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“2年高考1年模拟”课时精练（三十一） 函数y=Asin(ωx+φ)与三角函数的应用
1.y=2sin的振幅、频率和初相分别为 (　　)
A.2，4π， B.2，
C.2，，- D.2，4π，-
2.函数y=sin在区间上的简图是 (　　)
3.将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)=sin 3x的图象，则f(x)= (　　)
A.cos 3x B.-cos 3x
C.sin 3x D.-sin 3x
4.(2025·拉萨模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图，A，B是相邻的最低点和最高点，直线AB的方程为y=2x+，则f(4)= (　　)
A.- B.
C.- D.
5.(2025·郴州模拟)[多选]函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是 (　　)
A.ω=4
B.φ=-
C.f(x)的图象关于点对称
D.f(x)在区间上单调递增
6.(2025·南阳阶段练习)已知函数f(x)=4cos(ω>0)的图象与直线y=2的两个相邻交点是A，B，若|AB|=，则ω= (　　)
A.1 B.1或7
C.2 D.2或6
7.[多选]血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压.在未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人的收缩压≥140 mmHg或舒张压≥90 mmHg，则说明该成人有高血压.设从未使用抗高血压药的陈华今年45岁，从某天早晨6点开始计算(即早晨6点时，t=0 h)，他的血压p(t)(mmHg)与经过的时间t(h)满足关系式p(t)=115+20sin，则下列选项正确的是 (　　)
A.当天早晨6~7点，陈华的血压逐渐上升
B.当天早晨9点时陈华的血压为125 mmHg
C.当天陈华没有高血压
D.当天陈华的收缩压与舒张压之差为40 mmHg
8.(2024·湖州二模)已知函数f(x)=acos ωx(a≠0，ω>0)，若将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数y=g的图象，若关于x的方程g=0在上有且仅有两个不相等的实根，则实数ω的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.
9.(2025·鞍山质检)[多选]已知函数f(x)=sin x+cos2-，则 (　　)
A.f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数y=-cos x的图象
B.f(x)的图象与g=sin的图象关于y轴对称
C.f(x)的单调递减区间为(k∈Z)
D.f(x)在上有3个零点，则实数a的取值范围是
10.将函数y=sin x的图象向右平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是　　　　 　　　　.
11.(2025·佛山质检)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示，其中f(0)=，f=0，则f=　　　　.
12.(2025·长沙阶段练习)将函数f(x)=asin x+bcos x(a，b∈R且b≠0)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度后，得到一个奇函数图象，则=　　　　.
13.已知函数f(x)=sin(ω>0)的图象与x轴相邻两个交点的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)的图象恰好经过点，求当m取得最小值时，g(x)在上的单调递增区间.
14.如图为函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象，且=，A.
(1)求ω，φ的值；
(2)将f(x)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度，得到函数g的图象，讨论函数y=g-a在区间的零点个数.
（解析）精练（三十一） 函数y=Asin(ωx+φ)与三角函数的应用
1.y=2sin的振幅、频率和初相分别为 (　　)
A.2，4π， B.2，
C.2，，- D.2，4π，-
解析:选C　由题意知A=2，f===，初相为-.
2.函数y=sin在区间上的简图是 (　　)
解析:选A　令x=0得y=sin=-，排除B、D；由f=0，f=0，排除C.故选A.
3.将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)=sin 3x的图象，则f(x)= (　　)
A.cos 3x B.-cos 3x
C.sin 3x D.-sin 3x
解析:选B　由题意可知，将函数g(x)=sin 3x的图象向左平移个单位长度后得到函数f(x)的图象，故f(x)=sin=sin=-cos 3x，故选B.
4.(2025·拉萨模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图，A，B是相邻的最低点和最高点，直线AB的方程为y=2x+，则f(4)= (　　)
A.- B.
C.- D.
解析:选D　设直线AB与x轴交于点C，则点C的坐标为.由f(x)图象的对称性，知点C也在函数f(x)的图象上，设B(xB，2)，由kBC==2，得xB=，所以f(x)的最小正周期T满足=-=1，解得T=4，即=4，解得ω=，所以f(x)=2sin.因为点B是f(x)图象的一个最高点，所以f=2sin=2，结合0<φ<，解得φ=，所以f(x)=2sin，所以f(4)=2sin=.
5.(2025·郴州模拟)[多选]函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是 (　　)
A.ω=4
B.φ=-
C.f(x)的图象关于点对称
D.f(x)在区间上单调递增
解析:选BD　由已知图象可得=-=，所以T=π，ω==2，故A错误.已知图象过点，由“五点法”可得，2×+φ=+2kπ，k∈Z，所以φ=-+2kπ，k∈Z.因为|φ|<，所以φ=-，故B正确.由A、B可知，f(x)=sin.因为2×-=-≠kπ，k∈Z，所以点不是函数的对称中心，故C错误.因为π6.(2025·南阳阶段练习)已知函数f(x)=4cos(ω>0)的图象与直线y=2的两个相邻交点是A，B，若|AB|=，则ω= (　　)
A.1 B.1或7
C.2 D.2或6
解析:选D　法一　令4cos=2，得cos=，则ωx-=2kπ-或ωx-=2kπ+，k∈∈Z.因为A，B是函数f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点，由|AB|=，且ω>0，则+-==，或+-=-=，解得ω=2或ω=6.
