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“2年高考1年模拟”课时精练（九） 函数的奇偶性、对称性与周期性
1.若f(x)=为奇函数，则a= (　　)
A.2 B.4
C.6 D.8
2.(2025·南昌模拟)函数f(x)=的图象 (　　)
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于坐标原点对称 D.关于直线y=x对称
3.设f(x)是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，f(x+3)=f(x)恒成立，如图表示该函数在区间(-2，1]上的图象，则 f(2 024)+f(2 025)= (　　)
A.0 B.1
C.-1 D.2
4.定义在R上的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x)，若当0A.-6 B.6
C.-8 D.8
5.(2025·哈尔滨模拟)[多选]下列函数具有奇偶性的是 (　　)
A.f(x)=x+sin x
B.f(x)=(x-1)
C.f(x)=ln(-x)
D.f(x)=2x+
6.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+2)是偶函数，f(2x+1)是奇函数，则 (　　)
A.f=0 B.f(-1)=0
C.f(2)=0 D.f(4)=0
7.(2025·九江开学考试)[多选]已知函数f(x)的定义域为R，y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称，且对任意的x∈R都有f(-x)+f(x+2)=2，f(0)=-1，则下列结论正确的是 (　　)
A.f(x)为偶函数 　　B.f(-1)=-1
C.2是f(x)的一个周期 　　D. f(k)=2 025
8.(2025·大连质检)[多选]若定义在R上的减函数y=f(x-2)的图象关于点(2，0)对称，且g(x)=f(x)+1，则下列结论一定成立的是 (　　)
A.g(2)=1
B.g(0)=1
C.不等式f(x+1)>f(1-2x)的解集为(-∞，0)
D.g(-1)+g(2)<2
9.已知函数f(x)=x2-2ax+b是定义在区间[-2b，3b-1]上的偶函数，则函数f(x)的值域为　　　　.
10.(1)设f(x)=x3-3x2，则此函数图象的对称中心为　　　　；
(2)函数y=f(x)的图象关于直线x=a轴对称的充要条件是函数　　　　为偶函数.
11.设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数，且当x∈[0，2]时，f(x)=log2(x+1)，则函数f(x)在[2，4]上的解析式为　　　　　　　　.
12.已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x+4)=-f(x)，若函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称，f(-1)=2，则f(2 025)=　　　　.
13.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f=-f成立.
(1)证明y=f(x)是周期函数，并指出其周期；
(2)若f(1)=2，求f(2)+f(3)的值.
14.已知定义在全体实数上的函数f(x)满足：①f(x)是偶函数；②f(x)不是常值函数；③对于任何实数x，y，都有f(x+y)=f(x)f(y)-f(1-x)f(1-y).
(1)求f(1)和f(0)的值；
(2)证明：对于任何实数x，都有f(x+4)=f(x)；
(3)若f(x)还满足对00，求f+f+…+f的值.
15.已知函数f(x)=+a(x∈R)，a为实数.
(1)证明函数f(x)的单调性；
(2)若f(x)为奇函数，求实数a的值；
(3)在条件(2)下，若对任意的x∈R，不等式f(x2-2x)+f(2x2-k)>0恒成立，求k的取值范围.
（解析）精练（九） 函数的奇偶性、对称性与周期性
1.若f(x)=为奇函数，则a= (　　)
A.2 B.4
C.6 D.8
解析：选C　因为函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，且f(x)为奇函数，所以f(x)+f(-x)=+=24-4a=0，解得a=6.
2.(2025·南昌模拟)函数f(x)=的图象 (　　)
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于坐标原点对称 D.关于直线y=x对称
解析：选B　由题意知f(x)的定义域为R，且f(x)==3x+3-x，f(-x)=3-x+3x，∴f(-x)=f(x)，故f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称.
3.设f(x)是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，f(x+3)=f(x)恒成立，如图表示该函数在区间(-2，1]上的图象，则 f(2 024)+f(2 025)= (　　)
A.0 B.1
C.-1 D.2
解析：选D　由题图知f(0)=0，f(-1)=2，又对任意的x∈R，f(x+3)=f(x)恒成立，即f(x)是周期为3的周期函数，所以f(2 024)+f(2 025)=f(3×675-1)+f(3×675)=f(-1)+f(0)=2.
4.定义在R上的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x)，若当0A.-6 B.6
C.-8 D.8
解析：选D　因为f(1+x)=f(1-x)，所以f(2+x)=f(-x).又f(-x)=-f(x)，所以f(x+2)=-f(x)，所以f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数.因此f(2 025)=f(506×4+1)=f(1)=8.故选D.
