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“2年高考1年模拟”课时精练（六十） 直线与圆锥曲线的位置关系
1.若直线y=x-1与椭圆x2+3y2=a有且只有一个公共点，那么a的值为 (　　)
A. B.
C. D.1
2.(2024·重庆二模)已知点P(1，2)和双曲线C：x2-=1，过点P且与双曲线C只有一个公共点的直线有 (　　)
A.2条 B.3条
C.4条 D.无数条
3.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|=8，则弦AB的中点到y轴的距离为 (　　)
A.2 B.3
C.4 D.6
4.直线y=kx+1，当k变化时，此直线被椭圆+y2=1截得的最大弦长是 (　　)
A.2 B.
C.4 D.不能确定
5.(2024·盐城三模)定义曲线-=1为双曲线-=1的“伴随曲线”.在双曲线C1：x2-y2=1的伴随曲线C2上任取一点P，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M，N，则直线MN与曲线C1的公共点的个数为 (　　)
A.0 B.1
C.2 D.与点P的位置有关系
6.(2025·郑州模拟)已知直线l：3x+4y-11=0与椭圆C：+=1交于A，B两点，若点P(1，2)恰为弦AB的中点，则椭圆C的离心率是 (　　)
A. B.
C. D.
7. (2023·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C：+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y=x+m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m= (　　)
A. B.
C.- D.-
8.(2025·陕西教育联盟)[多选]已知曲线Γ1的方程为x2=y，Γ2是以点A(0，a)为圆心，1为半径的圆位于y轴右侧的部分，则下列说法正确的是 (　　)
A.曲线Γ1的焦点坐标为
B.曲线Γ2过点(1，a)
C.若直线y=x+2被Γ1所截得的线段的中点在Γ2上，则a的值为
D.若曲线Γ2在Γ1的上方，则a>
9.法国数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的两条相互垂直切线的交点轨迹为圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆.根据此背景，设M为椭圆C：x2+=1的一个外切长方形(M的四条边所在直线均与椭圆C相切)，若M在第一象限内的一个顶点纵坐标为2，则M的面积为 (　　)
A.13 B.26
C. D.
10.(2025·泉州模拟)已知椭圆C：x2+2y2=1，其右焦点为F，若直线l过点F与C交于A，B，则|AB|的最小值为　　　　　.
11.已知双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，存在过点F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，且△ABF1为正三角形.试写出一个满足上述条件的双曲线C的方程：　　　　　　　　.
12.(2025·成都模拟)设O为坐标原点，直线y=-(x-1)过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，则△OMN的面积为　　　.
13.已知A，B为曲线C：y=上两点，AB的中点N在直线x=1上.
(1)求直线AB的斜率；
(2)过点A，B分别作曲线C的切线l1，l2，交于点E，连接EN，交曲线C于点M，求点M的坐标.
14.(2025·杭州模拟)已知双曲线C：x2-y2=8，圆A：(x-2)2+(y-2)2=r2，其中r>0.圆A与双曲线C有且仅有两个交点D，E，线段DE的中点为G.
(1)记直线AG的斜率为k1，直线OG的斜率为k2，求；
(2)当直线DE的斜率为3时，求点G的坐标.
15.已知椭圆E：+=1(a>b>0)的离心率为，P(2，1)是椭圆E上一点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若A，B是椭圆E上两点，且线段AB的中点坐标为M.
①求直线AB的方程.
②求△OAB的面积.
（解析）精练（六十） 直线与圆锥曲线的位置关系
1.若直线y=x-1与椭圆x2+3y2=a有且只有一个公共点，那么a的值为 (　　)
A. B.
C. D.1
解析：选C　因为方程x2+3y2=a表示的曲线为椭圆，则a>0，将直线y=x-1的方程与椭圆的方程联立，可得4x2-6x+3-a=0，则Δ=36-4×4×=16a-12=0，解得a=.
2.(2024·重庆二模)已知点P(1，2)和双曲线C：x2-=1，过点P且与双曲线C只有一个公共点的直线有 (　　)
A.2条 B.3条
C.4条 D.无数条
解析：选A　由题意可得，双曲线x2-=1的渐近线方程为y=±2x，点(1，0)是双曲线的顶点.
①若直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，此时，直线l与双曲线C只有一个公共点，合乎题意；
②若直线l的斜率存在，则当直线平行于渐近线y=-2x时，直线l与双曲线C只有一个公共点；
若直线l的斜率为2，则直线l的方程为y=2x，此时直线l为双曲线C的一条渐近线，不合乎题意.
综上所述，过点P(1，2)与双曲线C只有一个公共点的直线l共有2条.故选A.