法二　令4cos=2，得cos=，因为A，B是函数f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点，设A(x1，2)，B(x2，2)，则=或π，且ω>0，如图可知，|AB|=|x1-x2|=或.即=或=，解得ω=2或ω=6.故选D.
7.[多选]血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压.在未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人的收缩压≥140 mmHg或舒张压≥90 mmHg，则说明该成人有高血压.设从未使用抗高血压药的陈华今年45岁，从某天早晨6点开始计算(即早晨6点时，t=0 h)，他的血压p(t)(mmHg)与经过的时间t(h)满足关系式p(t)=115+20sin，则下列选项正确的是 (　　)
A.当天早晨6~7点，陈华的血压逐渐上升
B.当天早晨9点时陈华的血压为125 mmHg
C.当天陈华没有高血压
D.当天陈华的收缩压与舒张压之差为40 mmHg
解析:选ABD　由已知，当天早晨6~7点，则t∈[0，1]，t+∈，所以函数p(t)在[0，1]上单调递增，陈华的血压逐渐上升，故A正确.当t=3时，p(t)=115+20sin =125，所以当天早晨9点时陈华的血压为125 mmHg，故B正确.因为p(t)的最大值为115+20=135，最小值为115-20=95≥90，所以陈华的收缩压为135 mmHg，舒张压为95 mmHg，因此陈华有高血压，故C错误.他的收缩压与舒张压之差为40 mmHg，故D正确.
8.(2024·湖州二模)已知函数f(x)=acos ωx(a≠0，ω>0)，若将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数y=g的图象，若关于x的方程g=0在上有且仅有两个不相等的实根，则实数ω的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.
解析:选B　将函数f(x)=acos ωx(a≠0，ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到函数y=g的图象，且g=acos=acos，∵x∈，∴ωx+∈.∵g=0在上有且仅有两个不相等的实根，∴ω+∈，解得≤ω<4，即实数ω的取值范围是，故选B.
9.(2025·鞍山质检)[多选]已知函数f(x)=sin x+cos2-，则 (　　)
A.f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数y=-cos x的图象
B.f(x)的图象与g=sin的图象关于y轴对称
C.f(x)的单调递减区间为(k∈Z)
D.f(x)在上有3个零点，则实数a的取值范围是
解析:选ABC　因为f(x)=sin x+cos2-=sin x+×-=sin x+cos x，所以f(x)=sin.f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数y=sin，即y=sin=-cos x，A正确.f=sin=sin=sin=g(x)，B正确.由+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z，解得+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)，C正确.因为x∈，所以x+∈.因为f(x)在上有3个零点，所以3π≤+a<4π，解得≤a<，D错误，故选ABC.
10.将函数y=sin x的图象向右平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是　　　　 　　　　.
解析:y=sin xy=siny=sin.
答案:y=sin
11.(2025·佛山质检)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示，其中f(0)=，f=0，则f=　　　　.
解析:由已知可得f(0)=sin φ=，
f(x)在x=0处附近单调递增，且0<φ<π，
故φ=.又点是函数f(x)=sin的图象在y轴右侧的第一个对称中心，
所以+=π，可得ω=2，故f(x)=sin.所以f=sin=-.
答案:-
12.(2025·长沙阶段练习)将函数f(x)=asin x+bcos x(a，b∈R且b≠0)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度后，得到一个奇函数图象，则=　　　　.
解析:将函数f(x)=asin x+bcos x(a，b∈R且b≠0)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)=f=asinx+bcos x(a，b∈R)的图象，再将所得图象向左平移个单位长度后，得到函数h(x)=g=asin +bcos (a，b∈R)的图象，因为h(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以有h(0)=asin+bcos =a+b=0，解得=-.
答案:-
13.已知函数f(x)=sin(ω>0)的图象与x轴相邻两个交点的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)的图象恰好经过点，求当m取得最小值时，g(x)在上的单调递增区间.
解:(1)由函数f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，得函数f(x)的最小正周期为T=2×=，得ω=1，故函数f(x)的解析式为f(x)=sin.
(2)将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)=sin=sin的图象，根据g(x)的图象恰好经过点，
可得sin=0，即sin=0，
所以2m-=kπ(k∈Z)，m=+(k∈Z).
因为m>0，所以当k=0时，m取得最小值，且最小值为.此时g(x)=sin.
因为x∈，所以2x+∈.
当2x+∈，即x∈时，g(x)单调递增；
当2x+∈，即x∈时，g(x)单调递增.
综上，g(x)在区间上的单调递增区间是和.
14.如图为函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象，且=，A.
(1)求ω，φ的值；
(2)将f(x)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度，得到函数g的图象，讨论函数y=g-a在区间的零点个数.
解:(1)根据题意，得=，故T=π，ω==2，故f(x)=2cos.将A代入，得2×+φ=-π+2kπ，解得φ=-+2kπ.又<，故φ=-.
(2)依题意，g=2cos
=2cos.
函数y=g-a在区间的零点个数即为函数g的图象与直线y=a在上的交点个数.
当x∈时，x-∈，结合余弦函数图象可知，
当x∈时，g单调递减，当x∈时，g单调递增，
且g=-1，g=1，g=-2，作出函数g在上的大致图象如图所示.
观察可知，当a=-2或-11时，y=g-a有0个零点.
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