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“2年高考1年模拟”课时精练（三十三） 解三角形的综合问题
1.(2025·西安模拟)在平行四边形ABCD中，AB=BD=2，AC=2，则该平行四边形的面积为 (　　)
A. B.
C.2 D.4
2.(2025·吉林模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，则的最大值为 (　　)
A. B.
C. D.
3.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2=a(a+b)，则的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.
4.(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，BC=，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD=　　　　.
5.(2025·张家界模拟)记△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin(B+C)=b(sin B-sin C)+csin C.
(1)求A；
(2)若a=2，求△ABC的面积的最大值.
6.(2025·河南模拟)如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，∠ADC=120°，AB=CD=2AD，△ACD的面积为.
(1)求sin∠CAB；
(2)求证:∠CAB=∠CAD.
7.(2025·杭州期中)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足b=a-2bcos C.
(1)求证:C=2B；
(2)求2sin C+cos B-sin B的最大值.
8.(2025·辽宁期中)古希腊数学家托勒密对凸四边形(凸四边形是指没有角度大于180°的四边形)进行研究，终于有重大发现:任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立.且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大.根据上述材料，解决以下问题，如图，在凸四边形ABCD中，
(1)若AB=，BC=1，∠ACD=，AC=CD(图1)，求线段BD长度的最大值；
(2)若AB=2，BC=6，AD=CD=4(图2)，求四边形ABCD面积取得最大值时角A的大小，并求出四边形ABCD面积的最大值；
(3)在满足(2)的条件下，若点P是△ABD外接圆上异于B，D的点，求PB+PD的最大值.
（解析）精练（三十三） 解三角形的综合问题
1.(2025·西安模拟)在平行四边形ABCD中，AB=BD=2，AC=2，则该平行四边形的面积为 (　　)
A. B.
C.2 D.4
解析:选A　设AC与BD交于点O，在△ABO中，
cos∠ABO===，所以sin∠ABO=，故平行四边形ABCD的面积S=2××AB×BD×sin∠ABO=2××2×2×=.
2.(2025·吉林模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，则的最大值为 (　　)
A. B.
C. D.
解析:选A　因为S=bcsin A，a2=b2+c2-2bccos A，则设=≤===t，当且仅当b=c时，等号成立，所以sin A=6t-2tcos A，即sin A+2tcos A=6t≤ ，∴t≤.
3.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2=a(a+b)，则的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.
解析:选B　在△ABC中，由c2=a(a+b)，得c2=a2+ab，又c2=a2+b2-2abcos C，则a2+ab=a2+b2-2abcos C，即a+2acos C=b.由正弦定理得sin A+2sin Acos C=sin B，而B=π-(A+C)，于是sin A+2sin Acos C=sin(A+C)=sin A·cos C+cos Asin C，即sin A=sin(C-A).由c2=a2+ab，得c>a，即有C-A>0，由△ABC为锐角三角形，得04.(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，BC=，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD=　　　　.
解析:法一　由余弦定理得cos 60°=，整理得AC2-2AC-2=0，得AC=1+(负值舍去).又S△ABC=S△ABD+S△ACD，所以×2ACsin 60°=×2ADsin 30°+AC×ADsin 30°，所以AD===2.
法二　由角平分线定理得=，又BD+CD=，所以BD=，CD=.由角平分线长公式得AD2=AB×AC-BD×CD=2AC-，又由法一知AC=1+，所以AD2=2+2-=2+2-(2-2)=4，所以AD=2.
答案:2
5.(2025·张家界模拟)记△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin(B+C)=b(sin B-sin C)+csin C.
(1)求A；
(2)若a=2，求△ABC的面积的最大值.
解:(1)由asin(B+C)=b(sin B-sin C)+csin C，
得asin A=bsin B+(c-b)sin C，
由正弦定理，得a2=b2+(c-b)c=b2+c2-bc.
由余弦定理，得cos A===.
又A∈(0，π)，所以A=.
(2)由余弦定理cos A==，a=2，
所以b2+c2-20=bc.
