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“2年高考1年模拟”课时精练（二十五） 任意角和弧度制、三角函数的概念
1.已知角α终边上有一点P，则α为 (　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
2.与30°角终边相同的角的集合是 (　　)
A.
B.
C.
D.
3.已知相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，当大轮转动一周时小轮转动角度是 (　　)
A. B.
C. D.5π
4.已知点(2，-2)在角α的终边上，则角α的最大负值为 (　　)
A.- B.-
C.- D.-
5.已知角θ在第二象限，且=-sin ，则角在 (　　)
A.第一象限或第三象限 　B.第二象限或第四象限
C.第三象限 　D.第四象限
6.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，则“角α与角β的终边关于x轴对称”是“cos α=cos β”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.[多选]下面说法正确的是 (　　)
A.240°化成弧度是
B.终边在直线y=-x上的角α的取值集合可表示为
C.角α为第四象限角的充要条件是
D.若角α的终边上一点P的坐标为，则sin α=
8.如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2 cm，若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数与下列哪项最接近(结果精确到0.1 cm，参考数据:sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75) (　　)
A.2.5 cm B.2.6 cm
C.2.7 cm D.2.8 cm
9.(2025·绵阳模拟)月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓彻”，因其形酷似一弯新月而得名.如图所示，某月牙泉模型的边缘都可以看作是圆弧，两段圆弧可以看成是△ABC的外接圆和以AB为直径的圆的一部分.若∠ACB=，AB的长约为20，则该月牙泉模型的面积约为 (　　)
A.300-50π B.120π+150
C.100π+180 D.120π+180
10.-600°是第　　　　象限角，与-600°终边相同的最小正角为　　　　弧度.
11.在平面直角坐标系xOy中，点P在角的终边上，且|OP|=2，则点P的坐标为　　　　　.
12.(2025·南通阶段练习)如图1是某小区的圆形公园，它外围有一圆形跑道，并有4个出口A，B，C，D(视为点)，并四等分圆弧(如图2).小明从A点出发，在圆形跑道上按逆时针方向作匀速圆周跑动，假设他每分钟转过圆心角为θ弧度(0<θ<π)，3分钟第一次到达劣弧CD之间(不包括C，D点)，15分钟时回到出发点A，则θ的值为　　　　.
13.已知=-，且lg(cos α)有意义.
(1)试判断角α所在的象限；
(2)已知角α的终边上一点M，且|OM|=1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值.
14.已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.
(1)若α=60°，R=6，求扇形的弧长l；
(2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角α.
15.如图，在平面直角坐标系Oxy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于点A(1，0)，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动.
(1)若点B的横坐标为-，求sin α的值和与角α终边相同的角β的集合；
(2)若α∈，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式.(注:弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形)
（解析）精练（二十五） 任意角和弧度制、三角函数的概念
1.已知角α终边上有一点P，则α为 (　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析:选D　因为点P在第四象限，所以角α为第四象限角.故选D.
2.与30°角终边相同的角的集合是 (　　)
A.
B.
C.
D.
解析:选D　对于A、B，弧度和角度属于不同度量单位，不能混用，A、B错误；对于C、D，∵30°换算成弧度制为，∴与30°角终边相同的角的集合为或，C错误，D正确.故选D.
3.已知相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，当大轮转动一周时小轮转动角度是 (　　)
A. B.
C. D.5π
解析:选D　因为相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，所以当大轮转动一周时，大轮转动了50个齿，所以小轮此时转动=周，即小轮转动的角度为×2π=5π.故选D.
4.已知点(2，-2)在角α的终边上，则角α的最大负值为 (　　)
A.- B.-
C.- D.-
解析:选C　由题意可知,点(2，-2)在第四象限，且tan α==-，所以α=-+2kπ，k∈Z，故当k=0时，α=-为最大的负值.
5.已知角θ在第二象限，且=-sin ，则角在 (　　)
A.第一象限或第三象限 　B.第二象限或第四象限
C.第三象限 　D.第四象限
解析:选C　∵角θ是第二象限角，∴θ∈，k∈Z，∴∈，k∈Z，∴角在第一或第三象限.又=-sin ，∴sin <0，∴角在第三象限.
6.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，则“角α与角β的终边关于x轴对称”是“cos α=cos β”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:选A　由角α与角β的终边关于x轴对称可得α=-β+2kπ，k∈Z，故cos α=cos β，充分性成立.当cos α=cos β时，α=-β+2kπ，k∈Z或α=β+2kπ，k∈Z，故必要性不成立.