5.(2025·哈尔滨模拟)[多选]下列函数具有奇偶性的是 (　　)
A.f(x)=x+sin x
B.f(x)=(x-1)
C.f(x)=ln(-x)
D.f(x)=2x+
解析：选ACD　A项，f(x)的定义域为R，由f(-x)=-x+sin(-x)=-f(x)知，f(x)为奇函数；B项，令≥0，解得x≤-1或x>1，即函数f(x)的定义域为(-∞，-1]∪(1，+∞)，不关于原点对称，即f(x)为非奇非偶函数；C项，因为x2+1>x2，所以-x>0恒成立，即f(x)的定义域为R，又f(-x)+f(x)=ln(+x)+ln(-x)=0，故f(x)为奇函数；D项，f(x)的定义域为R，由f(-x)=f(x)知，f(x)为偶函数.
6.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+2)是偶函数，f(2x+1)是奇函数，则 (　　)
A.f=0 B.f(-1)=0
C.f(2)=0 D.f(4)=0
解析：选B　法一：常规推导　∵f(x+2)是偶函数，∴f(-x+2)=f(x+2).∵f(2x+1)是奇函数，∴f(-2x+1)=-f(2x+1).由F(x)=f(2x+1)是奇函数，可得F(0)=f(1)=0，∴f(-1)=-f(3)=-f(1)=0，其他几个选项不一定成立，故选B.
法二：特殊函数秒杀　由f(x+2)是偶函数，f(2x+1)是奇函数，可取f(x)=cos，可得f(-1)=0，其他几个选项均不成立，故选B.
7.(2025·九江开学考试)[多选]已知函数f(x)的定义域为R，y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称，且对任意的x∈R都有f(-x)+f(x+2)=2，f(0)=-1，则下列结论正确的是 (　　)
A.f(x)为偶函数 　　B.f(-1)=-1
C.2是f(x)的一个周期 　　D. f(k)=2 025
解析：选AD　因为函数f(x)的定义域为R，y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称，所以f(x)关于y轴对称，即f(-x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，故A正确；因为f(-x)+f(x+2)=2，f(0)=-1，令x=-1，可得f(1)+f(1)=2，则f(1)=1，因为f(x)为偶函数，所以f(-1)=f(1)=1，故B错误；由f(-x)+f(x+2)=2，f(0)=-1，令x=0，可得f(2)=3，f(0)≠f(2)，2不是f(x)的一个周期，故C错误；因为f(-x)=f(x)，f(-x)+f(x+2)=2，所以f(x)+f(x+2)=2，所以f(x+2)+f(x+4)=2，则f(x)=f(x+4)，即f(x)是以4为周期的周期函数.所以f(k)=506[f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)]+f(1)=506×4+1=2 025，故D正确.故选AD.
8.(2025·大连质检)[多选]若定义在R上的减函数y=f(x-2)的图象关于点(2，0)对称，且g(x)=f(x)+1，则下列结论一定成立的是 (　　)
A.g(2)=1
B.g(0)=1
C.不等式f(x+1)>f(1-2x)的解集为(-∞，0)
D.g(-1)+g(2)<2
解析：选BCD　将y=f(x-2)的图象向左平移两个单位长度即可得到函数y=f(x)的图象，∴函数y=f(x)的图象关于点(0，0)对称，即f(x)为奇函数，∴f(0)=0，∵g(x)=f(x)+1，∴g(0)=f(0)+1=1，故B正确；∵y=f(x-2)单调递减，∴f(x)单调递减，∴g(x)=f(x)+1单调递减，又g(0)=1，则g(2)≠1，故A错误；∵f(x+1)>f(1-2x)，且f(x)单调递减，∴x+1<1-2x，解得x<0，故C正确；g(-1)+g(2)=f(-1)+f(2)+2=-f(1)+f(2)+2，∵f(1)>f(2)，∴g(-1)+g(2)<2，故D正确.
9.已知函数f(x)=x2-2ax+b是定义在区间[-2b，3b-1]上的偶函数，则函数f(x)的值域为　　　　.
解析：∵f(x)为偶函数，∴f(-x)=f(x)，即a=0.又f(x)的定义域为[-2b，3b-1]，∴-2b+3b-1=0，解得b=1.∴f(x)=x2+1，x∈[-2，2]，∴函数f(x)的值域为[1，5].
答案：[1，5]
10.(1)设f(x)=x3-3x2，则此函数图象的对称中心为　　　　；
(2)函数y=f(x)的图象关于直线x=a轴对称的充要条件是函数　　　　为偶函数.