因为b2+c2≥2bc，
所以b2+c2-20=bc≥2bc-20，
所以bc≤20，当且仅当b=c=2时取等号.
所以△ABC的面积S=bcsin A≤5.
所以△ABC面积的最大值为5.
6.(2025·河南模拟)如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，∠ADC=120°，AB=CD=2AD，△ACD的面积为.
(1)求sin∠CAB；
(2)求证:∠CAB=∠CAD.
解:(1)设CD=2AD=2a，a>0，
因为△ACD的面积为，∠ADC=120°，
所以×2a×a×sin 120°=，解得a=1，
所以AB=CD=2，AD=1.
在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos 120°=1+4-2×2×1×=7，所以AC=.
在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=2，所以BC===，
所以sin∠CAB===.
(2)证明:由(1)可得CD=2，AC=，
在△ACD中，由正弦定理得=，
所以sin∠CAD===，且0°<∠CAD<60°.
由(1)可得sin∠CAB=，又0°<∠CAB<90°，
所以∠CAB=∠CAD.
7.(2025·杭州期中)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足b=a-2bcos C.
(1)求证:C=2B；
(2)求2sin C+cos B-sin B的最大值.
解:(1)证明:由题意b=a-2bcos C，
由正弦定理得sin B=sin A-2sin Bcos C=sin(B+C)-2sin Bcos C，
所以sin B=sin Bcos C+cos Bsin C-2sin Bcos C，
整理得sin B=sin Ccos B-cos Csin B，
所以sin B=sin(C-B)，结合三角形内角性质，
所以B=C-B或B+C-B=π(舍去)，
所以C=2B.
(2)由0且sin=-sin=-sincos+cossin=，
又2sin C+cos B-sin B=2sin 2B+cos B-sin B，
令t=cos B-sin B=sin∈，则sin 2B=1-(cos B-sin B)2，
所以2sin C+cos B-sin B=2(1-t2)+t=-2t2+t+2=-2+.
因为t∈，所以当t=时，2sin C+cos B-sin B的最大值为.
8.(2025·辽宁期中)古希腊数学家托勒密对凸四边形(凸四边形是指没有角度大于180°的四边形)进行研究，终于有重大发现:任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立.且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大.根据上述材料，解决以下问题，如图，在凸四边形ABCD中，
(1)若AB=，BC=1，∠ACD=，AC=CD(图1)，求线段BD长度的最大值；
(2)若AB=2，BC=6，AD=CD=4(图2)，求四边形ABCD面积取得最大值时角A的大小，并求出四边形ABCD面积的最大值；
(3)在满足(2)的条件下，若点P是△ABD外接圆上异于B，D的点，求PB+PD的最大值.
解:(1)由AB=，BC=1，∠ACD=，AC=CD，得AD=CD.
由题意可得AB×CD+BC×AD≥AC×BD，
即AB×CD+BC×CD≥CD×BD，
即+≥BD，当且仅当A，B，C，D四点共圆时等号成立，
即BD的最大值为2.
(2)如图，连接BD，因为四点共圆时四边形的面积最大，AB=2，BC=6，AD=CD=4，
所以A+C=π，即cos C=-cos A，sin A=sin C，
在△ABD中，BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos A=4+16-2×2×4cos A=20-16cos A，　①
在△BCD中，由余弦定理可得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C=36+16+2×6×4cos A=52+48cos A，　②
由①②可得20-16cos A=52+48cos A，
解得cos A=-，而A∈(0，π)，可得A=，
所以sin A=sin C=，
此时S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=AB×AD×sin A+BC×CD×sin C=×2×4×+×6×4×=8.
所以A=时，四边形ABCD面积取得最大值，且最大值为8.
(3)由题意可知A+P=π，即cos P=-cos A=，在△BPD中，由余弦定理得BD2=PB2+PD2-2PB·PDcos P=PB2+PD2-PB·PD=52+48cos A，
故PB2+PD2-PB·PD=28，即(PB+PD)2-3PB·PD=28，
故(PB+PD)2=28+3PB·PD≤28+3，
故PB+PD≤=4，当且仅当PB=PD=2时等号成立，
故PB+PD的最大值为4.
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