7.[多选]下面说法正确的是 (　　)
A.240°化成弧度是
B.终边在直线y=-x上的角α的取值集合可表示为
C.角α为第四象限角的充要条件是
D.若角α的终边上一点P的坐标为，则sin α=
解析:选AD　根据角度制与弧度制的转化得240°=π=，故A正确；易知终边在直线y=-x上的角α与-45°，-225°的角的终边相同，故其取值集合可表示为，故B错误；易知第四象限角的余弦为正数，故C错误；由三角函数的定义可知sin α==，故D正确.故选AD.
8.如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2 cm，若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数与下列哪项最接近(结果精确到0.1 cm，参考数据:sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75) (　　)
A.2.5 cm B.2.6 cm
C.2.7 cm D.2.8 cm
解析:选C　如图，依题意知，△ODB为等腰直角三角形，则OD=BD=2 cm，∠ODB=90°，则∠DCO=∠AOC=37°，在Rt△ODC中，tan∠DCO=，即tan 37°=，则CD=≈≈2.7 cm，故点C在尺上的读数约为2.7 cm.
9.(2025·绵阳模拟)月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓彻”，因其形酷似一弯新月而得名.如图所示，某月牙泉模型的边缘都可以看作是圆弧，两段圆弧可以看成是△ABC的外接圆和以AB为直径的圆的一部分.若∠ACB=，AB的长约为20，则该月牙泉模型的面积约为 (　　)
A.300-50π B.120π+150
C.100π+180 D.120π+180
解析:选A　如图，设△ABC外接圆的圆心为O，半径为R，则2R===40，R=20=AB，因此∠AOB=，△ABC所在弓形的面积S=×πR2-R2=×(20)2-×(20)2=200π-300，从而阴影部分面积S'=π×(10)2-S=300-50π.
10.-600°是第　　　　象限角，与-600°终边相同的最小正角为　　　　弧度.
解析:与-600°终边相同的角为-600°+k×360°，k∈Z，当k=2时，得到与-600°终边相同的最小正角为120°，故-600°是第二象限角，与-600°终边相同的最小正角为120°=.
答案:二　
11.在平面直角坐标系xOy中，点P在角的终边上，且|OP|=2，则点P的坐标为　　　　　.
解析:设点P的坐标为(x，y)，
由三角函数定义，得所以所以点P的坐标为(-1，).
答案:(-1，)
12.(2025·南通阶段练习)如图1是某小区的圆形公园，它外围有一圆形跑道，并有4个出口A，B，C，D(视为点)，并四等分圆弧(如图2).小明从A点出发，在圆形跑道上按逆时针方向作匀速圆周跑动，假设他每分钟转过圆心角为θ弧度(0<θ<π)，3分钟第一次到达劣弧CD之间(不包括C，D点)，15分钟时回到出发点A，则θ的值为　　　　.
解析:依题意，得从A点出发3分钟转过3θ，且π<3θ<，所以<θ<.又15分钟时回到出发点A，所以15θ=2kπ，k∈N，所以θ=，k∈N.因为<θ<，所以θ=.
答案:
13.已知=-，且lg(cos α)有意义.
(1)试判断角α所在的象限；
(2)已知角α的终边上一点M，且|OM|=1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值.
解:(1)由=-，得sin α<0，
由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，
所以α是第四象限角.
(2)因为|OM|=1，所以+m2=1，解得m=±.
又α为第四象限角，故m<0，从而m=-，
sin α===-.
14.已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.
(1)若α=60°，R=6，求扇形的弧长l；
(2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角α.
解:(1)因为α=60°=，R=6，
所以扇形的弧长l=αR=2π.
(2)由扇形面积S=αR2=lR=16，得l=，
则扇形周长为l+2R=+2R≥2=16，
当且仅当=2R，即R=4时，取等号，
此时，α×42=16，所以α=2，
所以扇形周长的最小值为16，此时α=2.
15.如图，在平面直角坐标系Oxy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于点A(1，0)，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动.
(1)若点B的横坐标为-，求sin α的值和与角α终边相同的角β的集合；
(2)若α∈，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式.(注:弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形)
解:(1)由题意知，若点B的横坐标为-，可得B的坐标为，所以sin α=，
于是α=+2kπ，k∈Z，与角α终边相同的角β的集合为.
(2)由△AOB的边AB上的高为1×cos ，AB=2sin，得S△AOB=×2sin ×cos =sin α，故弓形AB的面积S=·α·12-sin α=(α-sin α)，α∈.
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