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“2年高考1年模拟”课时精练（六） 一元二次不等式恒成立问题
1.若不等式kx2+kx-<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为 (　　)
A.(-3，0) B.[-3，0)
C.[-3，0] D.(-3，0]
2.设a∈R，若关于x的不等式x2-ax+1≥0在1≤x≤2上有解，则a的取值范围为 (　　)
A.(-∞，2] B.[2，+∞)
C. D.
3.若存在实数x，使得mx2-(m-2)x+m<0成立，则实数m的取值范围为 (　　)
A.(-∞，2) B.(-∞，0]∪
C. D.(-∞，1)
4.已知条件q：“不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集”，则条件p：“-2≤a<1”是条件q的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.若关于x的不等式x2-6x+11-a≤0在区间(2，5)内有解，则实数a的取值范围是 (　　)
A.[6，+∞) B.(6，+∞)
C.[2，+∞) D.(2，+∞)
6.对于所有的正实数x，y，都有x+≤a(x+y)成立，则整数a的最小值为 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
7.已知命题p：任意1≤x≤2，x2-a≥0，命题q：关于x的不等式x2+2ax+2-a≤0有解，若命题p、命题q一真一假，则实数a的取值范围是 (　　)
A.(-2，1) B.(1，+∞)
C.(-∞，-2]∪{1} D.(-2，1)∪(1，+∞)
8.已知不等式(4x2+4ax+1)(2x2+x+a)>0对于一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为 (　　)
A. B.
C. D.
9.若不等式10xy≤ax2+2y2对任意的1≤x≤2及2≤y≤3恒成立，则实数a的取值范围是 (　　)
A.[8，+∞) B.[12，+∞)
C. D.
10.(2025·洛阳阶段练习)对于任意的x，y∈R，定义运算：x☉y=x(y+1).若不等式x☉(x+a)+1>0对任意实数x恒成立，则a的取值范围是　　　　.
11.(2025·合肥模拟)若不等式x2+ax+4≥0对一切x∈[1，3]恒成立，则a的最小值为　　　　.
12.(2025·淄博阶段练习)若命题“ -1≤a≤3，ax2-(2a-1)x+3-a<0”为假命题，则实数x的取值范围为　　　　　　　　　.
13.已知函数f(x)=x2-3x+a.
(1)若f(x)>0在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)<0在x∈(-1，2]上恒成立，求实数a的取值范围.
14.关于x的不等式-x2+(a+3)x-3a>0，a∈R.
(1)若a=2，求不等式的解集.
(2)若 x∈(3，+∞)时，不等式-x2+(a+3)x-3a≥4有解，求实数a的取值范围.
15.已知函数f(x)=x2-(a+6)x+6(a∈R).
(1)若 x∈[1，4]，f(x)+a+8≥0恒成立，求a的取值范围；
(2)已知g(x)=mx+7-3m，当a=1时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f(x1)=g(x2)成立，求实数m的取值范围.
（解析）精练（六） 一元二次不等式恒成立问题
1.若不等式kx2+kx-<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为 (　　)
A.(-3，0) B.[-3，0)
C.[-3，0] D.(-3，0]
解析：选D　当k=0时，-<0恒成立，即有k=0，符合题意；当k≠0时，解得-32.设a∈R，若关于x的不等式x2-ax+1≥0在1≤x≤2上有解，则a的取值范围为 (　　)
A.(-∞，2] B.[2，+∞)
C. D.
解析：选C　由x2-ax+1≥0在1≤x≤2上有解，得≥a在1≤x≤2上有解，则a≤，由于=x+，而y=x+在[1，2]上单调递增，故当x=2时，x+取得最大值，故a≤.
