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“2年高考1年模拟”课时精练（十八） 导数的概念及其意义、导数的运算
1.函数y=exln x的导数是 (　　)
A. B.exln x
C.exln x+ D.
2.(2025·上饶阶段练习)函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是 (　　)
A.f'(1)>f'(2)>f'(3)>0
B.f'(1)C.0D.0>f'(1)>f'(2)>f'(3)
3.已知曲线y=x+kln(1+x)在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，则k的值为 (　　)
A.4 B.2
C.-3 D.-6
4.直线l与两条曲线y=ex+1和y=ex+1均相切，则l的斜率为 (　　)
A. B.1
C.2 D.e
5.(2025·南昌阶段练习)[多选]已知曲线y=和直线l：x-2y-4=0，则 (　　)
A.曲线上与直线l平行的切线的切点为
B.曲线上与直线l平行的切线的切点为
C.曲线上的点到直线l的最短距离为
D.曲线上的点到直线l的最短距离为　
6.已知a，b为正实数，直线y=x-2a与曲线y=ln(x+b)相切，则+的最小值是 (　　)
A.6 B.4
C.8 D.2
7.(2025·烟台期中)已知曲线y=xln x过点(0，-1)的切线与函数y=ax2+(a+2)x的图象只有一个公共点，则a的值为 (　　)
A.0或1 B.0或
C. D.1
8.(2025·海口模拟)若函数f(x)=1-(x>0)与g(x)=aln x(a>0)的图象有且只有一条公切线，则实数a的值为 (　　)
A. B.1
C.2 D.4
9.(2025·泰安期末)若曲线C1：y=x2与曲线C2：y=(a>0)存在公共切线，则实数a的取值范围为 (　　)
A.(0，1) B.
C. D.
10.(2024·大庆三模)曲线f(x)=ln x+在点(1，2)处的切线方程为　　　　　　.
11.若直线y=-3x+与曲线f(x)=e-3x+a相切，则a=　　　　.
12.(2025·齐齐哈尔一模)已知曲线C1：y=x2+ax-2a2在x=t处的切线为l1，曲线C2：y=ln x在x=t处的切线为l2，若存在实数t使得l1与l2的倾斜角互补，则实数a的取值范围为　　　　　.
13.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=2x2.
(1)求x<0时，f(x)的表达式；
(2)令g(x)=ln x，问是否存在x0，使得f(x)，g(x)在x=x0处的切线互相平行 若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由.
14.(2025·泉州模拟)已知函数f(x)=ax3-2x2-2x+a(a≥0).
(1)当a=1时，若直线y=-3x+b与曲线y=f(x)相切，求b；
(2)若直线y=-2x-2与曲线y=f(x)恰有两个公共点，求a.　
15.(2022·全国甲卷)已知函数f(x)=x3-x，g(x)=x2+a，曲线y=f(x)在点(x1，f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线.
(1)若x1=-1，求a；
(2)求a的取值范围.
（解析）精练（十八） 导数的概念及其意义、导数的运算
1.函数y=exln x的导数是 (　　)
A. B.exln x
C.exln x+ D.
解析：选C　y'=(ex)'·ln x+ex·(ln x)'=exln x+.故选C.
2.(2025·上饶阶段练习)函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是 (　　)
A.f'(1)>f'(2)>f'(3)>0
B.f'(1)C.0D.0>f'(1)>f'(2)>f'(3)
解析：选D　作曲线在点(1，f(1))，(2，f(2))，(3，f(3))处的切线，记其斜率依次为k1，k2，k3，结合图象可得0>k1>k2>k3，由导数的几何意义可得k1=f'(1)，k2=f'(2)，k3=f'(3)，所以0>f'(1)>f'(2)>f'(3).故选D.
3.已知曲线y=x+kln(1+x)在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，则k的值为 (　　)
A.4 B.2
C.-3 D.-6
解析：选B　因为y'=1+，可得y'|x=1=1+，即曲线y=x+kln(1+x)在x=1处的切线斜率为1+，且直线x+2y=0的斜率为-，由题意可得-=-1，解得k=2.故选B.
4.直线l与两条曲线y=ex+1和y=ex+1均相切，则l的斜率为 (　　)
A. B.1
C.2 D.e
解析：选B　由y=ex+1，得y'=ex.由y=ex+1，得y'=ex+1.设两个切点分别为(x1，+1)和(x2，)，直线l的斜率k==，故x1=x2+1，因为x1≠x2，所以k===1，即直线l的斜率为1.