3.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|=8，则弦AB的中点到y轴的距离为 (　　)
A.2 B.3
C.4 D.6
解析：选B　因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离为2，所以p=2，抛物线方程为y2=4x.过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义得，焦点弦|AB|=x1+x2+p，所以8=x1+x2+2，则x1+x2=6，所以AB的中点到y轴的距离为d===3.故选B.
4.直线y=kx+1，当k变化时，此直线被椭圆+y2=1截得的最大弦长是 (　　)
A.2 B.
C.4 D.不能确定
解析：选B　直线恒过定点(0，1)，且点(0，1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x，y)，则弦长为== ，当y=-时，弦长最大为.
5.(2024·盐城三模)定义曲线-=1为双曲线-=1的“伴随曲线”.在双曲线C1：x2-y2=1的伴随曲线C2上任取一点P，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M，N，则直线MN与曲线C1的公共点的个数为 (　　)
A.0 B.1
C.2 D.与点P的位置有关系
解析：选B　双曲线C1：x2-y2=1的伴随曲线C2为-=1，设P(m，n)为-=1上一点，则-=1，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M，N，则M(m，0)，N(0，n)，所以直线MN：y=-x+n，联立得x2+x-n2-1=0，所以Δ=-4××(-n2-1)=4n4-4××(-n2-1)=0，则直线MN与曲线C1的公共点的个数为1，故选B.
6.(2025·郑州模拟)已知直线l：3x+4y-11=0与椭圆C：+=1交于A，B两点，若点P(1，2)恰为弦AB的中点，则椭圆C的离心率是 (　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　依题意，直线l的斜率为-，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=-，且由两式相减得=-，于是=-·=×=，解得m2=6，此时椭圆C：+=1，显然点P(1，2)在椭圆C内，符合要求，所以椭圆C的离心率e==.故选A.
7. (2023·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C：+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y=x+m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m= (　　)
A. B.
C.- D.-
解析：选C　将直线y=x+m与椭圆C联立消去y可得4x2+6mx+3m2-3=0.因为直线y=x+m与椭圆C相交于A，B两点，则Δ=36m2-4×4(3m2-3)>0，解得-28.(2025·陕西教育联盟)[多选]已知曲线Γ1的方程为x2=y，Γ2是以点A(0，a)为圆心，1为半径的圆位于y轴右侧的部分，则下列说法正确的是 (　　)
A.曲线Γ1的焦点坐标为
B.曲线Γ2过点(1，a)
C.若直线y=x+2被Γ1所截得的线段的中点在Γ2上，则a的值为
D.若曲线Γ2在Γ1的上方，则a>
解析：选BCD　对于A，由曲线Γ1：x2=y，抛物线Γ1的焦点坐标为，所以A错误；对于B，圆Γ2的标准方程为x2+(y-a)2=1(x>0)，点(1，a)代入圆Γ2的方程得12+(a-a)2=1，所以圆Γ2过点(1，a)，所以B正确；对于C，设y=x+2被Γ1所截得的线段为DE，中点为G，联立方程组整理得x2-x-2=0，可得则xG==，故yG=xG+2=，所以G，代入Γ2：x2+(y-a)2=1，可得+=1，解得a=，所以C正确；对于D，如图所示，曲线Γ2在Γ1的上方时，抛物线和圆无交点，联立方程组整理得y2+(1-2a)y+a2-1=0，由Δ=(1-2a)2-4(a2-1)<0，解得a>，所以D正确.
9.法国数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的两条相互垂直切线的交点轨迹为圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆.根据此背景，设M为椭圆C：x2+=1的一个外切长方形(M的四条边所在直线均与椭圆C相切)，若M在第一象限内的一个顶点纵坐标为2，则M的面积为 (　　)
A.13 B.26
C. D.
解析：选C　依题意，直线x=±1，y=±2都与椭圆C：x2+=1相切，且它们围成四边形是矩形，于是该矩形是椭圆C的蒙日圆内接矩形，因此该蒙日圆的圆心为O(0，0)，半径r==，因此该椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=13，M为椭圆C：x2+=1的一个外切长方形，设其四个顶点分别为P，Q，P'，Q'，其中P在第一象限，显然P与P'关于原点O对称，Q与Q'关于原点对称，而P点纵坐标为2，则其横坐标为3，即P(3，2)，显然M的四条边所在直线斜率存在且不为0，设过P且与椭圆C相切的直线为y-2=k(x-3)，由消去y并整理，得(12+k2)x2+2k(2-3k)x+9k2-12k-8=0，由Δ=4k2(2-3k)2-4(12+k2)(9k2-12k-8)=0，化简得2k2-3k-2=0，解得k=2或k=-，不妨取直线PQ方程为y-2=2(x-3)，即2x-y-4=0，直线PQ'的方程为y-2=-(x-3)，即x+2y-7=0，所以点O到直线PQ的距离为，点O到直线PQ'的距离为，所以M的面积为2×2=.