3.若存在实数x，使得mx2-(m-2)x+m<0成立，则实数m的取值范围为 (　　)
A.(-∞，2) B.(-∞，0]∪
C. D.(-∞，1)
解析：选C　①当m=0时，不等式化为2x<0，解得x<0，符合题意；②当m>0时，y=mx2-(m-2)x+m为图象开口方向向上的二次函数，只需Δ=(m-2)2-4m2=-3m2-4m+4>0，即04.已知条件q：“不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集”，则条件p：“-2≤a<1”是条件q的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：选A　因为不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集，所以不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1<0的解集是R，当a2-4=0即a=±2 时，若a=2 ，则 4x-1<0，x<(舍去)；若a=-2 ，则 -1<0，x∈R ；当a2-4≠0时，则解得-25.若关于x的不等式x2-6x+11-a≤0在区间(2，5)内有解，则实数a的取值范围是 (　　)
A.[6，+∞) B.(6，+∞)
C.[2，+∞) D.(2，+∞)
解析：选C　由关于x的不等式x2-6x+11-a≤0在区间(2，5)内有解，得a≥x2-6x+11在区间(2，5)内有解，从而a大于x2-6x+11在区间(2，5)的最小值.令f(x)=x2-6x+11，x∈(2，5)，函数图象抛物线开口向上，对称轴方程为x=3，则f(x)在(2，3)上单调递减，在(3，5)上单调递增，则f(x)min=f(3)=9-18+11=2，得a≥2，所以实数a的取值范围是[2，+∞).
6.对于所有的正实数x，y，都有x+≤a(x+y)成立，则整数a的最小值为 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：选B　由题设1+≤a，令t=>0，则1+t≤a(1+t2) at2-t+a-1≥0，所以f(t)=at2-t+a-1≥0，在t∈(0，+∞)上恒成立，当a=0时，则f(t)=-t-1<0，不满足题设；当a≠0时，f(t)的对称轴为t=，只需可得a≥.综上，a≥，故整数a的最小值为2.故选B.
7.已知命题p：任意1≤x≤2，x2-a≥0，命题q：关于x的不等式x2+2ax+2-a≤0有解，若命题p、命题q一真一假，则实数a的取值范围是 (　　)
A.(-2，1) B.(1，+∞)
C.(-∞，-2]∪{1} D.(-2，1)∪(1，+∞)
解析：选D　当命题p为真时，即 x∈[1，2]，x2-a≥0，即当x∈[1，2]时，a≤，又当x=1时，x2取最小值1，即得a≤1，当命题q为真时，即关于x的不等式x2+2ax+2-a≤0有解，所以Δ=4a2-4(2-a)≥0，所以a≤-2或a≥1，又命题p，q一真一假，当p真q假时，即所以-21.故实数a的取值范围是(-2，1)∪(1，+∞).
8.已知不等式(4x2+4ax+1)(2x2+x+a)>0对于一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为 (　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　因为4x2+4ax+1=4+1-a2，2x2+x+a=2+a-，令1-a2>0，即-10对于一切实数x恒成立，因此2x2+x+a>0对于一切实数x恒成立，所以a->0，即a>，故9.若不等式10xy≤ax2+2y2对任意的1≤x≤2及2≤y≤3恒成立，则实数a的取值范围是 (　　)
A.[8，+∞) B.[12，+∞)
C. D.
解析：选D　因为不等式10xy≤ax2+2y2对任意的1≤x≤2及2≤y≤3恒成立，所以a≥-2+10对任意的1≤x≤2及2≤y≤3恒成立，令t=，因为1≤x≤2及2≤y≤3，所以1≤t≤3，则a≥-2t2+10t在上恒成立，因为g(t)=-2t2+10t=-2+的对称轴为t=∈，所以g(t)的最大值为g=，所以a≥，所以实数a的取值范围是.
10.(2025·洛阳阶段练习)对于任意的x，y∈R，定义运算：x☉y=x(y+1).若不等式x☉(x+a)+1>0对任意实数x恒成立，则a的取值范围是　　　　.
