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“2年高考1年模拟”课时精练（六十八） 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1.(2025·河南高三校联考)高二1，2，3班各有升旗班同学人数分别为1，3，3，现从中任选2人参加升旗，则2人来自不同班的选法种数为 (　　)
A.12 B.15
C.20 D.21
2.(2025·东莞模拟)为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程，甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有 (　　)
A.120种 B.114种
C.210种 D.216种
3.(2025·徐州模拟)甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩，其中甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有 (　　)
A.18种 B.48种
C.108种 D.192种
4.已知集合M={1，-2，3}，N={-3，5，6，-4}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是 (　　)
A.2 B.4
C.5 D.6
5.若从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，则这样的等比数列的个数为 (　　)
A.3 B.4
C.6 D.8
6.(2025·榆林模拟)如图所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之间建有A，B，C，D，E五个水闸，若上游有充足的水源但下游没有水，则这五个水闸打开或关闭的情况有 (　　)
A.24种 B.23种
C.15种 D.7种
7.(2025·太原模拟)根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的两位数有 (　　)
1　　2　　3　　4　　5　　6　　7　　8　　9表示如下
A.81个 B.64个
C.18个 D.17个
8.(2025·宿迁模拟)由0，1，2，3，5组成的无重复数字的五位偶数共有 (　　)
A.42个 B.48个
C.54个 D.120个
9.(2025·佛山模拟)某小区物业在该小区的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域.现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻的区域(有公共边)不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有 (　　)
A.720种 B.1 440种
C.1 560种 D.2 520种
10.回文是一种修辞手法，数学中的“回文数”是指从左到右读和从右到左读都一样的正整数，例如132 231，则从五位数字的回文数中任取一个恰好取到奇数的概率为 (　　)
A. B.
C. D.
11.(2025·扬州模拟)已知直线ax+by+c=0中的a，b，c是取自集合{-2，-1，0，1，2}中的3个不同的元素，且该直线的倾斜角为锐角，则这样的直线的条数是　　　　　.
12.在某一运动会百米决赛上，8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1，2，3，4，5，6，7，8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有　　　　种.
13.(2025·福州模拟)有2n朵花围绕在一个圆形花圃周围，现要将其两两配对绑上缎带作为装饰，缎带之间互不交叉，例如：n=2时，共有4朵花，以1，2，3，4表示，绑上缎带的两朵用一条线连接，共有2种方式，如图1，2所示.那么当n=3时，满足要求的绑缎带方法总数为　　　　.
14.(2024·新课标Ⅱ卷)在如图所示的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有　　　　　种选法，在符合上述要求的选法中，选中方格中的四个数之和的最大值是　　　　　.
11 21 31 40
12 22 33 42
13 22 33 43
15 24 34 44
（解析）精练（六十八） 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1.(2025·河南高三校联考)高二1，2，3班各有升旗班同学人数分别为1，3，3，现从中任选2人参加升旗，则2人来自不同班的选法种数为 (　　)
A.12 B.15
C.20 D.21
解析:选B　依题意，选中高二1班的同学有1×6种方法，高二1班的同学没选中有3×3种方法，所以2人来自不同班的选法种数为1×6+3×3=15.故选B.
2.(2025·东莞模拟)为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程，甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有 (　　)
A.120种 B.114种
C.210种 D.216种
解析:选C　甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，选法有63=216种，其中这3名学生所选活动课程全相同的选法有6种，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有216-6=210种.
3.(2025·徐州模拟)甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩，其中甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有 (　　)
A.18种 B.48种
C.108种 D.192种
解析:选D　因甲不去北京，应该分步完成:第一步，甲在上海、西安、长沙三个城市中任选一个，有3种选法;第二步，乙、丙、丁从北京、上海、西安、长沙四个城市中分别任选一个，有4×4×4=64种选法.由分步乘法计数原理，得不同选法有3×64=192种.
4.已知集合M={1，-2，3}，N={-3，5，6，-4}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是 (　　)
A.2 B.4
C.5 D.6
解析:选D　第二象限的横坐标是负数，纵坐标是正数.若M集合提供横坐标，N集合提供纵坐标，则有1×2=2种，若M集合提供纵坐标，N集合提供横坐标，则有2×2=4种，合计2+4=6，即这样的坐标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是6.
5.若从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，则这样的等比数列的个数为 (　　)
A.3 B.4
C.6 D.8
解析:选D　以1为首项的等比数列为1，2，4;1，3，9;以2为首项的等比数列为2，4，8;以4为首项的等比数列为4，6，9.把这4个数列的顺序颠倒，又得到另外的4个数列，∴所求的数列共有2×(2+1+1)=8(个).
6.(2025·榆林模拟)如图所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之间建有A，B，C，D，E五个水闸，若上游有充足的水源但下游没有水，则这五个水闸打开或关闭的情况有 (　　)
A.24种 B.23种
C.15种 D.7种
解析:选B　①当A水闸关闭时，满足要求，此时B，C，D，E打开或关闭均可，故此时有24=16种情况;②当A水闸打开，同时关闭B，C时，满足要求，此时D，E打开或关闭均可，故此时有22=4种情况;③当A水闸打开，同时关闭D，E时，满足要求，此时B，C打开或关闭均可，故此时有22=4种情况，上面②③两种情况有重复的1种情况，就是A水闸打开，B，C，D，E同时关闭的情况，故共有16+4+4-1=23种情况.
