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“2年高考1年模拟”课时精练（二十三） 利用导数研究函数的零点
1.(2025·邢台模拟)已知函数f(x)=2x3-3x2-12x+5.
(1)求f(x)的极值；
(2)讨论函数g(x)=f(x)-m的零点个数.
2.(2025·深圳模拟)若函数f(x)=x(x-c)2在x=3处有极小值.
(1)求c的值.
(2)函数g(x)=f(x)+6x2-(9+3a)x+1恰有一个零点，求实数a的取值范围.
3.已知函数f(x)=aln x-x2(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)有极值点，判断f(x)的零点个数.
4.(2025·大连调研)已知函数g(x)=cos x+ax2，x∈[-π，π].
(1)当a=1时，求g(x)的单调区间；
(2)设f(x)=xsin x+g(x)，当0（解析）精练（二十三） 利用导数研究函数的零点
1.(2025·邢台模拟)已知函数f(x)=2x3-3x2-12x+5.
(1)求f(x)的极值；
(2)讨论函数g(x)=f(x)-m的零点个数.
解：(1)f(x)的定义域为(-∞，+∞)，由题意可得f'(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2).
由f'(x)>0，得x<-1或x>2，由f'(x)<0，得-1(2)由(1)可知f(x)在(-∞，-1)和(2，+∞)上单调递增，在(-1，2)上单调递减，
f(-1)=12，f(2)=-15，且当x→-∞时，f(x)→-∞，当x→+∞时，f(x)→+∞.
f(x)的大致图象如图所示.
令g(x)=f(x)-m=0，得f(x)=m.
当m>12或m<-15时，方程f(x)=m有且仅有1个实根，即g(x)有1个零点；当m=12或m=-15时，方程f(x)=m有2个实根，即g(x)有2个零点；
当-15综上，当m>12或m<-15时，g(x)有1个零点，当m=12或m=-15时，g(x)有2个零点，当-152.(2025·深圳模拟)若函数f(x)=x(x-c)2在x=3处有极小值.
(1)求c的值.
(2)函数g(x)=f(x)+6x2-(9+3a)x+1恰有一个零点，求实数a的取值范围.
解：(1)因为f(x)=x(x-c)2，所以f'(x)=(x-c)(3x-c).又因为函数f(x)=x(x-c)2在x=3处有极小值，所以f'(3)=(3-c)(9-c)=0，解得c=3或c=9.当c=3时，f'(x)=(x-3)(3x-3)，
则13时，f'(x)>0，
f(x)在(1，3)上单调递减，在(3，+∞)上单调递增，
可得函数f(x)在x=3处取得极小值；
当c=9时，f'(x)=(x-9)(3x-9)，
则x<3时，f'(x)>0，3f(x)在(-∞，3)上单调递增，在(3，9)上单调递减，可得函数f(x)在x=3处取得极大值，不合题意，舍去.所以c的值为3.
(2)由(1)得g(x)=f(x)+6x2-(9+3a)x+1=x3-6x2+9x+6x2-(9+3a)x+1=x3-3ax+1，
函数g(x)的定义域为R，g'(x)=3x2-3a，
当a≤0时，g'(x)≥0，且g'(x)不恒为0，g(x)在R上单调递增，a=0时，g(x)=x3+1有一个零点-1；
a<0时，g=-3+1<0，g(0)=1>0，g(x)恰有一个零点；
当a>0时，由g'(x)>0，解得x<-或x>，由g'(x)<0，解得-则g(x)在(-∞，-)和(，+∞)上单调递增，在(-)上单调递减，x=-时，g(x)有极大值，x=时，g(x)有极小值，
g(x)恰有一个零点，g(-)=2a+1<0或g()=-2a+1>0，解得0综上可知，函数g(x)=f(x)+6x2-(9+3a)x+1恰有一个零点，实数a的取值范围为.
3.已知函数f(x)=aln x-x2(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)有极值点，判断f(x)的零点个数.
解：(1)因为f(x)=aln x-x2(x>0)，
所以f'(x)=-x(x>0).
当a≤0时，-x<0在(0，+∞)上恒成立，所以f(x)在(0，+∞)上单调递减.
当a>0时，由-x>0 x2a x>.所以f(x)在(0，)上单调递增，在(，+∞)上单调递减.
综上可知，当a≤0时，f(x)在(0，+∞)上单调递减；当a>0时，f(x)在(0，)上单调递增，在(，+∞)上单调递减.
(2)由(1)可知，当a>0时，f(x)有极大值点，
f()=aln-a=a(ln a-1).
若a(ln a-1)<0 0若a(ln a-1)=0 a=e，此时f()=0，函数f(x)有1个零点；若a(ln a-1)>0 a>e，
当x≤1时，f(x)=aln x-x2<0，
所以函数f(x)在(1，)上有1个零点；当x→+∞时，f(x)=aln x-x2<0，所以函数f(x)在(，+∞)上有1个零点.
所以a>e时，函数f(x)有2个零点.综上，当0e时，函数f(x)有2个零点.
4.(2025·大连调研)已知函数g(x)=cos x+ax2，x∈[-π，π].
(1)当a=1时，求g(x)的单调区间；
(2)设f(x)=xsin x+g(x)，当0解：(1)因为g(-x)=g(x)，所以g(x)为偶函数，只需先研究x∈[0，π].
由题意，得g(x)=cos x+ax2=cos x+x2，g'(x)=-sin x+x.令F(x)=-sin x+x，则F'(x)=-cos x+1，
当x∈[0，π]时，F'(x)≥0，所以F(x)在x∈[0，π]单调递增，即g'(x)≥g'(0)=0，所以g(x)在x∈[0，π]单调递增，根据偶函数图象关于y轴对称，得g(x)在x∈[-π，0]单调递减，
故g(x)的单调递减区间为[-π，0]，单调递增区间为[0，π].
(2)因为f(x)=xsin x+cos x+ax2，f(-x)=-xsin(-x)+cos(-x)+a(-x)2=f(x)，
所以f(x)为偶函数.
f'(x)=xcos x+ax=x(cos x+a)，
当0又y=cos x在(0，π)单调递减，所以x∈(0，x0)，f'(x)>0，f(x)单调递增，
x∈(x0，π)，f'(x)<0，f(x)单调递减.
又f(0)=1，f(π)=aπ2-1，
①当aπ2-1>0，即f(x)在[0，π]上无零点，又f(x)为偶函数，
所以f(x)在[-π，π]上无零点.
②当aπ2-1≤0，即0f(x)在[0，π]上有1个零点，又f(x)为偶函数，所以f(x)在[-π，π]上有2个零点.
综上所述，当04 / 4