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“2年高考1年模拟”课时精练（七十四） 离散型随机变量及其分布
1.[多选]下列随机变量是离散型随机变量的是 (　　)
A.某景点一天的游客数X
B.某篮球下降过程中离地面的距离X
C.水文站观测到江水的水位数X
D.某收费站一天内通过的汽车车辆数X
2.已知随机变量X服从两点分布，且P(X=1)=0.6，设Y=3X-2，那么P(Y=-2)等于 (　　)
A.0.6 B.0.3
C.0.2 D.0.4
3.已知随机变量X的分布列如下表所示，则E(X)= (　　)
X 0 2 4
P m 1-3m
A.2 B.3
C.4 D.5
4.(2025·广州模拟)已知随机变量X的分布列如下表所示：
X -1 0 1
P m n
若P(X≤0)=，且2X+Y=1，则D(Y)= (　　)
A. B.
C. D.
5.一个人有n把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意地进行试开，若试开过的钥匙放在一旁，试过的次数X为随机变量，则P(X=k)= (　　)
A. B.
C. D.
∴P(X=k)=××…××=.
6.某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c(a，b，c∈[0，1))，已知他比赛一局得分的均值为1，则ab的最大值为 (　　)
A. B.
C. D.
7.某企业计划加大技改力度，需要换一台设备，现有两种品牌的设备可供选择，A品牌设备需投入60万元，B品牌设备需投入90万元，企业对两种品牌设备的使用年限情况进行了抽样调查：
A品牌的使用年限 2 3 4 5
概率 0.4 0.3 0.2 0.1
B品牌的使用年限 2 3 4 5
概率 0.1 0.3 0.4 0.2
更换设备技改后，每年估计可增加效益100万元，从年均收益的角度分析 (　　)
A.不更换设备 B.更换为A设备
C.更换为B设备 D.更换为A或B设备均可
8.[多选]随机变量ξ的分布列如表所示，其中xy≠0，下列说法正确的是 (　　)
ξ 0 1 2
P x
A.x+y=1 B.E(ξ)=
C.D(ξ)有最大值 D.D(ξ)随y的增大而减小
9.袋内有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记X=则X的分布列为　　　　　　.
X 0 1
P
X 0 1
P
10.已知离散型随机变量X的分布列为
X 0 2 a
P 0.2 0.4 b
若E(X)<1.6，则正整数a=　　　　.
11.现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ=2)=　　　　，E(ξ)=　　　　.
12.随着相关科技成果不断落地，人工智能技术与实体经济加速融合，助推传统产业转型升级，某公司利用人工智能技术推动产业转型升级，三个产业转型升级的指标值ξ是随机变量，ξ的可能取值为0，1，x，且P(ξ=0)=，P(ξ=1)=，E(ξ)=.
(1)求x和D(ξ)的值；
(2)若η=3ξ-1，求E(η)和D(η)的值.
13.(2025·北京模拟)“地上文物看山西”，由于山西现存大量的古代建筑，今年暑期来自全国各地的游客都选择山西作为旅游目的地.某景区趁此时机，举行暑期网上购票抽奖立减活动，在网上购买该景区门票的游客，可通过手机扫景区提供的二维码进入抽奖活动页面，每张门票可从6个减免红包中随机抽取2个进行门票价格立减，6个红包的金额分别为5元、5元、10元、10元、30元、30元，已知该景区门票每张100元，全部实行网上购票.
(1)记购买1张门票的游客通过抽奖获得的红包金额之和为X，求X的分布列与期望；
(2)已知每位游客除门票外平均在该景区消费20元、60元、90元的概率分别为，举行此抽奖活动后预计可使该景区暑期客流量增加40%，假设每位购票游客都进行了抽奖，回答下列问题并说明理由；
①举行抽奖活动后该景区暑期的门票收入是增加了，还是减少了
②举行抽奖活动后该景区暑期的总收入是增加了，还是减少了
14.(2025·合肥模拟)高三联考数学试卷的多项选择题每小题满分6分，每小题有4个选项，其中只有2个或者3个选项是正确的.若正确选项有2个，则选对其中1个得3分；若正确选项有3个，则选对其中1个得2分，选对其中2个得4分，答案中有错误选项的得0分.设一套数学试卷的多项选择题中有2个选项正确的概率为p(0(1)小明可以确认一道多项选择题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题得分X的数学期望为3，求p.
