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“2年高考1年模拟”课时精练（三十五） 平面向量的概念及线性运算
1.(2025·宿州期中)[多选]下列命题正确的有 (　　)
A.若a=b，则3a>2b
B.--=
C.|a|+|b|=|a+b| a与b的方向相反
D.若非零向量a，b满足|a+b|=|a-b|，则向量a与b的夹角为
2.(2025·福州模拟)如图，梯形ABCD的腰CD的中点为E，且BC=3AD，记=m，=n，则= (　　)
A.-m+2n B.m+2n
C.-2m+n D.-m+n
3.已知向量e1，e2是两个不共线的向量，a=2e1-e2与b=e1+λe2共线，则λ等于 (　　)
A.2 B.-2
C.- D.
4.在边长为1的正方形ABCD中，设=a，=b，=c，则|a-b+c|等于 (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
5.在△ABC中，=，P是直线BN上一点.若=m+，则实数m的值为 (　　)
A.-4 B.-1
C.1 D.4
6.在△ABC中，若3=2-2，则点D (　　)
A.在直线AB上 B.在直线AC上
C.在直线BC上 D.为△ABC的外心
7.(2025·南宁期末)已知O为△ABC内一点，且满足3+4+5=2+3+，则= (　　)
A. B.
C. D.
8.已知△ABO中，OA=OB=1，∠AOB=，若OC与线段AB交于点P，且满足=λ+μ，||=，则λ+μ的最大值为 (　　)
A. B.1
C. D.2
9.(2025·哈尔滨阶段练习)[多选]设M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是 (　　)
A.若=+，则M是边BC的中点
B.若MA=MB=MC，则M是△ABC的垂心
C.若=--，则M是△ABC的重心
D.若=λ，则动点M过△ABC的内心
10.已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，且=a，=b，则=　　　　，=　　　　.(用a，b表示)
11.若||=||=|-|=2，则|+|=　　　　.
12.在平行四边形ABCD中，G为△BCD的重心，=x+y，则3x+y=　　　　.
13.在△ABC中，E是BC边上一点，且BE=3EC，点F为AE的延长线上一点，写出使得=λ+μ成立的λ，μ的一组数据为　　　　.
14.如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，==a，=b.
(1)用a，b表示；
(2)求证:B，E，F三点共线.
15.已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点.
(1)求++；
(2)若PQ过△ABO的重心G，且=a，=b，=ma，=nb，求证:+=3.
所以++=-+=0.
（解析）精练（三十五） 平面向量的概念及线性运算
1.(2025·宿州期中)[多选]下列命题正确的有 (　　)
A.若a=b，则3a>2b
B.--=
C.|a|+|b|=|a+b| a与b的方向相反
D.若非零向量a，b满足|a+b|=|a-b|，则向量a与b的夹角为
解析:选BD　对于A，向量不能比较大小，所以A不正确；对于B，--=+-=-=，B正确；对于C，|a|+|b|=|a+b|时，a，b方向相同，C不正确；对于D，因为|a+b|=|a-b|，所以a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b，即a·b=0，所以向量a与b的夹角为，D正确.故选BD.
2.(2025·福州模拟)如图，梯形ABCD的腰CD的中点为E，且BC=3AD，记=m，=n，则= (　　)
A.-m+2n B.m+2n
C.-2m+n D.-m+n
解析:选A　因为BC=3AD，又+++=0，所以=---=-m-3n+n=-m-2n，又E为腰CD的中点，所以=+=+=3n-m-n=-m+2n，故选A.
3.已知向量e1，e2是两个不共线的向量，a=2e1-e2与b=e1+λe2共线，则λ等于 (　　)
A.2 B.-2
C.- D.
解析:选C　因为a=2e1-e2与b=e1+λe2共线，所以ka=b，k≠0，所以k(2e1-e2)=e1+λe2.因为向量e1，e2是两个不共线的向量，所以解得λ=-.
4.在边长为1的正方形ABCD中，设=a，=b，=c，则|a-b+c|等于 (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:选B　因为四边形ABCD是边长为1的正方形，=a，=b，=c，所以a-b+c=-+=-+(+)=2.又||=1，所以|a-b+c|=|2|=2.
5.在△ABC中，=，P是直线BN上一点.若=m+，则实数m的值为 (　　)
A.-4 B.-1
C.1 D.4
解析:选B　∵=，∴=5.又=m+，∴=m+2，由B，P，N三点共线可知，m+2=1，∴m=-1.
