由于loga1=0(a>0且a≠1)，则函数y=loga(x-4)+2(a>0且a≠1)恒过定点(5，2).
2.计算：(log312-2log32)= (　　)
A.0 B.1
C.2 D.4
解析：选B　因为log64+log63=log6=1，log312-2log32=log3=1，所以·(log312-2log32)=1.
3.(2025·周口模拟)已知a=3log32，b=log25，c=，则 (　　)
A.cC.a解析：选A　a=3log32=log38，由对数函数y=log3x的图象与性质知1=log33log24=2，∴b>2.由指数函数y=的图象与性质知0<<=1，∴04.已知log2a+log2b=0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)=与g(x)=logbx的图象可能是 (　　)
解析：选B　log2a+log2b=0，即为log2ab=0，即有ab=1.当a>1时，01，函数f(x)=与g(x)=logbx均单调递增，排除A、C、D，在同一坐标系中的图象只能是B.
5.若函数f(x)=log2(2mx+5-m2)在[2，+∞)上单调递增，则实数m的取值范围为 (　　)
A.(-5，1) B.(-1，0)
C.(-1，5) D.(0，5)
解析：选D　因为函数f(x)=log2(2mx+5-m2)在[2，+∞)上单调递增，所以u=2mx+5-m2在[2，+∞)上单调递增，且u=2mx+5-m2>0在[2，+∞)恒成立，所以解得06.(2025·商丘模拟)已知正数a，b，c∈(1，+∞)，满足=2+log2a，=3+log3b，=4+log4c，则下列不等式成立的是 (　　)
A.cC.a解析：选B　由=2+log2a，得=log2a，由=3+log3b，得=log3b，由=4+log4c，得=log4c，考虑y=(x>1)和y=logmx(m=2，3，4)的图象相交，在同一平面直角坐标系中画出y=log2x，y=log3x，y=log4x与y=(x>1)的图象如图所示.
根据图象可知a7.[多选]已知lg x+loy=1，则 (　　)
A.lg x2+loy2=2
B.x=10
C.lg(10x)+lo(10y)=4
D.当x>1，y>1时，logx10+logy的最小值为4
解析：选ACD　由题可知x>0，y>0，则lg x2+loy2=2lg x+2loy=2，A正确；由lg x+loy=1，得lg x+loy=lg x+lg y2=lg(xy2)=1，所以xy2=10，B错误；lg(10x)+lo(10y)=lg 10+lg x+lo10+loy=1+2+lg x+loy=3+1=4，C正确；当x>1，y>1时，lg x>0，loy>0，则logx10+logy=+=(lg x+loy)=2++≥2+2=4，当且仅当x=y2=时，等号成立，所以logx10+logy的最小值为4，D正确.故选ACD.
8.[多选]已知函数f(x)=|loga(x+1)|(a>1)，下列说法正确的是 (　　)
A.函数f(x)的图象恒过定点(0，0)
B.函数f(x)在区间(0，+∞)上单调递减
C.函数f(x)在区间上的最小值为0
D.若对任意x∈[1，2]，f(x)≥1恒成立，则实数a的取值范围是(1，2]
解析：选ACD　将(0，0)代入函数f(x)=|loga(x+1)|(a>1)，成立，故A正确；当x∈(0，+∞)时，x+1∈(1，+∞)，又a>1，所以f(x)=|loga(x+1)|=loga(x+1)，由复合函数单调性可知，当x∈(0，+∞)时，f(x)单调递增，故B错误；当x∈时，x+1∈，所以f(x)=|loga(x+1)|≥loga1=0，故C正确；当x∈[1，2]时，f(x)=|loga(x+1)|=loga(x+1)≥1恒成立，所以由函数单调递增知loga2≥1，解得19.[(-5)4=　 　　，log43·lo=　　 　.
解析：[(-5)4=(54==5；
log43·lo=·=·=.
答案：5　
10.已知实数a，b满足a=107-a，lg b=104-lg b-3，则ab=　　　　.
解析：因为a=107-a，即lg a=7-a，所以a是方程lg x=7-x的根.又因为lg b=104-lg b-3，即104-lg b=7-(4-lg b)，所以4-lg b是方程10x=7-x的根.又因为y=lg x与y=10x互为反函数，其图象关于y=x对称，且直线y=x与y=7-x的交点的横坐标为，直线y=7-x与y=x垂直，所以= a+4-lg b=7.又因为lg a=7-a，所以7-lg a+4-lg b=7 lg(ab)=4 ab=104.