解析：由已知得x☉(x+a)+1=x(x+a+1)+1=x2+(a+1)x+1>0对任意实数x恒成立，所以Δ=(a+1)2-4<0，解得-3答案：(-3，1)
11.(2025·合肥模拟)若不等式x2+ax+4≥0对一切x∈[1，3]恒成立，则a的最小值为　　　　.
解析：∵当x∈[1，3]时，x2+ax+4≥0恒成立，∴a≥-恒成立，又当x∈[1，3]时，x+≥2=4，当且仅当x=2时取等号，∴-≤-4，∴a≥-4，故a的最小值为-4.
答案：-4
12.(2025·淄博阶段练习)若命题“ -1≤a≤3，ax2-(2a-1)x+3-a<0”为假命题，则实数x的取值范围为　　　　　　　　　.
解析：由题意可得命题“ -1≤a≤3，ax2-(2a-1)x+3-a≥0”为真命题，即ax2-(2a-1)x+3-a=(x2-2x-1)a+x+3≥0对a∈[-1，3]恒成立，则解得-1≤x≤0或≤x≤4，即实数x的取值范围为.
答案：
13.已知函数f(x)=x2-3x+a.
(1)若f(x)>0在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)<0在x∈(-1，2]上恒成立，求实数a的取值范围.
解：(1)若f(x)>0在x∈R上恒成立，
则Δ=(-3)2-4a<0，得a>，
所以实数a的取值范围是.
(2)由题意知，a<-x2+3x在x∈(-1，2]上恒成立，则a<(-x2+3x)min，-x2+3x=-+，当x∈(-1，2]时，-x2+3x的范围为，所以a≤-4，则实数a的取值范围是(-∞，-4].
14.关于x的不等式-x2+(a+3)x-3a>0，a∈R.
(1)若a=2，求不等式的解集.
(2)若 x∈(3，+∞)时，不等式-x2+(a+3)x-3a≥4有解，求实数a的取值范围.
解：(1)当a=2时，-x2+5x-6>0，即x2-5x+6<0，(x-2)(x-3)<0，解得2(2)由-x2+(a+3)x-3a≥4，得-x2+ax+3x-3a≥4，a(x-3)≥x2-3x+4，因为 x∈(3，+∞)时，不等式-x2+(a+3)x-3a≥4有解，所以当x>3时，a≥==(x-3)++3有解，因为x>3，所以x-3>0，
所以(x-3)++3≥2+3=7，当且仅当x-3=，即x=5时取等号，
所以a≥7，即实数a的取值范围为[7，+∞).
15.已知函数f(x)=x2-(a+6)x+6(a∈R).
(1)若 x∈[1，4]，f(x)+a+8≥0恒成立，求a的取值范围；
(2)已知g(x)=mx+7-3m，当a=1时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f(x1)=g(x2)成立，求实数m的取值范围.
解：(1)由题意得，x2-ax-6x+6+a+8≥0对于 x∈[1，4]恒成立，∴ax-a≤x2-6x+14，即a(x-1)≤x2-6x+14在x∈[1，4]恒成立.
①当x=1时，0≤1-6+14=9，恒成立.
②当x≠1时，此时x∈(1，4]，
则a≤==(x-1)+-4在x∈(1，4]恒成立.
∴a≤(x-1)+-4在x∈(1，4]上的最小值，
∵(x-1)+-4≥2-4=2，当且仅当x-1=，即x=4时取等号，∴a≤2.故a的取值范围为(-∞，2].
(2)当a=1时，f(x)=x2-7x+6，
当x∈[1，4]时，f(x)=-，
则f(x)的值域为，
∵对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，
使f(x1)=g(x2)成立，
∴f(x)的值域为g(x)值域的子集.
∵g(x)=mx+7-3m，
∴①当m>0时，g(x)∈[7-2m，m+7]，
则
②当m<0时，g(x)∈[m+7，7-2m]，
则
③当m=0时，g(x)=7，不符合题意.
综上，m≥或m≤-.
故m的取值范围为∪.
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