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“2年高考1年模拟”课时精练（二十九） 三角函数的定义域、值域及单调性
1.函数f(x)=的定义域为 (　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
2.已知函数f(x)=sin，则f(x)在上的单调递增区间为 (　　)
A. B.
C. D.
3.函数f(x)=cos 2x+2sin x，x∈[0，π]的最大值为 (　　)
A. B.1
C. D.2
4.(2025·大同模拟)已知a=sin 3，b=cos，c=tan 1，则a，b，c的大小关系为 (　　)
A.aC.a5.函数f(x)=sin(ωx+φ)，在区间(0，1)上不可能 (　　)
A.单调递增 B.单调递减
C.有最大值 D.有最小值
6.(2025·商洛模拟)若函数g=cos在区间上单调递减，则正数ω的取值范围为 (　　)
A. B.
C. D.
7.[多选]已知函数f(x)=sin|x|+|sin x|，则下列结论正确的是 (　　)
A.f(x)是偶函数
B.f(x)在区间上单调递增
C.f(x)在[-π，π]有4个零点
D.f(x)的最大值为2
8.对于函数y=f(x)，y=g(x)，其定义域均为D，若存在x1，x2∈D，使得f(x1)+g(x2)=m(m∈R)，则称f(x)与g(x)在D上具有“m关联”性质.若f(x)=sin x+cos 2x与g(x)=3sin x+4cos x在[0，π]上具有“m关联”性质，则m的取值范围是 (　　)
A.[-5，7] B.
C.[-4，7] D.
9.函数f(x)=的定义域为　　　　　　　　　　　　　　.
10.设φ∈(0，π)，f(x)=sin(x+φ)，若不等式f(x)≥-2f(0)对任意x∈R都成立，则φ的取值范围是　　　　.
11.函数f(x)=|sin x|-cos x的值域为　　　　.
12.(2025·晋中模拟)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)，且在上单调递增，则满足条件的ω的最大值为　　　　.
13.已知函数f(x)=sin.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值.
14.(2025·临沂期中)已知函数f(x)=sin 2x+2cos2x+m在区间上的最大值为6.
(1)求常数m的值；
(2)求f(x)的单调递减区间；
(3)求使f(x)>5成立的x的取值集合.
15.已知函数f(x)=2sin+a+1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3)在(2)的条件下，求满足f(x)=1，且x∈[-π，π]的x的取值集合.
（解析）精练（二十九） 三角函数的定义域、值域及单调性
1.函数f(x)=的定义域为 (　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析:选B　由题意，得2sinx-1≥0，
x∈(k∈Z)，
则x∈(k∈Z).
2.已知函数f(x)=sin，则f(x)在上的单调递增区间为 (　　)
A. B.
C. D.
解析:选B　当x∈时，2x-∈，所以当2x-∈，即当x∈时，函数f(x)单调递增.
3.函数f(x)=cos 2x+2sin x，x∈[0，π]的最大值为 (　　)
A. B.1
C. D.2
解析:选C　f(x)=1-2sin2x+2sin x=+，因为x∈[0，π]，所以sin x∈[0，1]，所以当sin x=时，f(x)取得最大值，最大值为.故选C.
4.(2025·大同模拟)已知a=sin 3，b=cos，c=tan 1，则a，b，c的大小关系为 (　　)
A.aC.a解析:选C　因为a=sin 3=sin，b=sin->π-3，而y=sin x在上单调递增，所以sintan=1，所以c>b>a，故选C.
5.函数f(x)=sin(ωx+φ)，在区间(0，1)上不可能 (　　)
A.单调递增 B.单调递减
C.有最大值 D.有最小值
解析:选B　当x∈(0，1)时，因为ω>0，所以0<ωx<ω.因为-<φ<，所以-<ωx+φ<+ω.令ωx+φ=t，所以y=sin t，当-+2kπ≤t≤+2kπ，k∈Z时，y=sin t单调递增，故f(x)在(0，1)上不可能单调递减.
6.(2025·商洛模拟)若函数g=cos在区间上单调递减，则正数ω的取值范围为 (　　)
A. B.
C. D.
解析:选A　根据函数y=g在区间上单调递减，得T=≥2×=π，可得0<ω≤2.又由<+≤，必有+≤π，可得0<ω≤.
