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“2年高考1年模拟”课时精练（十六） 函数零点的应用
1.若函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是 (　　)
A.(1，3) B.(1，2)
C.(0，3) D.(0，2)
2.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有三个零点，则实数m的取值范围是 (　　)
A.(1，2] B.(1，2)
C.(0，1) D.[1，+∞)
3.设a为实数，若方程x2-2ax+a=0在区间(-1，1)上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是 (　　)
A.(-∞，0)∪(1，+∞)
B.(-1，0)
C.
D.∪(1，+∞)
4.若函数f(x)=4x-2x+a2-5有两个零点，则实数a的取值范围为 (　　)
A. B.
C. D.
5.已知函数f(x)=x2+2x+m，m∈R，若函数f有且只有一个零点，则 (　　)
A.m>1 B.m<0
C.06.已知函数f(x)=|ex-1|+1，若函数g(x)=[f(x)]2+(a-2)f(x)-2a有三个零点，则实数a的取值范围是 (　　)
A.(-2，-1) B.(-1，0)
C.(0，1) D.(1，2)
7.函数f(x)=方程[f(x)]2-af(x)-a+3=0有6个不同的实数解，则实数a的取值范围是 (　　)
A.(1，2) B.(2，3)
C. D.
8.(2025·衡水检测)[多选]已知函数f(x)=若x1A.x1+x2=-1 B.x3x4=1
C.19.(2025·长沙质检)[多选]已知m为常数，函数f(x)=g(x)=mx+2，若函数y=f(x)-g(x)恰有四个零点，则实数m的值可以是 (　　)
A.-2 B.-1
C. D.
10.(2025·柳州期中)高斯是世界四大数学家之一，一生成就极为丰硕，以他的名字“高斯”命名的成果高达110个.高斯函数y=[x]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]=1，[-1.9]=-2.若函数y=x-[x]-1+logax(a>0，a≠1)有且仅有4个零点，则实数a的取值范围为 (　　)
A.(3，4] B.(3，4)
C.(4，5] D.[4，5)
11.已知函数f(x)=2lg x+x-4的零点在区间(k，k+1)(k∈Z)上，则k=　　　　.
12.已知函数f(x)=
①当m=0时，函数f(x)的零点个数为　　　　；
②如果函数f(x)恰有两个零点，那么实数m的取值范围为　　　　.
13.已知f(x)=若关于x的方程f(f(x))=0仅有一解，则a的取值范围是　　　　 　　.
14.(2025·长春模拟)已知f(x)=若y=f(x)-a|x|恰有3个零点，则a的取值范围是　　　　　　　.
15.已知指数函数y=f(x)满足f(-2)=.
(1)求函数y=f(x)的解析式；
(2)若方程[f(x)]2-(m+1)f(x)+m+=0有两个不同的实数解，求实数m的取值范围；
(3)已知≤k<1，若方程|f(x)-1|-k=0的解分别为x1，x2(x1（解析）精练（十六） 函数零点的应用
1.若函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是 (　　)
A.(1，3) B.(1，2)
C.(0，3) D.(0，2)
解析：选C　由题易知f(x)在(1，2)上单调递增，则f(1)·f(2)<0，即(2-2-a)(4-1-a)<0，即a(a-3)<0，解得02.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有三个零点，则实数m的取值范围是 (　　)
A.(1，2] B.(1，2)
C.(0，1) D.[1，+∞)
解析：选A　因为函数g(x)=f(x)-m有三个零点，所以函数f(x)的图象与直线y=m有三个不同的交点，作出函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，13.设a为实数，若方程x2-2ax+a=0在区间(-1，1)上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是 (　　)
A.(-∞，0)∪(1，+∞)
B.(-1，0)
C.
D.∪(1，+∞)
解析：选C　令g(x)=x2-2ax+a，由方程x2-2ax+a=0在区间(-1，1)上有两个不相等的实数解，得即
解得-4.若函数f(x)=4x-2x+a2-5有两个零点，则实数a的取值范围为 (　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　由函数f(x)=4x-2x+a2-5有两个零点可知，方程4x-2x+a2-5=0有两个不相等的实根.不妨设t=2x，则t>0，依题意得方程t2-t+a2-5=0有两个不相等的正实根，故有
解得5.已知函数f(x)=x2+2x+m，m∈R，若函数f有且只有一个零点，则 (　　)
A.m>1 B.m<0
C.0解析：选C　显然f(x)=0有解，因此Δ=4-4m≥0，m≤1，若m=1，则f(x)=x2+2x+1只有一个零点x=-1，但此时f(x)=-1无实解，f(f(x))无零点，所以m<1.f(x)=(x+1)2+m-1，f(x)min=m-1，由f(x)=0得x=-1±，由题意-1+=m-1，解得m=或m=(舍去)，所以当m=时，f(f(x))只有一个零点，它只满足C.