5.(2025·南昌阶段练习)[多选]已知曲线y=和直线l：x-2y-4=0，则 (　　)
A.曲线上与直线l平行的切线的切点为
B.曲线上与直线l平行的切线的切点为
C.曲线上的点到直线l的最短距离为
D.曲线上的点到直线l的最短距离为　
解析：选BC　设与直线y=x-2平行的直线和y=相切，则斜率为k=.因为y=，所以y'=，令=k=，可得切点为，故A错误，B正确；则点到直线x-2y-4=0的距离就是曲线y=上的点到直线x-2y-4=0的最短距离，由点到直线的距离公式知最短距离为=，故C正确，D错误.故选BC.
6.已知a，b为正实数，直线y=x-2a与曲线y=ln(x+b)相切，则+的最小值是 (　　)
A.6 B.4
C.8 D.2
解析：选C　设切点为(m，n)，由y=ln(x+b)得y'=，由题意可得=1，n=m-2a，n=ln(m+b)，解得n=0，m=2a，即有2a+b=1.因为a，b为正实数，所以+=(2a+b)=2+2++≥4+2=8，当且仅当2a=b=时取等号，故+的最小值为8.故选C.
7.(2025·烟台期中)已知曲线y=xln x过点(0，-1)的切线与函数y=ax2+(a+2)x的图象只有一个公共点，则a的值为 (　　)
A.0或1 B.0或
C. D.1
解析：选A　设切线与曲线y=xln x的切点为(x0，x0ln x0)，函数y=xln x的导函数为y'=ln x+1，故ln x0+1=，解得x0=1，所以切线斜率k=ln 1+1=1，故切线方程为y=x-1，当a=0时，y=ax2+(a+2)x=2x，显然成立，当a≠0时，y=ax2+(a+2)x与y=x-1联立，得ax2+(a+1)x+1=0，其中Δ=(a+1)2-4a=0，解得a=1.综上所述，a的值为0或1.
8.(2025·海口模拟)若函数f(x)=1-(x>0)与g(x)=aln x(a>0)的图象有且只有一条公切线，则实数a的值为 (　　)
A. B.1
C.2 D.4
解析：选B　设公切线与函数f(x)，g(x)的图象分别切于点A，B(x2，aln x2)，因为f'(x)=，所以f'(x1)=，所以公切线方程为y-=(x-x1)，即y=x+1-，因为g'(x)=，所以g'(x2)=，所以公切线方程为y-aln x2=(x-x2)，即y=x-a+aln x2，因为函数f(x)与g(x)的图象有且只有一条公切线，所以由 =得x2=a，代入1-=-a+aln x2，则1-=-a+aln(a)=-a+aln a+2aln x1，整理得1--2aln x1=-a+aln a，令y=1--2aln x1，则y'=，当00，则函数单调递增，当x1>时，y'<0，则函数单调递减，所以x1=时，ymax=1-2a+2aln a，则当1-2a+2aln a=-a+aln a时，函数f(x)=1-(x>0)与g(x)=aln x(a>0)的图象有且只有一条公切线，即aln a-a+1=0，解得a=1.故选B.
9.(2025·泰安期末)若曲线C1：y=x2与曲线C2：y=(a>0)存在公共切线，则实数a的取值范围为 (　　)
A.(0，1) B.
C. D.
解析：选D　由y=x2得y'=2x，曲线y=x2在点(m，m2)处的切线斜率为2m，由y=(a>0)得y'=，在点处的切线斜率为en，如果两条曲线存在公共切线，那么2m=en(m≠0).又由斜率公式可得2m=，由此得到m=2n-2，则4n-4=en有解，所以直线y=4x-4与函数y=ex的图象有交点即可.当直线y=4x-4与函数y=ex的图象相切时，设切点为(s，t)，则es=4，且t=4s-4=es，得s=2，t=4，即有切点(2，4)，此时a=，故实数a的取值范围是.故选D.
10.(2024·大庆三模)曲线f(x)=ln x+在点(1，2)处的切线方程为　　　　　　.
解析：因为f(x)=ln x+，x∈(0，+∞)，所以f'(x)=-，故f'(1)=-1，曲线f(x)=ln x+在点(1，2)处的切线方程为y-2=-1(x-1)，即x+y-3=0.
答案：x+y-3=0
11.若直线y=-3x+与曲线f(x)=e-3x+a相切，则a=　　　　.
