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“2年高考1年模拟”课时精练（六十二） 最值与范围问题
1.(2025·淮南一模)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=，椭圆的右焦点到直线x-y+2=0的距离是4.
(1)求椭圆的方程；
(2)设过椭圆的上顶点A的直线l与该椭圆交于另一点B，当弦AB的长度最大时，求直线l的方程.
2.(2025·咸阳模拟)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率为，且经过A(0，2).
(1)求双曲线C的方程；
(2)若过点B(2，0)的直线交双曲线C于x轴下方不同的两点P，Q，设PQ的中点为M，求△BOM(O为坐标原点)面积的取值范围.
3.(2025·济宁模拟)已知抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为F，点M(4，m)在抛物线E上，且△OMF的面积为p2(O为坐标原点).
(1)求抛物线E的方程；
(2)过焦点F的直线l与抛物线E交于A，B两点，过A，B分别作垂直于l的直线AC，BD，分别交抛物线于C，D两点，求|AC|+|BD|的最小值.
4.给定椭圆E：+=1(a>b>0)，我们称圆x2+y2=a2+b2为椭圆E的“伴随圆”.已知椭圆E中b=1，离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l：y=kx+m与椭圆E交于A，B两点，与其“伴随圆”交于C，D两点，|CD|=.求弦长|AB|的最大值.
（解析）精练（六十二） 最值与范围问题
1.(2025·淮南一模)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=，椭圆的右焦点到直线x-y+2=0的距离是4.
(1)求椭圆的方程；
(2)设过椭圆的上顶点A的直线l与该椭圆交于另一点B，当弦AB的长度最大时，求直线l的方程.
解：(1)由已知得，右焦点F(c，0)，
∴=4，∴c=2，
又∵离心率e==，
∴a=2，b2=a2-c2=4，
∴椭圆方程为+=1.
(2)当直线l的斜率不存在时，|AB|=4.
当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y=kx+2，
联立得(1+3k2)x2+12kx=0，
∴x1=0，x2=-，
∴|AB|=|x1-x2|=，
令t=1+3k2(t≥1)，
∴|AB|2=(1+k2)×==-+18(t≥1)，
∴当=，即t=4时，|AB|2取得最大值，即k=±1时，|AB|2最大值为18，即|AB|最大值为3，
∴直线l的方程为y=x+2或y=-x+2.
2.(2025·咸阳模拟)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率为，且经过A(0，2).
(1)求双曲线C的方程；
(2)若过点B(2，0)的直线交双曲线C于x轴下方不同的两点P，Q，设PQ的中点为M，求△BOM(O为坐标原点)面积的取值范围.
解：(1)双曲线的离心率为，即=，因为点A(0，2)在双曲线-=1上，所以=1，a=2，则c=2，又c2=a2+b2，所以b=2.所以双曲线C的方程为-=1.
(2)易知直线PQ的斜率不为0，设直线PQ的方程为x-2=my(m≠0)，
由得(1-m2)y2-4my-8=0，
设P，Q两点的纵坐标分别为y1，y2，
则
解得13.(2025·济宁模拟)已知抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为F，点M(4，m)在抛物线E上，且△OMF的面积为p2(O为坐标原点).
(1)求抛物线E的方程；
(2)过焦点F的直线l与抛物线E交于A，B两点，过A，B分别作垂直于l的直线AC，BD，分别交抛物线于C，D两点，求|AC|+|BD|的最小值.
解：(1)由题意可得解得p=2.
故抛物线E的方程为y2=4x.
(2)由题意知直线l的斜率一定存在且不为0，F(1，0)，设直线l的方程为x=ty+1，t≠0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
易知x1=ty1+1>0，x2=ty2+1>0，
联立消去x得y2-4ty-4=0，
所以y1+y2=4t，y1y2=-4.
由AC垂直于l，得直线AC的方程为y-y1
=-t(x-x1)，
联立消去x得ty2+4y-4tx1-4y1=0，所以y1+y3=-，y1y3=，
所以|AC|=
=
=
=
=·|ty1+2|=·(ty1+2).
同理可得|BD|=·(ty2+2)，
所以|AC|+|BD|=·[t(y1+y2)+4]=(t2+1)=8.
令f(x)=，x>0，则f'(x)=，x>0，
所以当x∈(0，2)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(2，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
所以当x=2时，f(x)取得最小值，即当t=±时，|AC|+|BD|的最小值为12.
4.给定椭圆E：+=1(a>b>0)，我们称圆x2+y2=a2+b2为椭圆E的“伴随圆”.已知椭圆E中b=1，离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l：y=kx+m与椭圆E交于A，B两点，与其“伴随圆”交于C，D两点，|CD|=.求弦长|AB|的最大值.
解：(1)由题可知，b=1，e==，且a2=b2+c2，解得a2=3，c2=2，
故椭圆E的标准方程为+y2=1.
(2)由(1)可知椭圆E的“伴随圆”为x2+y2=4，
因为|CD|=，所以圆心到直线距离为d==，由点到直线的距离公式得d==，解得m2=(k2+1)，
联立直线与椭圆方程得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0，
由Δ>0得3k2+1-m2>0，由m2=(k2+1)得9k2+1>0，k∈R，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1+x2=，x1x2=，
由弦长公式可得|AB|=
=·
=·
==，
若k=0时，则|AB|=；
若k≠0时，则|AB|==≤=2，
当且仅当9k2=，即k=±时取到等号.
综上所述，弦长|AB|的最大值为2.
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