10.(2025·泉州模拟)已知椭圆C：x2+2y2=1，其右焦点为F，若直线l过点F与C交于A，B，则|AB|的最小值为　　　　　.
解析：要使|AB|最小，即直线l要与x轴垂直.因为右焦点为，所以直线l为x=，联立此直线和椭圆的方程，解得交点的纵坐标为±，故|AB|的最小值为1.
答案：1
11.已知双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，存在过点F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，且△ABF1为正三角形.试写出一个满足上述条件的双曲线C的方程：　　　　　　　　.
解析：如图，取a=1，b=，c=，且AB⊥x轴，可得|AF2|=|BF2|==2，|AF1|=|BF1|=2a+|AF2|=4，即|AF1|=|BF1|=|AB|=4，△ABF1为正三角形，符合题意，此时双曲线C的方程为x2-=1.
答案：x2-=1(答案不唯一，符合题意即可)
12.(2025·成都模拟)设O为坐标原点，直线y=-(x-1)过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，则△OMN的面积为　　　.
解析：由题意可知直线y=-(x-1)过点(1，0)，即为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F(1，0)，所以=1，p=2，2p=4，抛物线C的方程为y2=4x.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去y并化简得3x2-10x+3=0，解得x1+x2=，所以|MN|=x1+x2+p=+2=.直线y=-(x-1)，即x+y-=0，O到直线x+y-=0的距离为d==，所以△OMN的面积为××=.
答案：
13.已知A，B为曲线C：y=上两点，AB的中点N在直线x=1上.
(1)求直线AB的斜率；
(2)过点A，B分别作曲线C的切线l1，l2，交于点E，连接EN，交曲线C于点M，求点M的坐标.
解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，则y1=，y2=，又AB的中点N在直线x=1上，所以x1+x2=2×1=2，
所以直线AB的斜率为=
=(x1+x2)=×2=.
(2)如图，设E(m，n)，N(1，t)，由抛物线方程y=x2可得y'=x，
所以点A处的切线方程为y-=x1(x-x1)，所以y=x1x-，
同理可得点B处的切线方程为y=x2x-，
联立两条切线方程得x1x-=x2x-，所以xE==1，则m=1，
所以直线EN的方程为x=1，联立
得所以M.
14.(2025·杭州模拟)已知双曲线C：x2-y2=8，圆A：(x-2)2+(y-2)2=r2，其中r>0.圆A与双曲线C有且仅有两个交点D，E，线段DE的中点为G.
(1)记直线AG的斜率为k1，直线OG的斜率为k2，求；
(2)当直线DE的斜率为3时，求点G的坐标.
解：因为|EG|=|DG|，|AD|=|AE|，
所以AG⊥DE.
设D(x1，y1)，E(x2，y2).
(1)因为-=-=8，
所以(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2).
而圆心A(2，2)不在坐标轴上，
从而x1≠x2，x1+x2≠0，
所以·=1.
所以kDE·kOG=1，
又kAG·kDE=-1，
所以====-1.
(2)设直线DE：y=3x+m，与x2-y2=8联立，
化简并整理得8x2+6mx+m2+8=0，
其中Δ=36m2-32(m2+8)=4(m2-64)>0.
所以x1+x2=-，y1+y2=3(x1+x2)+2m=-，即点G坐标为.
因为kAG·kDE=-1，kDE=3，
所以kAG=-，而A(2，2)，
即=-，解得m=-.
所以G.
15.已知椭圆E：+=1(a>b>0)的离心率为，P(2，1)是椭圆E上一点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若A，B是椭圆E上两点，且线段AB的中点坐标为M.
①求直线AB的方程.
②求△OAB的面积.
解：(1)由题意得解得
所以椭圆E的方程为+=1.
(2)①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由A，B是椭圆E上两点得
两式相减得+=0，即(x1+x2)+2(y1+y2)·=0，
因为线段AB的中点坐标为M，所以x1+x2=，y1+y2=，
所以=-1，即kAB=-1，所以直线AB的方程为y-=-，即x+y-1=0.
②由得3x2-4x-4=0， 则x1+x2=，x1x2=-，
所以|AB|=·=×=，
点O到直线AB的距离d==，
所以S△OAB=×|AB|×d=××=.
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