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“2年高考1年模拟”课时精练（十七） 函数的模型及其应用
1.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是 (　　)
x 1.992 3 4 5.15 6.126
y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01
A.y=2x-2 B.y=(x2-1)
C.y=log2x D.y=lox
2.地震发生时会释放大量的能量，这些能量是造成地震灾害的元凶.研究表明地震释放的能量E(单位：焦耳)的常用对数与震级M之间满足线性关系，若4级地震所释放的能量为6.3×1010焦耳，6级地震所释放的能量为6.3×1013焦耳，则平原县发生的5.5级地震所释放的能量约为(参考数据：lg 6.3≈0.8，100.05≈1.1) (　　)
A.8×1011焦耳 B.1.1×1011焦耳
C.8×1012焦耳 D.1.1×1013焦耳
3.某品牌塑料袋经自然降解后残留量y与时间t年之间的关系为y=y0·ekt，其中y0为初始量，k为光解系数.已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的75%.该品牌塑料袋残留量为初始量的10%，大约需要经过(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477) (　　)
A.20年 B.16年
C.12年 D.7年
4.“空气质量指数(AQI)”是定量描述空气质量状况的无量纲指数.当AQI大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动.某地某天0~24时的空气质量指数y随时间t变化的趋势由函数y=描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为 (　　)
A.5小时 B.6小时
C.7小时 D.8小时
5.(2024·沈阳二模)[多选]半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，用f(t)表示从t=0开始，晶体管数量随时间t变化的函数，若f(0)=1 000，则下面选项中，符合摩尔定律公式的是 (　　)
A.若t是以月为单位，则f(t)=1 000+t
B.若t是以年为单位，则f(t)=1 000×()t
C.若t是以月为单位，则lg f(t)=3+t
D.若t是以年为单位，则lg f(t)=3+
6.[多选]为预防流感病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒，教室内每立方米空气中的含药量y(单位：mg)随时间x(单位：h)的变化情况如图所示.在药物释放过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为y=(a为常数)，则 (　　)
A.当0≤x≤0.2时，y=5x
B.当x>0.2时，y=
C.小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.25 mg以下
D.小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.25 mg以下
7.记地球与太阳的平均距离为R，地球公转周期为T，万有引力常量为G，则太阳的质量M=(单位：kg).由lg≈28.7，lg 2≈0.3， lg π≈0.5，计算得太阳的质量约为 (　　)
A.2×1029 kg B.2×1030 kg
C.3×1029 kg D.3×1030 kg
8.净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其工作原理中有多次的PP棉滤芯过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP棉滤芯(聚丙烯熔喷滤芯)构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质含量为80 mg/L，现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2 mg/L，则PP棉滤芯的层数最少为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) (　　)
A.9 B.8
C.7 D.6
9.研究表明大气中二氧化碳的含量对地表温度有明显的影响：当大气中二氧化碳的含量每增加25%，地球平均温度就要上升0.5 ℃.若到2050年，预测大气中二氧化碳的含量是目前的4倍，则地球平均温度将上升约　　　　　℃.(参考数据：lg 2≈0.301 0)
10.研究发现某人的行车速度v(km/h)与行驶地区的人口密度p(人/km2)有如下关系：v=50×(0.5+2-0.000 04p)，若此人在人口密度为a人/km2的地区的行车速度为70 km/h，则他在人口密度为2a人/km2的地区的行车速度是　　　　 km/h.
11.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4(1)当0(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大 并求出最大值.
12.某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元.已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产x万件电子芯片需要投入的流动成本为f(x)(单位：万元)，当年产量不超过14万件时，f(x)=x2+4x；当年产量超过14万件时，f(x)=17x+-80.假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完.
(1)写出年利润g(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)
(2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片
（解析）精练（十七） 函数的模型及其应用
1.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是 (　　)
x 1.992 3 4 5.15 6.126
y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01
A.y=2x-2 B.y=(x2-1)
C.y=log2x D.y=lox
解析：选B　由题表可知函数在(0，+∞)上单调递增，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B.
2.地震发生时会释放大量的能量，这些能量是造成地震灾害的元凶.研究表明地震释放的能量E(单位：焦耳)的常用对数与震级M之间满足线性关系，若4级地震所释放的能量为6.3×1010焦耳，6级地震所释放的能量为6.3×1013焦耳，则平原县发生的5.5级地震所释放的能量约为(参考数据：lg 6.3≈0.8，100.05≈1.1) (　　)
A.8×1011焦耳 B.1.1×1011焦耳
C.8×1012焦耳 D.1.1×1013焦耳
解析：选D　由题意可设lg E=λM+μ，则解得所以lg E=1.5M+4.8，所以E=101.5M+4.8.当M=5.5时，E=101.5×5.5+4.8=1013.05=100.05×1013≈1.1×1013焦耳.故选D.
3.某品牌塑料袋经自然降解后残留量y与时间t年之间的关系为y=y0·ekt，其中y0为初始量，k为光解系数.已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的75%.该品牌塑料袋残留量为初始量的10%，大约需要经过(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477) (　　)
A.20年 B.16年
C.12年 D.7年
解析：选B　依题意有t=2时，75%y0=y0·e2k，则ek=.当y0·ekt=10%y0时，有=0.1，lg()t=lg 0.1，t=====16.
