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“2年高考1年模拟”课时精练（十二） 指数与指数函数
1.若m=，n=，则m+n的值为 (　　)
A.-7 B.-1
C.1 D.7
2.已知a=31.2，b=1.20，c=，则a，b，c的大小关系是 (　　)
A.aC.c3.(2024·西宁二模)早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项、几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项、几何中项的定义与今天大致相同.若2a+2b=1，则(2a+1)(2b+1)的最大值为 (　　)
A. B.
C. D.
4.若函数f(x)=在[1，2]上单调递减，则a的取值范围是 (　　)
A.(-∞，-4] B.(-∞，-2]
C.[-2，+∞) D.[-4，+∞)
5.[多选]某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…，k，b为常数)，若该食品在0 ℃的保鲜时间是120小时，在20 ℃的保鲜时间是30小时，则 (　　)
A.k<0
B.储存温度越高保鲜时间越长
C.在10 ℃的保鲜时间是60小时
D.在30 ℃的保鲜时间是15小时
6.已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1为偶函数，记a=f(log0.53)，b=f(log25)，c=f(2m)，则a，b，c的大小关系是 (　　)
A.aC.c7.已知函数f(x)=3x+1-4x-5，则不等式f(x)<0的解集是 (　　)
A.(-2，-1) B.(-1，1)
C.(-1，2) D.(1，+∞)
8.(2023·全国甲卷)已知函数f(x)=.记a=f，b=f，c=f，则 (　　)
A.b>c>a B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
9.对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(-x0)=-f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”.设f(x)=3x+2m-1(m∈R，且m≠0)是定义在[-1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.(-∞，0)
10.函数y=a2x-1-2(a>0且a≠1)，无论a取何值，函数图象恒过一个定点，则定点坐标为　　　　.
11.化简：(b·=　　　　.
12.若f(x)=-，则满足f(x)<0的x的取值范围是　　　　　.
13.已知函数f(x)=4x-a·2x-1+4.
(1)若a=4，求f(x)在[0，1]上的值域；
(2)若关于x的方程f(x)=0有解，求a的取值范围.
14.已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(1)求a，b的值；
(2)判断f(x)的单调性；
(3)若存在t∈[0，4]，使f(k+t2)+f(4t-2t2)<0成立，求k的取值范围.
15.已知函数f(x)=(x∈R).
(1)求证：函数f(x)是R上的减函数；
(2)已知函数f(x)的图象存在对称中心(a，b)的充要条件是g(x)=f(x+a)-b的图象关于原点中心对称，判断函数f(x)的图象是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，请说明理由.
（解析）精练（十二） 指数与指数函数
1.若m=，n=，则m+n的值为 (　　)
A.-7 B.-1
C.1 D.7
解析：选C　m+n=π-3+|π-4|=π-3+4-π=1.
2.已知a=31.2，b=1.20，c=，则a，b，c的大小关系是 (　　)
A.aC.c解析：选D　因为b=1.20=1， c==30.9，又因为y=3x在R上单调递增，1.2>0.9>0，所以31.2>30.9>30=1，即a>c>b.故选D.
3.(2024·西宁二模)早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项、几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项、几何中项的定义与今天大致相同.若2a+2b=1，则(2a+1)(2b+1)的最大值为 (　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　因为(2a+1)(2b+1)=2a·2b+2a+2b+1，又2a+2b=1，所以(2a+1)(2b+1)=2a·2b+2≤+2=，当且仅当2a=2b，即a=b=-1时取等号，故选C.
4.若函数f(x)=在[1，2]上单调递减，则a的取值范围是 (　　)
A.(-∞，-4] B.(-∞，-2]
C.[-2，+∞) D.[-4，+∞)
解析：选C　依题意函数f(x)=在[1，2]上单调递减，且y=在R上单调递减，y=x2+ax的图象开口向上，对称轴为x=-，根据复合函数单调性同增异减可知，-≤1 a≥-2.
5.[多选]某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…，k，b为常数)，若该食品在0 ℃的保鲜时间是120小时，在20 ℃的保鲜时间是30小时，则 (　　)
A.k<0
B.储存温度越高保鲜时间越长
C.在10 ℃的保鲜时间是60小时
D.在30 ℃的保鲜时间是15小时
解析：选ACD　由题可知120=eb，30=e20k+b=e20k×eb，则e20k=，故e10k=，所以10k<0，则k<0，A正确；由A可知，y=kx+b在R上是减函数，且y=ex在R上是增函数，所以y=ekx+b在R上是减函数，则储存温度越高保鲜时间越短，B错误；由A可知，e10k+b=e10k×eb=×120=60小时，C正确；由A可知，e30k+b=e30k×eb=×120=15小时，D正确.