6.在△ABC中，若3=2-2，则点D (　　)
A.在直线AB上 B.在直线AC上
C.在直线BC上 D.为△ABC的外心
解析:选A　因为3=2-2=2(-)=2，所以和共线.因为BD和AB有公共点B，所以A，B，D三点共线，所以点D在直线AB上.
7.(2025·南宁期末)已知O为△ABC内一点，且满足3+4+5=2+3+，则= (　　)
A. B.
C. D.
解析:选B　因为3+4+5=2+3+，所以3+4+5=2(-)+3(-)+(-)，即4+5+3=0.所以4+5=3，即+=.延长至H点，令=+=，即A，H，B三点共线，则==.故选B.
8.已知△ABO中，OA=OB=1，∠AOB=，若OC与线段AB交于点P，且满足=λ+μ，||=，则λ+μ的最大值为 (　　)
A. B.1
C. D.2
解析:选D　∵线段OC与线段AB交于点P，设=x (x≥1)，则x=λ+μ，∴=+.又P，A，B三点共线，∴+=1，即λ+μ=x.∵OA=OB=1，∴当P为AB中点时||最小，此时x最大.又∠AOB=，故此时||=，又||=，∴=2，即x=2，即λ+μ的最大值为2.
9.(2025·哈尔滨阶段练习)[多选]设M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是 (　　)
A.若=+，则M是边BC的中点
B.若MA=MB=MC，则M是△ABC的垂心
C.若=--，则M是△ABC的重心
D.若=λ，则动点M过△ABC的内心
解析:选ACD　对于A，如图所示，根据向量加法的平行四边形法则，可得+==2，
若=+，可得M是边BC的中点，故A正确；对于B，若MA=MB=MC，则M是△ABC的外心，故B错误；对于C，若=--，则++=0，即++=0，所以M是△ABC的重心，故C正确；对于D，因为表示方向的单位向量，表示方向的单位向量，所以+与∠BAC的角平分线同向，又=λ，则M在∠BAC的角平分线上，所以动点M过△ABC的内心，故D正确.故选ACD.
10.已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，且=a，=b，则=　　　　，=　　　　.(用a，b表示)
解析:如图，==-=b-a，=-=--=-a-b.
答案:b-a　-a-b
11.若||=||=|-|=2，则|+|=　　　　.
解析:因为||=||=|-|=2，所以△ABC是边长为2的正三角形，所以|+|为△ABC的边BC上的高的2倍，所以|+|=2.
答案:2
12.在平行四边形ABCD中，G为△BCD的重心，=x+y，则3x+y=　　　　.
解析:如图，设AC与BD相交于点O，因为G为△BCD的重心，所以O为BD的中点，CG=2GO.则=+=+==×=+，则x=y=，故3x+y=.
答案:
13.在△ABC中，E是BC边上一点，且BE=3EC，点F为AE的延长线上一点，写出使得=λ+μ成立的λ，μ的一组数据为　　　　.
解析:由题意知=-，而BE=3EC，故=(-)，则=+=+(-)=+.又点F为AE的延长线上一点，故=t(t>1)，可取t=2，则=2=+，故使得=λ+μ成立的λ，μ的一组数据为.
答案:(答案不唯一)
14.如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，==a，=b.
(1)用a，b表示；
(2)求证:B，E，F三点共线.
解:(1)在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，
则=+=+=+(-)=+=a+b，
故==a+b，
=-=a+b-a=b-a.
(2)证明:因为=b-a=(b-2a)，
=-=b-a=(b-2a)，
所以=，所以∥.
又有公共点B，所以B，E，F三点共线.
15.已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点.
(1)求++；
(2)若PQ过△ABO的重心G，且=a，=b，=ma，=nb，求证:+=3.
解:(1)因为+=2，2=-，
所以++=-+=0.
(2)证明:显然=(a+b).
因为G是△ABO的重心，
所以==(a+b).
由P，G，Q三点共线，得∥，
所以有且只有一个实数λ，使=λ.
因为=-=(a+b)-ma
=a+b，=-
=nb-(a+b)=-a+b，
所以a+b=λ.
又因为a，b不共线，所以消去λ，
整理得3mn=m+n，故+=3.
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