4.“空气质量指数(AQI)”是定量描述空气质量状况的无量纲指数.当AQI大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动.某地某天0~24时的空气质量指数y随时间t变化的趋势由函数y=描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为 (　　)
A.5小时 B.6小时
C.7小时 D.8小时
解析：选C　由题知，当AQI大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动，即当AQI小于等于200时，适宜开展户外活动，即y≤200.因为y=所以当0≤t≤12时，只需-10t+290≤200，解得9≤t≤12；当125.(2024·沈阳二模)[多选]半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，用f(t)表示从t=0开始，晶体管数量随时间t变化的函数，若f(0)=1 000，则下面选项中，符合摩尔定律公式的是 (　　)
A.若t是以月为单位，则f(t)=1 000+t
B.若t是以年为单位，则f(t)=1 000×()t
C.若t是以月为单位，则lg f(t)=3+t
D.若t是以年为单位，则lg f(t)=3+
解析：选BC　选项A，f(24)=2 000=2f(0)，f(48)=3 000≠2f(24)，不符合；选项B，f(2)=2 000=2f(0)，f(4)=4 000=2f(2)，f(2n)=1 000×2n，n∈N*，符合；选项C，lg f(t)=3+t，则f(t)=1=1 000×，f(24)=2 000，f(48)=4 000=2f(24)，f(24n)=1 000×2n，n∈N*，符合；选项D，lg f(t)=3+，则f(t)=1 000×，f(2)=2 000=2f(0)，f(4)=1 000×≠2f(2)，不符合.故选BC.
6.[多选]为预防流感病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒，教室内每立方米空气中的含药量y(单位：mg)随时间x(单位：h)的变化情况如图所示.在药物释放过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为y=(a为常数)，则 (　　)
A.当0≤x≤0.2时，y=5x
B.当x>0.2时，y=
C.小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.25 mg以下
D.小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.25 mg以下
解析：选AD　当0≤x≤0.2时，设y=kx，则1=0.2k，故k=5，故A正确；当x>0.2时，把(0.2，1)代入y=，可得=1，∴a=0.2，故B错误；令<0.25，即<，∴3x-0.6>2，解得x>，故C错误，D正确.故选AD.
7.记地球与太阳的平均距离为R，地球公转周期为T，万有引力常量为G，则太阳的质量M=(单位：kg).由lg≈28.7，lg 2≈0.3， lg π≈0.5，计算得太阳的质量约为 (　　)
A.2×1029 kg B.2×1030 kg
C.3×1029 kg D.3×1030 kg
解析：选B　由题意在M=中两边取对数得，lg M=lg+lg 4π2=lg+2lg π+2lg 2.因为lg≈28.7，lg 2≈0.3， lg π≈0.5，所以lg M≈28.7+2×0.5+0.3+lg 2=30+lg 2，所以M=10lg M=1030+lg 2=10lg 2×1030=2×1030.故选B.
8.净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其工作原理中有多次的PP棉滤芯过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP棉滤芯(聚丙烯熔喷滤芯)构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质含量为80 mg/L，现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2 mg/L，则PP棉滤芯的层数最少为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) (　　)
A.9 B.8
C.7 D.6
解析：选A　设经过n层PP棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量为y，则y=80×=80×.令80×≤2，解得≤，两边取常用对数得nlg≤lg，即nlg ≥lg 40，即n(lg 3-lg 2)≥1+2lg 2.因为lg 2≈0.30，lg 3≈0.48，所以(0.48-0.30)n≥1.60，解得n≥.因为n∈N*，所以n的最小值为9.故选A.
9.研究表明大气中二氧化碳的含量对地表温度有明显的影响：当大气中二氧化碳的含量每增加25%，地球平均温度就要上升0.5 ℃.若到2050年，预测大气中二氧化碳的含量是目前的4倍，则地球平均温度将上升约　　　　　℃.(参考数据：lg 2≈0.301 0)
解析：设目前大气中二氧化碳的含量为a，依题意，当二氧化碳的含量为1.25a时，地球平均温度上升0.5 ℃，当二氧化碳的含量为a×1.252时，地球平均温度上升(0.5×2)℃，依次类推，当大气中二氧化碳的含量为a×1.25n时，地球平均温度上升(0.5×n)℃.令a×1.25n=4a，即1.25n=4，方程两边同时取常用对数，则n===≈≈6，所以到2050年，地球平均温度将上升约0.5×6=3(℃).
答案：3
10.研究发现某人的行车速度v(km/h)与行驶地区的人口密度p(人/km2)有如下关系：v=50×(0.5+2-0.000 04p)，若此人在人口密度为a人/km2的地区的行车速度为70 km/h，则他在人口密度为2a人/km2的地区的行车速度是　　　　 km/h.
解析：由70=50×(0.5+2-0.000 04a)，得2-0.000 04a=0.9，所以当人口密度为2a人/km2时，他的行车速度v=50×(0.5+2-0.000 04×2a)=50×[0.5+(2-0.000 04a)2]=65.5 km/h.
答案：65.5
11.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4(1)当0(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大 并求出最大值.
解：(1)由题意得当0当4显然v=ax+b在(4，20]上单调递减，
由已知得解得
所以v=-x+.
故函数v=
(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得f(x)=
当0故f(x)max=f(4)=4×2=8.
当4所以当0即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.
12.某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元.已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产x万件电子芯片需要投入的流动成本为f(x)(单位：万元)，当年产量不超过14万件时，f(x)=x2+4x；当年产量超过14万件时，f(x)=17x+-80.假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完.
(1)写出年利润g(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)
(2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片
解：(1)根据题意得，当0≤x≤14时，g(x)=16x-f(x)-30=-x2+12x-30，当14(2)当0≤x≤14时，g(x)=-x2+12x-30，且当0≤x≤9时，g(x)单调递增，当910，故当x=9时，g(x)取得最大值24，即为使公司获得的年利润最大，每年应生产9万件该芯片.
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