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“2年高考1年模拟”课时精练（三十四） 余弦定理、正弦定理应用举例
1.某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得∠C=120°，BC=40米，AC=60米，则A，B间的直线距离约为(参考数据:≈1.732) (　　)
A.60米 B.130米
C.150米 D.300米
2.一艘游船从海岛A出发，沿南偏东20°的方向航行8海里后到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东40°的方向航行16海里后到达海岛C，若游船从海岛A出发沿直线到达海岛C，则航行的路程为 (　　)
A.12海里 B.8 海里
C.8 海里 D.8 海里
3.如图，在山脚下P处经过山腰N到山顶M拉一条电缆，其中，PN的长为a m，MN的长为2a m，在P处测得N的仰角为30°，在N处测得M的仰角为30°.则此山的高度为 (　　)
A. m B. m
C. m D.2a m
4.如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距500 km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从A点起飞以后，就沿与原来的飞行方向AB成12°角的方向飞行，飞行到中途C点，再沿与原来的飞行方向AB成18°角的方向继续飞行到终点B点.这样飞机的飞行路程比原来的路程500 km大约多飞了(sin 12°≈0.21，sin 18°≈0.31) (　　)
A.10 km B.20 km
C.30 km D.40 km
5.如图，为了测量两个信号塔塔尖M，N之间的距离，选取了同一水平面内的两个测量基点P与Q(M，N，P，Q在同一铅垂平面内).已知在点P处测得点M的仰角为15°，点N的仰角为45°，在点Q处测得点M的仰角为30°，点N的仰角为15°，且PQ=400 m，则MN= (　　)
A.200 m B.400 m
C.400 m D.400 m
6.某班课外学习小组利用“镜面反射法”来测量学校内建筑物的高度.步骤如下:①将镜子(平面镜)置于平地上，人后退至从镜中能看到房顶的位置，测量出人与镜子的距离；②将镜子后移，重复①中的操作；③求建筑物高度.如图所示，前后两次人与镜子的距离分别为a1 m，a2 m(a2>a1)，两次观测时镜子间的距离为a m，人的“眼高”为h m，则建筑物的高度为 (　　)
A. m B. m
C. m D. m
7.公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上.某人在点A处测得楼顶的仰角为45°，他在公路上自西向东行走，行走60米到点B处，测得仰角为45°，沿该方向再行走60米到点C处，测得仰角为θ，则sin θ= (　　)
A. B.3
C.-2 D.-
8.[多选]某货轮在A处测得灯塔B在北偏东75°，距离为12 n mile，测得灯塔C在北偏西30°，距离为8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，测得灯塔B在南偏东60°，则下列说法正确的是 (　　)
A.A处与D处之间的距离是24 n mile
B.灯塔C与D处之间的距离是16 n mile
C.灯塔C在D处的南偏西30°
D.D在灯塔B的北偏西30°
9.气象台A在早上8:00观测到一台风，台风中心在气象台A正西方向300 km处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为40 km/h，距离台风中心100 km以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为 (　　)
A.12:00—17:00 B.13:00—18:00
C.13:00—17:00 D.14:00—18:00
10.在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行.此时，风向是北偏东30°方向，风速是20 km/h；水的流向是正东方向，流速是20 km/h.若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东　　　　方向，大小为　　　　 km/h.
11.天门山，古称嵩梁山，位于湖南省张家界市永定区大庸中路11号，属武陵山脉向东进入洞庭湖平原的余脉.为了测量天门山的海拔，某人站在海拔600米的点A处，他让无人机从点A起飞，垂直向上飞行400米到达点B处，测得天门山的最高点C处的仰角为45°，他遥控无人机从点B处移动到点D处(BD平行于地平面)，已知B与D之间的距离为518米，从点D处测得天门山的最高点C处的仰角为α(tan α=2).
(1)设平面β过BD且平行于地平面，点C到平面β的距离为h米，求BC与CD的长(用h表示)；
(2)已知cos∠BCD=，求天门山的海拔.
12.如图，某乡镇绿化某一座山体，以地面为基面，在基面上选取A，B，C，D四个点，使得AD=2BC，测得∠BAD=30°，∠BCD=45°，∠ADC=120°.
(1)若B，D选在两个村庄，两村庄之间有一直线型隧道，且BD=10 km，CD=20 km，求A，C两点间距离；
(2)求tan∠BDC的值.