解析：依题意，设切点为(x0，)，则=-3x0+.由f(x)=e-3x+a，求导得f'(x)=-3e-3x+a，于是-3=-3，解得-3x0+a=0，从而x0=-，则a=-.
答案：-
12.(2025·齐齐哈尔一模)已知曲线C1：y=x2+ax-2a2在x=t处的切线为l1，曲线C2：y=ln x在x=t处的切线为l2，若存在实数t使得l1与l2的倾斜角互补，则实数a的取值范围为　　　　　.
解析：由曲线C1可得y'=2x+a，由曲线C2可得y'=，由导数的几何意义可得直线l1的斜率为2t+a，直线l2的斜率为，若存在实数t使得l1与l2的倾斜角互补，则方程2t+a=-，即2t2+at+1=0存在正根，所以
解得a≤-2.
答案：(-∞，-2]
13.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=2x2.
(1)求x<0时，f(x)的表达式；
(2)令g(x)=ln x，问是否存在x0，使得f(x)，g(x)在x=x0处的切线互相平行 若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由.
解：(1)当x<0时，-x>0，
f(x)=-f(-x)=-2(-x)2=-2x2.
所以当x<0时，f(x)的表达式为f(x)=-2x2.
(2)若f(x)，g(x)在x=x0处的切线互相平行，
则f'(x0)=g'(x0)，当x>0时，f'(x0)=4x0=g'(x0)=，解得x0=(舍负).故存在x0=满足条件.
14.(2025·泉州模拟)已知函数f(x)=ax3-2x2-2x+a(a≥0).
(1)当a=1时，若直线y=-3x+b与曲线y=f(x)相切，求b；
(2)若直线y=-2x-2与曲线y=f(x)恰有两个公共点，求a.　
解：(1)当a=1时，f(x)=x3-2x2-2x+1，f'(x)=3x2-4x-2，
因为直线y=-3x+b与曲线y=f(x)相切，
设切点为(x0，y0)，则切线斜率k=f'(x0)=3-4x0-2，
可得
解得或所以b=1或b=.
(2)因为直线y=-2x-2与曲线y=f(x)恰有两个公共点，
所以方程ax3-2x2-2x+a=-2x-2，
即方程a(x3+1)-2(x2-1)=0有两个不等实根，
易知x=-1是方程a(x3+1)-2(x2-1)=0的一个根.
当x≠-1时，方程可化为ax2-(a+2)x+a+2=0(*)，
依题意，方程(*)有不等于-1的唯一根，
若a=0，则(*)即-2x+2=0，x=1，满足条件；
若a>0，则由解得a=.综上所述，a=0或a=.
15.(2022·全国甲卷)已知函数f(x)=x3-x，g(x)=x2+a，曲线y=f(x)在点(x1，f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线.
(1)若x1=-1，求a；
(2)求a的取值范围.
解：(1)当x1=-1时，f(-1)=0，
所以切点坐标为(-1，0).
由f(x)=x3-x，得f'(x)=3x2-1，
所以切线斜率k=f'(-1)=2，
所以切线方程为y=2(x+1)，即y=2x+2.
将y=2x+2代入y=x2+a，得x2-2x+a-2=0.
由切线与曲线y=g(x)相切，得Δ=(-2)2-4(a-2)=0，解得a=3.
(2)由f(x)=x3-x，得f'(x)=3x2-1，所以切线斜率k=f'(x1)=3-1，所以切线方程为y-(-x1)=(3-1)(x-x1)，
即y=(3-1)x-2.
将y=(3-1)x-2代入y=x2+a，
得x2-(3-1)x+a+2=0.
由切线与曲线y=g(x)相切，
得Δ=(3-1)2-4(a+2)=0，
整理，得4a=9-8-6+1.
令h(x)=9x4-8x3-6x2+1，
则h'(x)=36x3-24x2-12x=12x(3x+1)(x-1)，
由h'(x)=0，得x=-，0，1，
h(x)，h'(x)随x的变化如下表所示：
x - 0 (0，1) 1 (1，+∞)
h'(x) - 0 + 0 - 0 +
h(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由上表知，当x=-时，h(x)取得极小值h=，
当x=1时，h(x)取得极小值h(1)=-4，
易知当x→-∞时，h(x)→+∞，当x→+∞时，h(x)→+∞，所以函数h(x)的值域为[-4，+∞)，
所以由4a∈[-4，+∞)，得a∈[-1，+∞)，
故实数a的取值范围为[-1，+∞).
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