7.(2025·太原模拟)根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的两位数有 (　　)
1　　2　　3　　4　　5　　6　　7　　8　　9表示如下
A.81个 B.64个
C.18个 D.17个
解析:选B　用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，共可以摆出9×9=81(个)两位数，其中个位和十位上的算筹都为1有1×1=1(个);个位和十位上的算筹都为2有2×2=4(个);个位和十位上的算筹都为3有2×2=4(个);个位和十位上的算筹都为4有2×2=4(个);个位和十位上的算筹都为5有2×2=4(个).综上，个位和十位上的算筹都相等的两位数共有4×4+1=17(个)，所以个位和十位上的算筹不一样多的两位数有81-17=64(个).
8.(2025·宿迁模拟)由0，1，2，3，5组成的无重复数字的五位偶数共有 (　　)
A.42个 B.48个
C.54个 D.120个
解析:选A　若五位数的个位数是0，则有n1=4×3×2×1=24种情形;若五位数的个位数是2，由于0不排首位，因此首位只有1，3，5这3种情形，中间的三个位置有3×2×1=6种情形，依据分步乘法计数原理，可得n2=3×6=18种情形.由分类加法计数原理可得所有无重复数字的五位偶数的个数为n=n1+n2=24+18=42.
9.(2025·佛山模拟)某小区物业在该小区的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域.现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻的区域(有公共边)不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有 (　　)
A.720种 B.1 440种
C.1 560种 D.2 520种
解析：选C　如图，不同的布置方案分两类：当A与C布置相同的花卉时，先安排E，有6种不同的选择;再安排A与C，有5种不同的选择;再安排B，有4种不同的选择;最后安排D，有4种不同的选择，共有6×5×4×4=480种.当A与C布置不同的花卉时，先安排E，有6种不同的选择；再安排A与C，有5×4种不同的选择；再安排B，有3种不同的选择；最后安排D，有3种不同的选择，共有6×5×4×3×3=1 080种.所以不同的布置方案有480+1 080=1 560种.
10.回文是一种修辞手法，数学中的“回文数”是指从左到右读和从右到左读都一样的正整数，例如132 231，则从五位数字的回文数中任取一个恰好取到奇数的概率为 (　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　根据题意可知，五位数字的回文数中，万位有9种选择，千位和百位都有10种选择，所以五位数字的回文数的个数为9×102=900，其中五位数字的回文数的奇数，万位有5种选择，千位和百位都有10种选择，所以五位数字的回文数的奇数的个数为5×102=500，因此，从五位数字的回文数中任取一个恰好取到奇数的概率为P==.
11.(2025·扬州模拟)已知直线ax+by+c=0中的a，b，c是取自集合{-2，-1，0，1，2}中的3个不同的元素，且该直线的倾斜角为锐角，则这样的直线的条数是　　　　　.
解析：设倾斜角为θ，tan θ=->0，则ab<0，不妨设a>0，则b<0，若c=0，a有2种取法，b有2种取法，排除1个重复(a=2，b=-2与a=1，b=-1)，故这样的直线有2×2-1=3条；若c≠0，a有2种取法，b有2种取法，c有2种取法，且其中任两条直线均不相同，故这样的直线有2×2×2=8条.从而，符合要求的直线有3+8=11条.
答案：11
12.在某一运动会百米决赛上，8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1，2，3，4，5，6，7，8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有　　　　种.
解析：分两步安排这8名运动员.第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1，3，5，7四条跑道可安排.故安排方式有4×3×2=24(种).第二步：安排另外5人，可在2，4，6，8及余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排方式有5×4×3×2×1=120(种).故安排这8人的方式共有24×120=2 880(种).
答案：2 880
13.(2025·福州模拟)有2n朵花围绕在一个圆形花圃周围，现要将其两两配对绑上缎带作为装饰，缎带之间互不交叉，例如：n=2时，共有4朵花，以1，2，3，4表示，绑上缎带的两朵用一条线连接，共有2种方式，如图1，2所示.那么当n=3时，满足要求的绑缎带方法总数为　　　　.
解析：当n=3时，有6朵花围绕在一个圆形花圃周围.以1，2，3，4，5，6表示，由题意可知，满足要求的绑缎带方法，任意一条缎带绑后，其同侧不能剩余奇数个点，故1必不与奇数3，5配对.按花朵1的配对情况，分为三类：
①1与2配对：另4朵3，4，5，6的配对情况，同n=2时共有4朵花的配对方法数相同，故有2种方法；
②1与6配对：由对称性可知同1与2配对的方法数，故有2种方法；
③1与4配对：2必与3配对，6必与5配对，故只有1种方法.
综上，完成这件事共有2+2+1=5种方法，列举如下：
(12)(34)(56)；(12)(36)(45)；(16)(23)(45)；(16)(25)(34)；(14)(23)(56).
即满足要求的绑缎带方法总数为5.
答案：5
14.(2024·新课标Ⅱ卷)在如图所示的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有　　　　　种选法，在符合上述要求的选法中，选中方格中的四个数之和的最大值是　　　　　.
11 21 31 40
12 22 33 42
13 22 33 43
15 24 34 44
解析：由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，
则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，
第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，
所以共有4×3×2×1=24种选法.
每种选法可标记为(a，b，c，d)，a，b，c，d分别表示第一、二、三、四列的数字，
则所有的可能结果为
(11，22，33，44)，(11，22，34，43)，(11，22，33，44)，(11，22，34，42)，(11，24，33，43)，(11，24，33，42)，(12，21，33，44)，(12，21，34，43)，(12，22，31，44)，(12，22，34，40)，(12，24，31，43)，(12，24，33，40)，(13，21，33，44)，(13，21，34，42)，(13，22，31，44)，(13，22，34，40)，(13，24，31，42)，(13，24，33，40)，(15，21，33，43)，(15，21，33，42)，(15，22，31，43)，(15，22，33，40)，(15，22，31，42)，(15，22，33，40)，所以选中的方格中，(15，21，33，43)的4个数之和最大，为15+21+33+43=112.
答案：24　112
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