答案：104
11.函数f(x)=log2·lo(2x)的最小值为　　　　.
解析：依题意得f(x)=log2x·(2+2log2x)=(log2x)2+log2x=-≥-，当且仅当log2x=-，即x=时等号成立，所以函数f(x)的最小值为-.
答案：-
12.(2025·盐城阶段练习)已知函数f(x)=loga(9-ax)，g(x)=loga(x2-ax)(a>0且a≠1)，若对任意x1∈[1，2]，存在x2∈[3，4]，使得f(x1)≥g(x2)恒成立，则实数a的取值范围为　　　　　.
解析：根据题意可得只需f(x1)min≥g(x2)min即可，由题可知a为对数底数且9-a2>0 0答案：(0，1)∪(1，3)
13.(2025·镇江检测)已知函数f(x)=(log2x-2).
(1)当x∈[2，4]时，求该函数的取值范围；
(2)若f(x)≥mlog4x对任意x∈[4，16]恒成立，求实数m的取值范围.
解：(1)f(x)=(2log4x-2)，令t=log4x，因为x∈[2，4]，所以t∈， 所以y=(2t-2)=2t2-3t+1=2-.因为t∈，所以y∈，所以当x∈[2，4]时，该函数的取值范围为.
(2)令t=log4x，则f(x)≥mlog4x对任意x∈[4，16]恒成立，即2t2-3t+1≥mt对任意t∈[1，2]恒成立，所以m≤2t+-3对任意t∈[1，2]恒成立.由对勾函数的单调性可知，g(t)=2t+-3在[1，2]上单调递增，所以m≤g(1)=0.故实数m的取值范围为(-∞，0].
14.已知函数f(x)=loga(1-x)-loga(b+x)+m(a>0且a≠1)为奇函数.
(1)求函数f(x)的定义域及解析式；
(2)若x∈，函数f(x)的最大值比最小值大2，求a的值.
解：(1)要使函数f(x)有意义，则可得-b因为f(x)为奇函数，所以-b+1=0，即b=1，所以f(x)的定义域为(-1，1).
由f(0)=0可得m=0，所以f(x)=loga(1-x)-loga(1+x)，此时f(-x)=loga(1+x)-loga(1-x)=-f(x)，f(x)是奇函数，符合题意.
(2)f(x)=loga(1-x)-loga(1+x)=loga=loga，
①当a>1时，函数y=f(x)单调递减，
所以f(x)max=f=loga -loga =loga 3，
f(x)min=f=loga -loga =loga ，
所以f(x)max-f(x)min=loga 3-loga =loga 9=2，解得a=3.
②当0所以f(x)max=f=loga -loga =loga，f(x)min=f=loga -loga =loga 3，
所以f(x)max-f(x)min=loga -loga 3=loga =2，解得a=.综上，a=或a=3.
15.已知a∈R，函数f(x)=log2.
(1)若f(2)=-3，求实数a的值；
(2)若关于x的方程f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围；
(3)设a>0，若对任意t∈，函数f(x)在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求实数a的取值范围.
解：(1)∵f(2)=-3，∴log2=-3=log2 ，∴+a=，解得a=-.
(2)由f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0得log2-log2[(a-4)x+2a-5]=0.
即log2=log2[(a-4)x+2a-5]，
即+a=(a-4)x+2a-5>0①，则(a-4)x2+(a-5)x-1=0，即(x+1)·[(a-4)x-1]=0②，当a=4时，方程②的解为x=-1，代入①，成立；当a=3时，方程②的解为x=-1，代入①，成立；当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=-1或x=，若x=-1是方程①的解，则-1+a=a-1>0，即a>1，若x=是方程①的解，则a-4+a=2a-4>0，即a>2，要使方程①有且仅有一个解，则1(3)函数f(x)在区间[t，t+1]上单调递减，由题意得f(t)-f(t+1)≤1，即log2-log2≤1，即+a≤2，即a≥-=.设1-t=r，则0≤r≤==，当r=0时，=0，当06 / 6

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