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“2年高考1年模拟”课时精练（二十七） 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1.若sin α=，则cos 2α= (　　)
A. B.
C.- D.-
∴cos 2α=1-2sin2α=1-2×=.
2.sin 110°cos 40°-cos 70°sin 40°= (　　)
A. B.
C.- D.-
3.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ的对应数表，这是世界数学史上最早的正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l=htan θ.对同一“表高”进行两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，若第一次的“晷影长”是“表高”的2.5倍，且tan=，则第二次“晷影长”是“表高”的 (　　)
A.倍 B.1倍
C.倍 D.倍
4.(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α-β)=，cos αsin β=，则cos(2α+2β)= (　　)
A. B.
C.- D.-
5.已知sin=，α∈，则cos α= (　　)
A. B.
C. D.
6.已知α∈，cos2=，则sin= (　　)
A. B.
C. D.
7.已知函数f(x)=-4sin x+3cos x在x0处取到最大值，则sin的值为 (　　)
A.-- B.-
C.-+ D.+
8.若sin=3sin，则tan= (　　)
A.5-6 B.5+6
C. D.
9.[多选]已知α，β，γ∈，sin β+sin γ=sin α，cos α+cos γ=cos β，则下列说法正确的是 (　　)
A.cos(β-α)= B.cos(β-α)=
C.β-α= D.β-α=-
10.(2025·湛江一模)=　　　　.
11.(2025·哈尔滨模拟)随着智能手机的普及，手机摄影越来越受到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然，更舒适.“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横竖各分三部分，以比例1∶0.618∶1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点.如图，分别用A，B，C，D表示黄金分割点.若照片长、宽比例为4∶3，设∠CAB=α，则-tan α=　　　　.
12.已知α，β∈，α>β，且cos α(cos α-cos β)+sin α=，sin αcos β=，则sin(α+β)=　　　　　.
13.已知α，β均为锐角，且sin α=，tan(α-β)=-.
(1)求sin(α-β)的值；
(2)求cos β的值.
14.已知函数f(x)=2cos，x∈R.
(1)求f(π)的值；
(2)若f=，α∈，求f(2α)的值.
15.已知0<β<<α<，cos=，sin=.
(1)求cos α的值；
(2)求sin(α-β)的值.
（解析）精练（二十七） 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1.若sin α=，则cos 2α= (　　)
A. B.
C.- D.-
解析:选B　∵sin α=，
∴cos 2α=1-2sin2α=1-2×=.
2.sin 110°cos 40°-cos 70°sin 40°= (　　)
A. B.
C.- D.-
解析:选A　sin 110°cos 40°-cos 70°sin 40°=sin 70°cos 40°-cos 70°sin 40°=sin(70°-40°)=sin 30°=.
3.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ的对应数表，这是世界数学史上最早的正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l=htan θ.对同一“表高”进行两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，若第一次的“晷影长”是“表高”的2.5倍，且tan=，则第二次“晷影长”是“表高”的 (　　)
A.倍 B.1倍
C.倍 D.倍
解析:选A　由题意可得tan α=2.5=，tan(α-β)=，所以tan β=tan===，即第二次的“晷影长”是“表高”的倍.
4.(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α-β)=，cos αsin β=，则cos(2α+2β)= (　　)
A. B.
C.- D.-
解析:选B　因为所以sin αcos β=，所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=+=，所以cos(2α+2β)=1-2sin2(α+β)=1-2×=，故选B.
5.已知sin=，α∈，则cos α= (　　)
A. B.
C. D.
解析:选A　由α∈，得α+∈，则cos=-=-，cos α=cos=coscos+sinsin=-×+×=，故选A.
6.已知α∈，cos2=，则sin= (　　)
A. B.
C. D.
解析:选A　由已知可得cos=2cos2-1=2×-1=，∵α∈，∴α+∈，∴sin=，∴sin=sin=sin·cos -cos·sin=.
7.已知函数f(x)=-4sin x+3cos x在x0处取到最大值，则sin的值为 (　　)
A.-- B.-
C.-+ D.+
解析:选A　因为f(x)=-4sin x+3cos x=-5=-5sin，其中sin φ=，cos φ=，又f(x)在x0处取到最大值，所以x0-φ=-+2kπ(k∈Z)，即x0=φ-+2kπ(k∈Z)，则sin x0=-cos φ=-，cos x0=sin φ=，所以sin=sin x0-cos x0=--.
8.若sin=3sin，则tan= (　　)
A.5-6 B.5+6
C. D.
解析:选D　因为sin=3sin，所以sin=3sin，所以cos=3sin，所以tan==，所以tan=tan===.
9.[多选]已知α，β，γ∈，sin β+sin γ=sin α，cos α+cos γ=cos β，则下列说法正确的是 (　　)
A.cos(β-α)= B.cos(β-α)=
C.β-α= D.β-α=-
解析:选BD　由已知可得
所以1=sin2γ+cos2γ=(sin α-sin β)2+(cos β-cos α)2=2-2(cos βcos α+sin βsin α)=2-2cos(β-α)，所以cos(β-α)=.因为α，β，γ∈，则-<β-α<，因为sin γ=sin α-sin β>0，函数y=sin x在上单调递增，则α>β，则-<β-α<0，故β-α=-.
10.(2025·湛江一模)=　　　　.
解析:由三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式，可得===-.
答案:-
11.(2025·哈尔滨模拟)随着智能手机的普及，手机摄影越来越受到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然，更舒适.“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横竖各分三部分，以比例1∶0.618∶1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点.如图，分别用A，B，C，D表示黄金分割点.若照片长、宽比例为4∶3，设∠CAB=α，则-tan α=　　　　.
解析:由题意得BC=3×，AB=4×，所以tan α==.
所以-tan α=-tan α=-tan α=-=-=.
答案:
12.已知α，β∈，α>β，且cos α(cos α-cos β)+sin α=，sin αcos β=，则sin(α+β)=　　　　　.
解析:因为cos α+sin α(sin α-sin β)=，cos2α-cos αcos β+sin2α-sin αsin β=，即1-cos(α-β)=，所以cos=.因为α，β∈，α>β，所以0<α-β<，所以sin(α-β)=，即sin αcos β-cos αsin β=.又sin αcos β=，所以cos αsin β=，所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=+=.
答案:
13.已知α，β均为锐角，且sin α=，tan(α-β)=-.
(1)求sin(α-β)的值；
(2)求cos β的值.
解:(1)∵α，β∈，∴-<α-β<.
又∵tan(α-β)=-<0，
∴-<α-β<0.∴sin(α-β)=-.
(2)由(1)可得，cos(α-β)=.
∵α为锐角，且sin α=，∴cos α=.
∴cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=×+×
=.
14.已知函数f(x)=2cos，x∈R.
(1)求f(π)的值；
(2)若f=，α∈，求f(2α)的值.
解:(1)f(π)=2cos=-2cos=-2×=-.
(2)因为f=2cos=-2sin α=，
所以sin α=-.又α∈，
所以cos α===，
所以sin 2α=2sin αcos α=2××=-，
cos 2α=2cos2α-1=2×-1=.
所以f(2α)=2cos=2cos 2αcos+2sin 2αsin=2××+2××=.
15.已知0<β<<α<，cos=，sin=.
(1)求cos α的值；
(2)求sin(α-β)的值.
解:(1)因为<α<，所以-<-α<0.又cos=，
所以sin=-=-，
所以cos α=cos=cos cos+sin sin=×+×=-.
(2)因为0<β<，所以0<-β<.
又sin=，
则cos==，
所以sin(α-β)=sin
=sincos-cossin
=×-×=.
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