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“2年高考1年模拟”课时精练（十九） 导数与函数的单调性
1.已知函数f(x)=x3+ax+4，则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.(2025·齐齐哈尔模拟)若函数f(x)=x2-3x-4ln x，则函数f(x)的单调递减区间为 (　　)
A.(4，+∞) B.(0，1)
C.(0，4) D.(1，4)
3.已知函数f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf'(x)>0的解集为 (　　)
A.∪(2，+∞)
B.(-∞，0)∪
C.(-∞，0)∪
D.∪(2，+∞)
4.若函数f(x)=x2-ax+ln x在区间(1，e)上单调递增，则a的取值范围是 (　　)
A.[3，+∞) B.(-∞，3]
C.[3，e2+1] D.(3，e2+1]
5.已知a=ln 3，b=，c=，则 (　　)
A.cC.a6.(2025·乌鲁木齐模拟)已知函数f(x)=存在最小值，则实数a的取值范围是 (　　)
A.(-∞，-e2] B.(-e2，+∞)
C.(-∞，e-2] D.(e-2，+∞)
7.[多选]已知定义在R上的函数f(x)满足2f(x)>f'(x)，在下列不等关系中，一定成立的是 (　　)
A.e2f(1)>f(2) B.e2f(1)C.f(e)>e2e-4f(2) D.f(e)8.(2025·郑州模拟)已知f(x)=x3ln，则f(x+2)>f(3x-2)的解集为 (　　)
A.(-3，3) B.
C.(0，2) D.(0，1)
9.函数f(x)=(x-1)ex-x2的单调递增区间为　　　　　　　　，单调递减区间为　　　　.
10.(2025·丽水模拟)已知函数f(x)=x3+mx2+nx+1的单调递减区间是(-3，1)，则m+n的值为　　　　.
11.定义在(0，+∞)上的函数f(x)的导函数为f'(x)，当x>0时，xf'(x)<1，且f(e)=3，则不等式f(x2)-2ln x<2的解集为　　　　　 .
12.(2024·全国甲卷)曲线y=x3-3x与y=-(x-1)2+a在(0，+∞)上有两个不同的交点，则a的取值范围为　　　　.
13.讨论函数f(x)=(a-1)ln x+ax2+1的单调性.
14.已知a∈R，函数f(x)=(-x2+ax)ex，x∈R.
(1)当a=2时，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若函数f(x)在(-1，1)上单调递增，求实数a的取值范围.
15.(2023·全国乙卷)已知函数f(x)=ln(1+x).
(1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程.
(2)若函数f(x)在(0，+∞)单调递增，求a的取值范围.
（解析）精练（十九） 导数与函数的单调性
1.已知函数f(x)=x3+ax+4，则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：选A　由题意，f'(x)=3x2+a，f(x)在R上单调递增，则f'(x)≥0，即a≥-3x2在R上恒成立，故a≥0.所以“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.
2.(2025·齐齐哈尔模拟)若函数f(x)=x2-3x-4ln x，则函数f(x)的单调递减区间为 (　　)
A.(4，+∞) B.(0，1)
C.(0，4) D.(1，4)
解析：选C　函数f(x)=x2-3x-4ln x，定义域为(0，+∞)，f'(x)=x-3-==，令f'(x)<0，解得03.已知函数f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf'(x)>0的解集为 (　　)
A.∪(2，+∞)
B.(-∞，0)∪
C.(-∞，0)∪
D.∪(2，+∞)
解析：选A　由函数f(x)(x∈R)的图象可知，当x<或x>2时，f'(x)>0；当0等价于或故不等式xf'(x)>0的解集为∪(2，+∞).
4.若函数f(x)=x2-ax+ln x在区间(1，e)上单调递增，则a的取值范围是 (　　)
A.[3，+∞) B.(-∞，3]
C.[3，e2+1] D.(3，e2+1]
解析：选B　依题意f'(x)=2x-a+≥0在区间(1，e)上恒成立，即a≤2x+在区间(1，e)上恒成立.令g(x)=2x+(10，g(x)在(1，e)上单调递增，g(1)=3，所以a≤3.所以a的取值范围是(-∞，3].