6.已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1为偶函数，记a=f(log0.53)，b=f(log25)，c=f(2m)，则a，b，c的大小关系是 (　　)
A.aC.c解析：选C　函数f(x)=2|x-m|-1为偶函数，则m=0，故f(x)=2|x|-1，a=f(log0.53)=-1=-1=2，b=f(log25)=-1=4，c=f(0)=20-1=0.所以c7.已知函数f(x)=3x+1-4x-5，则不等式f(x)<0的解集是 (　　)
A.(-2，-1) B.(-1，1)
C.(-1，2) D.(1，+∞)
解析：选B　因为函数f(x)=3x+1-4x-5，所以不等式f(x)<0即为3x+1<4x+5，在直角坐标系中作出y=3x+1，y=4x+5的图象，如图所示，因为y=3x+1，y=4x+5都经过A(1，9)，B(-1，1)，当-18.(2023·全国甲卷)已知函数f(x)=.记a=f，b=f，c=f，则 (　　)
A.b>c>a B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
解析：选A　函数f(x)=是由函数y=eu和u=-(x-1)2复合而成的复合函数，y=eu为R上的增函数，u=-(x-1)2在(-∞，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f(x)在(-∞，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减.易知f(x)的图象关于直线x=1对称，所以c=f=f，又<2-<<1，所以fc>a，故选A.
9.对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(-x0)=-f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”.设f(x)=3x+2m-1(m∈R，且m≠0)是定义在[-1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.(-∞，0)
解析：选B　∵f(x)=3x+2m-1是定义在[-1，1]上的“倒戈函数”，∴ x0∈[-1，1]满足f(-x0)=-f(x0)，∴+2m-1=--2m+1，∴4m=--+2.构造函数g(x)=-3-x-3x+2，x∈[-1，1]，令t=3x，则t∈，则g(x)可转化为h(t)=--t+2，易知h(t)=--t+2在上单调递增，在[1，3]上单调递减，∴y=h(t)∈.又m≠0，∴-≤4m<0，∴-≤m<0.
10.函数y=a2x-1-2(a>0且a≠1)，无论a取何值，函数图象恒过一个定点，则定点坐标为　　　　.
解析：∵a0=1，∴x=，y=a0-2=1-2=-1，则定点坐标为.
答案：
11.化简：(b·=　　　　.
解析：(b·=a4·=a4b6.
答案：a4b6
12.若f(x)=-，则满足f(x)<0的x的取值范围是　　　　　.
解析：因为=有意义，所以x>0.由f(x)<0，得<，即<，所以0<<1，解得0答案：(0，1)
13.已知函数f(x)=4x-a·2x-1+4.
(1)若a=4，求f(x)在[0，1]上的值域；
(2)若关于x的方程f(x)=0有解，求a的取值范围.
解：(1)当a=4时，f(x)=4x-2·2x+4=+3，令2x=t，则y=(t-1)2+3.
∵x∈[0，1]，∴2x∈[1，2]，即t∈[1，2]，
而y=(t-1)2+3的对称轴为t=1，
∴函数y=(t-1)2+3在[1，2]上单调递增，
∴3≤(t-1)2+3≤4，即3≤f(x)≤4.
∴f(x)在[0，1]上的值域为[3，4].
(2)f(x)=4x-·2x+4，
令2x=m(m>0)，则y=m2-·m+4.
∵f(x)=0有解，∴m2-·m+4=0在(0，+∞)上有解，∴解得a≥8，∴a的取值范围为[8，+∞).
14.已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(1)求a，b的值；
(2)判断f(x)的单调性；
(3)若存在t∈[0，4]，使f(k+t2)+f(4t-2t2)<0成立，求k的取值范围.
解：(1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，即=0，所以a=1.
又因为f(-x)=-f(x)，所以=-.将a=1代入，整理得=，
当x≠0时，有b·2x+1=b+2x，即(b-1)·(2x-1)=0.又因为当x≠0时，有2x-1≠0，所以b-1=0，所以b=1.
经检验符合题意，所以a=1，b=1.
(2)由(1)知，函数f(x)===-1+，
因为y=1+2x为R上的增函数，且1+2x>0，则函数f(x)在R上单调递减.
(3)因为存在t∈[0，4]，使f(k+t2)+f(4t-2t2)<0成立，且函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以不等式可转化为f(k+t2)2t2-4t，所以k>t2-4t.令g(t)=t2-4t=(t-2)2-4，t∈[0，4]，由题意可知，问题等价转化为当t∈[0，4]时，k>g(t)min.又因为g(t)min=g(2)=-4，所以k>-4.故k的取值范围是(-4，+∞).
15.已知函数f(x)=(x∈R).
(1)求证：函数f(x)是R上的减函数；
(2)已知函数f(x)的图象存在对称中心(a，b)的充要条件是g(x)=f(x+a)-b的图象关于原点中心对称，判断函数f(x)的图象是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，请说明理由.
解：(1)证明：设任意的实数x1，x2，x1则f(x1)-f(x2)=-==，
因为x1，x2∈R，x10，(+1)(+1)>0，所以f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)是R上的减函数.
(2)假设函数f(x)的图象存在对称中心(a，b)，
则g(x)=f(x+a)-b=-b的图象关于原点中心对称，由于函数的定义域为R，
所以g(-x)+g(x)=-b+-b=0恒成立，即(1-2b)(2x+a+2-x+a)+2-2b-2b·22a=0恒成立，
所以
解得a=0，b=，
所以函数f(x)的图象存在对称中心.
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