6.已知函数f(x)=|ex-1|+1，若函数g(x)=[f(x)]2+(a-2)f(x)-2a有三个零点，则实数a的取值范围是 (　　)
A.(-2，-1) B.(-1，0)
C.(0，1) D.(1，2)
解析：选A　令t=f(x)，由t2+(a-2)t-2a=0，得t=2或t=-a.f(x)=|ex-1|+1=作出函数f(x)的图象，如图所示.由图可知，当t=2时，方程f(x)=|ex-1|+1=2有且仅有一个根，则方程f(x)=|ex-1|+1=-a必有两个不同的实数根，此时由图可知，1<-a<2，即-27.函数f(x)=方程[f(x)]2-af(x)-a+3=0有6个不同的实数解，则实数a的取值范围是 (　　)
A.(1，2) B.(2，3)
C. D.
解析：选C　由题设，f(x)图象如图所示， 令t=f(x)，要使原方程有6个不同的实数解，则t2-at-a+3=0有两个不同实根t1，t2且t1故 28.(2025·衡水检测)[多选]已知函数f(x)=若x1A.x1+x2=-1 B.x3x4=1
C.1解析：选BCD　由题意作出函数f(x)的图象如图所示.由图可知，x1+x2=-2，-29.(2025·长沙质检)[多选]已知m为常数，函数f(x)=g(x)=mx+2，若函数y=f(x)-g(x)恰有四个零点，则实数m的值可以是 (　　)
A.-2 B.-1
C. D.
解析：选AC　由题意，当x=0时，可得f(0)=2，g(0)=2，故x=0是函数y=f(x)-g(x)的一个零点；当x≠0时，将f(x)-g(x)=0转化为m=h(x)，其中h(x)=要使得函数y=f(x)-g(x)在(-∞，0)∪(0，+∞)上有三个零点，只需y=m和y=h(x)的图象有三个不同的交点.作出函数y=h(x)的大致图象，如图所示.
结合图象，可得-e10.(2025·柳州期中)高斯是世界四大数学家之一，一生成就极为丰硕，以他的名字“高斯”命名的成果高达110个.高斯函数y=[x]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]=1，[-1.9]=-2.若函数y=x-[x]-1+logax(a>0，a≠1)有且仅有4个零点，则实数a的取值范围为 (　　)
A.(3，4] B.(3，4)
C.(4，5] D.[4，5)
解析：选D　易知函数y=x-[x]-1+logax的零点即logax=[x]+1-x的交点，对于函数y=[x]+1-x=
显然y=[x]+1-x>0，所以要符合题意需a>1，如图所示，
四个交点应在区间(1，5)，即 a∈[4，5).故选D.
11.已知函数f(x)=2lg x+x-4的零点在区间(k，k+1)(k∈Z)上，则k=　　　　.
解析：函数f(x)=2lg x+x-4在(0，+∞)上为增函数，又∵f(3)=2lg 3+3-4=2lg 3-1=lg 9-1<0，f(4)=2lg 4+4-4=2lg 4>0，即f(3)·f(4)<0，∴函数f(x)=2lg x+x-4的零点在区间(3，4)上，即k=3.
答案：3
12.已知函数f(x)=
①当m=0时，函数f(x)的零点个数为　　　　；
②如果函数f(x)恰有两个零点，那么实数m的取值范围为　　　　.
解析：①当m=0时，当x≤0时，令x2+2x=0可得x=-2或x=0，符合题意.当x>0时，令x+4=0得x=-4，不符合题意.综上，当m=0时，f(x)有2个零点.
②若m<-2，则f(x)在(-∞，m]上无零点，在(m，+∞)上至多有一零点，不符合题意；若-2≤m<0，则f(x)在(-∞，m]上有1个零点x=-2，在(m，+∞)上无零点 ，不符合题意；若m≥0，则f(x)在(-∞，m]上有2个零点x=-2，x=0，在(m，+∞)上无零点，符合题意.所以m≥0.
答案：①2　②[0，+∞)
13.已知f(x)=若关于x的方程f(f(x))=0仅有一解，则a的取值范围是　　　　 　　.
解析：若a=0，则方程f(f(x))=0有无数个解，故a≠0.∵f(f(x))=0，∴lg f(x)=0或=0(舍去)，∴f(x)=1，∴lg x=1或=1，∴x=10或a=x-1.∵关于x的方程f(f(x))=0仅有一解，∴a=x-1在x≤0上无解，∴a>-1.综上所述， a的取值范围是(-1，0)∪(0，+∞).
答案：(-1，0)∪(0，+∞)
14.(2025·长春模拟)已知f(x)=若y=f(x)-a|x|恰有3个零点，则a的取值范围是　　　　　　　.
解析：由f(x)-a|x|=0得f(x)=a|x|，作出函数y=f(x)，y=a|x|的图象，如图所示.
当a=0时，满足条件，当a≥2时，y=a|x|与y=f(x)有3个交点，故a的取值范围是{0}∪[2，+∞).
答案：{0}∪[2，+∞)
15.已知指数函数y=f(x)满足f(-2)=.
(1)求函数y=f(x)的解析式；
(2)若方程[f(x)]2-(m+1)f(x)+m+=0有两个不同的实数解，求实数m的取值范围；
(3)已知≤k<1，若方程|f(x)-1|-k=0的解分别为x1，x2(x1解：(1)设f(x)=ax(a>0且a≠1)，由f(-2)=，可得a-2=，又a>0，解得a=2，所以f(x)=2x.
(2)由f(x)=2x和方程[f(x)]2-(m+1)f(x)+m+=0，得(2x)2-(m+1)2x+m+=0，
令u=2x∈(0，+∞)，则方程u2-(m+1)u+m+=0有两个不同的正实数解，
于是
解得m>4，所以实数m的取值范围为(4，+∞).
(3)由|f(x)-1|-k=0，得f(x)=1-k或f(x)=1+k，所以=1-k，=1+k，则=，由|f(x)-1|-=0，得=1-
==1+=，
则=，因此=·=，
又≤k<1，令t=1-k，则t∈且k=1-t，于是g(t)===，显然函数y=2t+在上单调递减，因此函数g(t)在上单调递增，则当t=，即k=时，g(t)有最大值为，所以的最大值为.
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