解析：(1)设函数f(x)=x3-3x2的图象的对称中心为点P(a，b)，g(x)=f(x+a)-b，则g(x)为奇函数，故g(-x)=-g(x)，故f(-x+a)-b=-f(x+a)+b，即f(-x+a)+f(x+a)=2b，即[(-x+a)3-3(-x+a)2]+[(x+a)3-3(x+a)2]=2b，整理得(3a-3)x2+a3-3a2-b=0，故解得所以函数f(x)=x3-3x2的图象的对称中心为(1，-2).
(2)函数y=f(x)的图象关于直线x=a轴对称的充要条件是函数y=f(x+a)为偶函数.
答案：(1)(1，-2)　(2)y=f(x+a)
11.设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数，且当x∈[0，2]时，f(x)=log2(x+1)，则函数f(x)在[2，4]上的解析式为　　　　　　　　.
解析：根据题意，设x∈[2，4]，则x-4∈[-2，0]，则有4-x∈[0，2].当x∈[0，2]时，f(x)=log2(x+1)，则f(4-x)=log2[(4-x)+1]=log2(5-x).又f(x)是周期为4的偶函数，所以f(x)=f(x-4)=f(4-x)=log2(5-x)，x∈[2，4]，则有f(x)=log2(5-x)，x∈[2，4].
答案：f(x)=log2(5-x)，x∈[2，4]
12.已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x+4)=-f(x)，若函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称，f(-1)=2，则f(2 025)=　　　　.
解析：由函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数.又由f(x+4)=-f(x)，得f(x+4+4)=-f(x+4)=f(x)，∴f(x)是周期为8的偶函数，∴f(2 025)=f(1+253×8)=f(1)=f(-1)=2.
答案：2
13.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f=-f成立.
(1)证明y=f(x)是周期函数，并指出其周期；
(2)若f(1)=2，求f(2)+f(3)的值.
解：(1)证明：由f=-f，且f(-x)=-f(x)，知f(3+x)=f=-f=-f(-x)=f(x)，所以y=f(x)是周期函数，且T=3是其一个周期.
(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，且f(-1)=-f(1)=-2.又T=3是y=f(x)的一个周期，所以f(2)+f(3)=f(-1)+f(0)=-2+0=-2.
14.已知定义在全体实数上的函数f(x)满足：①f(x)是偶函数；②f(x)不是常值函数；③对于任何实数x，y，都有f(x+y)=f(x)f(y)-f(1-x)f(1-y).
(1)求f(1)和f(0)的值；
(2)证明：对于任何实数x，都有f(x+4)=f(x)；
(3)若f(x)还满足对00，求f+f+…+f的值.
解：(1)由f(x+y)=f(x)f(y)-f(1-x)f(1-y)，
取x=1，y=0得到f(1)=f(1)f(0)-f(0)f(1)=0，即f(1)=0.
取y=0得到f(x)=f(x)f(0)-f(1-x)f(1)=f(x)f(0)，又f(x)不是常值函数，故f(0)=1.
(2)证明：由f(x+y)=f(x)f(y)-f(1-x)f(1-y)，
取y=1得到f(x+1)=f(x)f(1)-f(1-x)·f(0)=-f(1-x)，
又f(x)是偶函数，故f(x+1)=-f(x-1)，即f(x+2)=-f(x)，f(x+4)=-f(x+2)=f(x).
(3)由f(x+2)+f(x)=0，f(x)为偶函数，
取x=-，则f+f=0，
即f+f=0.
取x=-，则f+f=0，
即f+f=0.
故f+f+f+f=-f-f-f-f=0，
f(2)=-f(0)=-1，f(3)=f(-1)=f(1)=0，f(4)=f(0)=1，故f+f+…+f=0.
15.已知函数f(x)=+a(x∈R)，a为实数.
(1)证明函数f(x)的单调性；
(2)若f(x)为奇函数，求实数a的值；
(3)在条件(2)下，若对任意的x∈R，不等式f(x2-2x)+f(2x2-k)>0恒成立，求k的取值范围.
解：(1)证明：∵f(x)=+a=+a=a+1-，在R上任取x1∵x1∴-<0，+1>0，+1>0，
∴f(x1)-f(x2)<0，∴f(x1)∴f(x)为R上的增函数.
(2)∵f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)，
即+a=-，
∴-2a=+=+=1，
∴a=-.
(3)∵f(x)是奇函数，从而不等式f(x2-2x)+f(2x2-k)>0，等价于f(x2-2x)>-f(2x2-k)，即f(x2-2x)>f(-2x2+k).又f(x)是R上的增函数，由上式得x2-2x>-2x2+k，
即对一切x∈R都有3x2-2x-k>0，
从而Δ=4+12k<0，解得k<-，
∴k的取值范围为.
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