5.已知a=ln 3，b=，c=，则 (　　)
A.cC.a解析：选A　令f(x)=，x>0，则f'(x)=，由f'(x)>0，得x∈(0，e)，由f'(x)<0，得x∈(e，+∞)，所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减.因为e<3，所以>，即>ln 3，故a，所以=<，所以ln 2<2ln，所以ln 1，所以c6.(2025·乌鲁木齐模拟)已知函数f(x)=存在最小值，则实数a的取值范围是 (　　)
A.(-∞，-e2] B.(-e2，+∞)
C.(-∞，e-2] D.(e-2，+∞)
解析：选C　当x<2时，函数f(x)=e-x单调递减，f(x)>e-2，无最小值；当x≥2时，函数f(x)=(x-1)(x-2)2+a，当x≥2时，函数f'(x)=(x-2)2+2(x-2)(x-1)=(x-2)(3x-4)，所以x∈[2，+∞)，f'(x)≥0，f(x)单调递增，当x=2时，f(x)min=(2-1)(2-2)2+a=a，要使函数f(x)存在最小值，即a≤e-2.
7.[多选]已知定义在R上的函数f(x)满足2f(x)>f'(x)，在下列不等关系中，一定成立的是 (　　)
A.e2f(1)>f(2) B.e2f(1)C.f(e)>e2e-4f(2) D.f(e)解析：选AD　因为2f(x)>f'(x)，所以f'(x)-2f(x)<0.令g(x)=，则g'(x)=，因为f'(x)-2f(x)<0，e2x>0，所以g'(x)<0，所以g(x)在R上单调递减，g(1)>g(2)，即>，即e2f(1)>f(2)，故A正确，B错误；g(e)8.(2025·郑州模拟)已知f(x)=x3ln，则f(x+2)>f(3x-2)的解集为 (　　)
A.(-3，3) B.
C.(0，2) D.(0，1)
解析：选D　由>0，得-30，又3x2>0，>0，∴f'(x)>0，∴f(x)在(0，3)上单调递增，又f(x)为偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，在(-3，0)上单调递减，由f(x+2)>f(3x-2)，得解得0f(3x-2)的解集为(0，1).
9.函数f(x)=(x-1)ex-x2的单调递增区间为　　　　　　　　，单调递减区间为　　　　.
解析：f'(x)=xex-2x=x(ex-2)，令f'(x)=0，得x=0或x=ln 2，当x∈(-∞，0)∪(ln 2，+∞)时，f'(x)>0，当x∈(0，ln 2)时，f'(x)<0.所以f(x)的单调递增区间为(-∞，0)，(ln 2，+∞)，单调递减区间为(0，ln 2).
答案：(-∞，0)，(ln 2，+∞)　(0，ln 2)
10.(2025·丽水模拟)已知函数f(x)=x3+mx2+nx+1的单调递减区间是(-3，1)，则m+n的值为　　　　.
解析：f'(x)=x2+2mx+n，由f(x)的单调递减区间是(-3，1)，得f'(x)<0的解集为(-3，1)，则-3，1是f'(x)=0的解，所以-2m=-3+1=-2，n=1×(-3)=-3，可得m=1，n=-3，故m+n=-2.
答案：-2
11.定义在(0，+∞)上的函数f(x)的导函数为f'(x)，当x>0时，xf'(x)<1，且f(e)=3，则不等式f(x2)-2ln x<2的解集为　　　　　 .
解析：构造函数g(x)=f(x)-ln x(x>0)，则g'(x)=f'(x)-=<0，
所以g(x)在区间(0，+∞)上单调递减.由f(x2)-2ln x<2，得f(x2)-ln x2即g(x2).所以不等式f(x2)-2ln x<2的解集为(，+∞).