(2)小明可以确认另一道多项选择题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择.小明有三种方案：①只选A不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个，共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个.若p=，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案
（解析）精练（七十四） 离散型随机变量及其分布
1.[多选]下列随机变量是离散型随机变量的是 (　　)
A.某景点一天的游客数X
B.某篮球下降过程中离地面的距离X
C.水文站观测到江水的水位数X
D.某收费站一天内通过的汽车车辆数X
答案：AD
2.已知随机变量X服从两点分布，且P(X=1)=0.6，设Y=3X-2，那么P(Y=-2)等于 (　　)
A.0.6 B.0.3
C.0.2 D.0.4
解析：选D　当Y=-2时，由3X-2=-2 X=0，所以P(Y=-2)=P(X=0)=1-P(X=1)=1-0.6=0.4.故选D.
3.已知随机变量X的分布列如下表所示，则E(X)= (　　)
X 0 2 4
P m 1-3m
A.2 B.3
C.4 D.5
解析：选B　由题意得+m+1-3m=1，解得m=，所以E(X)=0×+2×+4×=3.
4.(2025·广州模拟)已知随机变量X的分布列如下表所示：
X -1 0 1
P m n
若P(X≤0)=，且2X+Y=1，则D(Y)= (　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　由P(X≤0)=，得m=-=，n=1-P(X≤0)=，则E(X)=-1×+0×+1×=，D(X)=E(X2)-(E(X))2=1×+0×-=，由2X+Y=1，得Y=1-2X，所以D(Y)=4D(X)=.
5.一个人有n把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意地进行试开，若试开过的钥匙放在一旁，试过的次数X为随机变量，则P(X=k)= (　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　∵{X=k}表示“第k次恰好打开，前k-1次没有打开”，
∴P(X=k)=××…××=.
6.某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c(a，b，c∈[0，1))，已知他比赛一局得分的均值为1，则ab的最大值为 (　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　由题意得，比赛一局得分的均值为3×a+1×b+0×c=1，故3a+b=1，又a，b，c∈[0，1)，故3a+b≥2，解得ab≤，当且仅当3a=b，即a=，b=时，等号成立.故ab的最大值为.
7.某企业计划加大技改力度，需要换一台设备，现有两种品牌的设备可供选择，A品牌设备需投入60万元，B品牌设备需投入90万元，企业对两种品牌设备的使用年限情况进行了抽样调查：
A品牌的使用年限 2 3 4 5
概率 0.4 0.3 0.2 0.1
B品牌的使用年限 2 3 4 5
概率 0.1 0.3 0.4 0.2
更换设备技改后，每年估计可增加效益100万元，从年均收益的角度分析 (　　)
A.不更换设备 B.更换为A设备
C.更换为B设备 D.更换为A或B设备均可
解析：选B　设更换为A品牌设备使用年限为X，则E(X)=2×0.4+3×0.3+4×0.2+5×0.1=3，更换为A品牌设备年均收益为(3×100-60)÷3=80(万元)；设更换为B品牌设备使用年限为Y，则E(Y)=2×0.1+3×0.3+4×0.4+5×0.2=3.7，更换为B品牌设备年均收益为(3.7×100-90)÷3.7≈75.68(万元).因为80>75.68，所以更换为A品牌设备.
8.[多选]随机变量ξ的分布列如表所示，其中xy≠0，下列说法正确的是 (　　)
ξ 0 1 2
P x
A.x+y=1 B.E(ξ)=
C.D(ξ)有最大值 D.D(ξ)随y的增大而减小
解析：选ABC　由题意可知x++=1，即x+y=1，故A正确；E(ξ)=0×x+1×+2×=，故B正确；D(ξ)=x++=(1-y)++=-y2+3y，因为xy≠0，x+y=1，易得09.袋内有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记X=则X的分布列为　　　　　　.
解析：P(X=0)==，P(X=1)=1-=，故X的分布列如下表
X 0 1
P
答案：
X 0 1
P
10.已知离散型随机变量X的分布列为
X 0 2 a
P 0.2 0.4 b
若E(X)<1.6，则正整数a=　　　　.
解析：由0.2+0.4+b=1，得b=0.4，所以E(X)=0×0.2+2×0.4+a×0.4<1.6，则a<2，正整数a=1.
答案：1
11.现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ=2)=　　　　，E(ξ)=　　　　.
解析：由题意知P(ξ=2)==.ξ的可能取值为1，2，3，4.P(ξ=1)===，P(ξ=3)==，P(ξ=4)==，
所以ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
P
E(ξ)=1×+2×+3×+4×=.