（解析）精练（三十四） 余弦定理、正弦定理应用举例
1.某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得∠C=120°，BC=40米，AC=60米，则A，B间的直线距离约为(参考数据:≈1.732) (　　)
A.60米 B.130米
C.150米 D.300米
解析:选B　由题设，在△ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos C=12 400+2 400≈16 557，所以AB≈130米.故选B.
2.一艘游船从海岛A出发，沿南偏东20°的方向航行8海里后到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东40°的方向航行16海里后到达海岛C，若游船从海岛A出发沿直线到达海岛C，则航行的路程为 (　　)
A.12海里 B.8 海里
C.8 海里 D.8 海里
解析:选D　根据题意知，在△ABC中，∠ABC=20°+40°=60°，AB=8海里，BC=16海里，由余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2AB×BC×cos∠ABC=82+162-2×8×16×=192，∴AC=8 海里.
3.如图，在山脚下P处经过山腰N到山顶M拉一条电缆，其中，PN的长为a m，MN的长为2a m，在P处测得N的仰角为30°，在N处测得M的仰角为30°.则此山的高度为 (　　)
A. m B. m
C. m D.2a m
解析:选B　如图，设A，B分别为M，N在地平面的投影，MA⊥NC，则由题意，CA=NB=NPsin 30°=，MC=MNsin 30°=a，故此山高度MA=MC+CA= m.
4.如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距500 km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从A点起飞以后，就沿与原来的飞行方向AB成12°角的方向飞行，飞行到中途C点，再沿与原来的飞行方向AB成18°角的方向继续飞行到终点B点.这样飞机的飞行路程比原来的路程500 km大约多飞了(sin 12°≈0.21，sin 18°≈0.31) (　　)
A.10 km B.20 km
C.30 km D.40 km
解析:选B　在△ABC中，由A=12°，B=18°，得C=150°，由正弦定理得==，所以≈≈，所以AC=310 km，BC=210 km，所以AC+BC-AB=20 km.
5.如图，为了测量两个信号塔塔尖M，N之间的距离，选取了同一水平面内的两个测量基点P与Q(M，N，P，Q在同一铅垂平面内).已知在点P处测得点M的仰角为15°，点N的仰角为45°，在点Q处测得点M的仰角为30°，点N的仰角为15°，且PQ=400 m，则MN= (　　)
A.200 m B.400 m
C.400 m D.400 m
解析:选D　如图，过M作MM1⊥PQ，垂足为M1，过N作NN1⊥PQ，垂足为N1.
由题意可知，∠MQM1=30°，∠NQN1=15°，∠MPM1=15°，∠NPN1=45°，PQ=400 m，
∴∠MQN1=180°-∠MQM1=150°，∴在△MQP中，∠QMP=180°-150°-15°=15°，即∠QMP=∠QPM=15°，∴MQ=PQ=400 m.在△QPN中，∠QPN=180°-∠NPN1=135°，∠PNQ=45°-15°=30°，由正弦定理，得=，即=，解得NQ=400 m.在△QMN中，∠MQN=180°-30°-15°=135°，且MQ=400 m，NQ=400 m，由余弦定理，得MN2=MQ2+NQ2-2MQ×NQcos∠MQN，解得MN=400 m.
6.某班课外学习小组利用“镜面反射法”来测量学校内建筑物的高度.步骤如下:①将镜子(平面镜)置于平地上，人后退至从镜中能看到房顶的位置，测量出人与镜子的距离；②将镜子后移，重复①中的操作；③求建筑物高度.如图所示，前后两次人与镜子的距离分别为a1 m，a2 m(a2>a1)，两次观测时镜子间的距离为a m，人的“眼高”为h m，则建筑物的高度为 (　　)
A. m B. m
C. m D. m
解析:选A　设建筑物的高度为x，如图所示，
由△HGF∽△DEF，得= EF==，由△ABC∽△DEC，得= =，所以ha+xa1=xa2 x=-ha x=.故选A.
7.公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上.某人在点A处测得楼顶的仰角为45°，他在公路上自西向东行走，行走60米到点B处，测得仰角为45°，沿该方向再行走60米到点C处，测得仰角为θ，则sin θ= (　　)
A. B.3
C.-2 D.-
解析:选A　如图所示，由题意有DE=AB=BC=60，∠DAE=∠DBE=45°，则有AE=BE=AB=60，故∠EAB=60°，则EC==60，故DC==120，则sin θ=sin∠DCE==.