答案：(，+∞)
12.(2024·全国甲卷)曲线y=x3-3x与y=-(x-1)2+a在(0，+∞)上有两个不同的交点，则a的取值范围为　　　　.
解析：令x3-3x=-(x-1)2+a，则a=x3-3x+(x-1)2，设h(x)=x3-3x+(x-1)2，则h'(x)=3x2-3+2(x-1)=(3x+5)(x-1).∵x>0，∴3x+5>0，当01时，h'(x)>0，∴h(x)在(1，+∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减.∵曲线y=x3-3x与y=-(x-1)2+a在(0，+∞)上有两个不同的交点，h(0)=1，h(1)=-2，∴a的取值范围为(-2，1).
答案：(-2，1)
13.讨论函数f(x)=(a-1)ln x+ax2+1的单调性.
解：由已知得，f(x)的定义域为(0，+∞)，则f'(x)=+2ax=.
①当a≥1时，f'(x)>0，故f(x)在(0，+∞)上单调递增；
②当a≤0时，f'(x)<0，故f(x)在(0，+∞)上单调递减；
③当0则当x∈时，f'(x)<0；
当x∈时，f'(x)>0，
故f(x)在内单调递减，
在上单调递增.
综上，当a≥1时，f(x)在(0，+∞)上单调递增；
当a≤0时，f(x)在(0，+∞)上单调递减；
当0在上单调递增.
14.已知a∈R，函数f(x)=(-x2+ax)ex，x∈R.
(1)当a=2时，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若函数f(x)在(-1，1)上单调递增，求实数a的取值范围.
解：(1)当a=2时，f(x)=(-x2+2x)ex，f'(x)=-(x2-2)ex，
令f'(x)>0，即x2-2<0，解得-∴f(x)的单调递增区间是(-).
(2)f'(x)=[-x2+(a-2)x+a]ex，若f(x)在(-1，1)上单调递增，
即当-1即-x2+(a-2)x+a≥0对x∈(-1，1)恒成立，
即a≥x+1-对x∈(-1，1)恒成立，
令y=x+1-，则y'=1+>0，
∴y=x+1-在(-1，1)上单调递增，
∴y<1+1-=，∴a≥，
∴a的取值范围是.
15.(2023·全国乙卷)已知函数f(x)=ln(1+x).
(1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程.
(2)若函数f(x)在(0，+∞)单调递增，求a的取值范围.
解：(1)当a=-1时，f(x)=ln(1+x)，f'(x)=-ln(1+x)+·，
所以f'(1)=-ln 2，
又f(1)=0，所以点(1，f(1))处的切线方程为y-0=-(x-1)ln 2，即xln 2+y-ln 2=0.
(2)由题意得f'(x)=-ln(1+x)+·≥0(x>0)，即≥0(x>0)，因为x2(1+x)>0，所以只需满足ax2+x-(1+x)ln(1+x)≥0(x>0).
设g(x)=ax2+x-(1+x)ln(1+x)，
则g'(x)=2ax+1-ln(1+x)-1=2ax-ln(1+x).
若a≤0，则g'(x)<0在(0，+∞)上恒成立，g(x)在(0，+∞)上单调递减，于是在(0，+∞)上g(x)0，设h(x)=g'(x)，则h'(x)=2a-，h'(0)=2a-1.
①若0-1时，h'(x)>0，
所以h(x)即g'(x)在上单调递减，在上单调递增，于是当0②若a≥，因为h'(x)在(0，+∞)上单调递增，h'(x)>h'(0)=2a-1≥0，所以h(x)即g'(x)在(0，+∞)上单调递增，所以在(0，+∞)上g'(x)>g'(0)=0，于是g(x)在(0，+∞)上单调递增，所以在(0，+∞)上g(x)>g(0)=0，满足题意.
综上所述，a的取值范围为.
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