答案：　
12.随着相关科技成果不断落地，人工智能技术与实体经济加速融合，助推传统产业转型升级，某公司利用人工智能技术推动产业转型升级，三个产业转型升级的指标值ξ是随机变量，ξ的可能取值为0，1，x，且P(ξ=0)=，P(ξ=1)=，E(ξ)=.
(1)求x和D(ξ)的值；
(2)若η=3ξ-1，求E(η)和D(η)的值.
解：(1)设P(ξ=x)=p，则++p=1，
得p=，又E(ξ)=0×+1×+x×=，解得x=2.
所以D(ξ)=×+×+×=.
(2)因为η=3ξ-1，所以E(η)=E(3ξ-1)=3E(ξ)-1=1，D(η)=D(3ξ-1)=9D(ξ)=9×=5.
13.(2025·北京模拟)“地上文物看山西”，由于山西现存大量的古代建筑，今年暑期来自全国各地的游客都选择山西作为旅游目的地.某景区趁此时机，举行暑期网上购票抽奖立减活动，在网上购买该景区门票的游客，可通过手机扫景区提供的二维码进入抽奖活动页面，每张门票可从6个减免红包中随机抽取2个进行门票价格立减，6个红包的金额分别为5元、5元、10元、10元、30元、30元，已知该景区门票每张100元，全部实行网上购票.
(1)记购买1张门票的游客通过抽奖获得的红包金额之和为X，求X的分布列与期望；
(2)已知每位游客除门票外平均在该景区消费20元、60元、90元的概率分别为，举行此抽奖活动后预计可使该景区暑期客流量增加40%，假设每位购票游客都进行了抽奖，回答下列问题并说明理由；
①举行抽奖活动后该景区暑期的门票收入是增加了，还是减少了
②举行抽奖活动后该景区暑期的总收入是增加了，还是减少了
解：(1)X的可能取值为10，15，20，35，40，60，
P(X=10)==，P(X=15)==，P(X=20)==，P(X=35)==，
P(X=40)==，P(X=60)==，
故X的分布列为
X 10 15 20 35 40 60
P
期望为E(X)=10×+15×+20×+35×+40×+60×=30.
(2)①假设不举行抽奖活动，该景区在暑期客流量为n人，门票收入为100n，
举行此抽奖活动后预计可使该景区暑期客流量增加40%，故客流量为n=1.4n，
故门票收入为1.4×(100-30)n=98n，
由于98n<100n，故门票收入减少了.
②每位游客除门票外平均在该景区消费20元、60元、90元的概率分别为，
故期望值为20×+60×+90×=45，
不举行抽奖活动，该景区暑期总收入为(100+45)n=145n，
举行抽奖活动后，该景区暑期总收入为1.4×(100+45-30)n=161n，
由于161n>145n，故举行抽奖活动后，该景区暑期总收入增加了.
14.(2025·合肥模拟)高三联考数学试卷的多项选择题每小题满分6分，每小题有4个选项，其中只有2个或者3个选项是正确的.若正确选项有2个，则选对其中1个得3分；若正确选项有3个，则选对其中1个得2分，选对其中2个得4分，答案中有错误选项的得0分.设一套数学试卷的多项选择题中有2个选项正确的概率为p(0(1)小明可以确认一道多项选择题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题得分X的数学期望为3，求p.
(2)小明可以确认另一道多项选择题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择.小明有三种方案：①只选A不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个，共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个.若p=，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案
解：(1)根据题意可知，X=0，4，6，
若该题有2个选项正确，
则P(X=0)=p，P(X=6)=p；
若该题有3个选项正确，
则P(X=4)=×(1-p)=1-p.
则X的分布列为
X 0 4 6
P p 1-p p
所以E(X)=0×p+4×(1-p)+6×p=4-2p=3，解得p=.
(2)不妨记一道多选题“有2个选项正确”为事件A1，“有3个选项正确”为事件A2.
若小明选择方案①，
记小明该题得分为X，则X的可能取值为2，3，对应概率为
P(X=2)=P(A2)=，P(X=3)=P(A1)=，
故E(X)=2×+3×=.
若小明选择方案②，
记小明该题得分为Y，则Y的可能取值为0，4，6，对应概率为
P(Y=0)=P(A1)×+P(A2)×=×+×=，
P(Y=4)=P(A2)×=×=，
P(Y=6)=P(A1)×=×=，
故E(Y)=0×+4×+6×=.
若小明选择方案③，
记小明该题得分为Z，则Z的可能取值为0，6，对应概率为P(Z=0)=P(A1)×+P(A2)×=+×=，
P(Z=6)=P(A2)×=×=.
故E(Z)=0×+6×==.
E(Z)故以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择方案②.
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