8.[多选]某货轮在A处测得灯塔B在北偏东75°，距离为12 n mile，测得灯塔C在北偏西30°，距离为8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，测得灯塔B在南偏东60°，则下列说法正确的是 (　　)
A.A处与D处之间的距离是24 n mile
B.灯塔C与D处之间的距离是16 n mile
C.灯塔C在D处的南偏西30°
D.D在灯塔B的北偏西30°
解析:选AC　由题意可知∠ADB=60°，∠BAD=75°，∠CAD=30°，所以B=180°-60°-75°=45°，AB=12，AC=8.在△ABD中，由正弦定理得=，所以AD==24(n mile)，故A正确；在△ACD中，由余弦定理得CD===8(n mile)，故B错误；由B项解析知CD=AC，所以∠CDA=∠CAD=30°，所以灯塔C在D处的南偏西30°，故C正确；由∠ADB=60°，得D在灯塔B的北偏西60°，故D错误.
9.气象台A在早上8:00观测到一台风，台风中心在气象台A正西方向300 km处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为40 km/h，距离台风中心100 km以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为 (　　)
A.12:00—17:00 B.13:00—18:00
C.13:00—17:00 D.14:00—18:00
解析:选B　如图，由余弦定理，得AB2=OB2+OA2-2OB·OAcos 45°，于是OB2-600OB+80 000=0，解得OB=200或OB=400，所以台风从O到B用时=5 h，台风从O到C用时=10 h.故气象台A受到台风影响的时间是早上8:00后的5小时至10小时之间，即13:00—18:00.故选B.
10.在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行.此时，风向是北偏东30°方向，风速是20 km/h；水的流向是正东方向，流速是20 km/h.若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东　　　　方向，大小为　　　　 km/h.
解析:如图，∠AOB=60°，∠OAC=120°，||=||，所以∠AOC=30°，
所以救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东60°，由余弦定理知OC2=202+202-800cos 120°=1 200，解得OC=20.
答案:60°　 20
11.天门山，古称嵩梁山，位于湖南省张家界市永定区大庸中路11号，属武陵山脉向东进入洞庭湖平原的余脉.为了测量天门山的海拔，某人站在海拔600米的点A处，他让无人机从点A起飞，垂直向上飞行400米到达点B处，测得天门山的最高点C处的仰角为45°，他遥控无人机从点B处移动到点D处(BD平行于地平面)，已知B与D之间的距离为518米，从点D处测得天门山的最高点C处的仰角为α(tan α=2).
(1)设平面β过BD且平行于地平面，点C到平面β的距离为h米，求BC与CD的长(用h表示)；
(2)已知cos∠BCD=，求天门山的海拔.
解:(1)如图，过C作CO⊥β，垂足为O，则CO=h米，∠CBO=45°，∠CDO=α， 在Rt△COB中，BC==h米.在Rt△COD中，CD=米，因为tan α=2，所以sin α=，所以CD=米.
(2)在△BCD中，由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD，由(1)得5182=2h2+-h2×，整理得5182=h2，即h=518，
所以天门山的海拔为600+400+518=1 518米.
12.如图，某乡镇绿化某一座山体，以地面为基面，在基面上选取A，B，C，D四个点，使得AD=2BC，测得∠BAD=30°，∠BCD=45°，∠ADC=120°.
(1)若B，D选在两个村庄，两村庄之间有一直线型隧道，且BD=10 km，CD=20 km，求A，C两点间距离；
(2)求tan∠BDC的值.
解:(1)在△BCD中，由正弦定理得=，即=，
解得sin∠CBD=1，所以∠CBD=90°，
则△BCD为等腰直角三角形，所以BC=10，
则AD=2BC=40.
在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD×CDcos∠ADC=1 600+400-2×40×20×=2 800，故AC=20.故A，C两点间距离为20 km.
(2)设∠BDC=θ，则由题意可知，∠ADB=120°-θ，∠ABD=30°+θ.在△ABD中，由正弦定理得=，即=2sin(30°+θ).
在△BCD中，由正弦定理得=，即=sin θ.
又AD=2BC，所以2sin(30°+θ)=2×sin θ cos θ+sin θ=2sin θ，
解得tan θ=，所以tan∠BDC=.
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