7.[多选]已知函数f(x)=sin|x|+|sin x|，则下列结论正确的是 (　　)
A.f(x)是偶函数
B.f(x)在区间上单调递增
C.f(x)在[-π，π]有4个零点
D.f(x)的最大值为2
解析:选AD　∵f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x)，∴f(x)为偶函数，故A正确；当8.对于函数y=f(x)，y=g(x)，其定义域均为D，若存在x1，x2∈D，使得f(x1)+g(x2)=m(m∈R)，则称f(x)与g(x)在D上具有“m关联”性质.若f(x)=sin x+cos 2x与g(x)=3sin x+4cos x在[0，π]上具有“m关联”性质，则m的取值范围是 (　　)
A.[-5，7] B.
C.[-4，7] D.
解析:选D　f(x1)=sin x1+cos 2x1=-2sin2x1+sin x1+1=-2+，当x1∈[0，π]时，0≤sin x1≤1.当sin x1=时，f(x1)取得最大值；当sin x1=1时，f(x1)取得最小值0.所以f(x1)的值域为.g(x2)=3sin x2+4cos x2=5sin(x2+φ)，其中sin φ=，cos φ=.当x2∈[0，π]时，可得x2+φ∈[φ，π+φ]，所以sin(x2+φ)∈，所以g(x2)的值域为[-4，5].由题意，f(x)与g(x)在[0，π]上具有“m关联”性质，所以0+(-4)≤m≤5+，即m的取值范围是.故选D.
9.函数f(x)=的定义域为　　　　　　　　　　　　　　.
解析:由题意1-sin x≥0，sin x≤，所以2kπ-≤x≤2kπ+，k∈Z.
答案:
10.设φ∈(0，π)，f(x)=sin(x+φ)，若不等式f(x)≥-2f(0)对任意x∈R都成立，则φ的取值范围是　　　　.
解析:由题可得φ∈(0，π)，且sin(x+φ)≥-2sin φ对任意x∈R都成立，结合x∈R时，sin(x+φ)∈[-1，1]，所以-1≥-2sin φ，即sin φ≥.又y=sin x在上单调递增，在上单调递减，所以φ∈.
答案:
11.函数f(x)=|sin x|-cos x的值域为　　　　.
解析:由sin x≥0，得2kπ≤x≤π+2kπ，k∈Z；由sin x<0，得-π+2kπ答案:[-，2]
12.(2025·晋中模拟)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)，且在上单调递增，则满足条件的ω的最大值为　　　　.
解析:f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin(ω>0).由2kπ-≤ωx+≤2kπ+，k∈Z，得-≤x≤+，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
由题知， ，
∴
∴6k-≤ω≤4k+，k∈Z.
∵ω>0，∴当k=0时，-≤ω≤，∴0<ω≤；当k=1时，≤ω≤；当k≥2，k∈Z时，ω∈ ，∴ωmax=.
答案:
13.已知函数f(x)=sin.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值.
解:(1)令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，
则kπ-≤x≤kπ+，k∈Z.故函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)因为当x∈时，≤2x+≤，
所以-1≤sin≤，
所以-≤f(x)≤1，
所以当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为-.
14.(2025·临沂期中)已知函数f(x)=sin 2x+2cos2x+m在区间上的最大值为6.
(1)求常数m的值；
(2)求f(x)的单调递减区间；
(3)求使f(x)>5成立的x的取值集合.
解:(1)由题意可得f(x)=sin 2x+2cos2x+m=sin 2x+cos 2x+m+1=2sin+m+1.
因为x∈，所以2x+∈.
可知当2x+=，即x=时，f(x)取到最大值m+3，
即m+3=6，解得m=3.
(2)由(1)可知f(x)=2sin+4.
令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，
解得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，
所以f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
(3)由(1)可知f(x)=2sin+4，
令f(x)>5，可得sin>，
则2kπ+<2x+<2kπ+，k∈Z，解得kπ所以f(x)>5的解集为，k∈Z.
15.已知函数f(x)=2sin+a+1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3)在(2)的条件下，求满足f(x)=1，且x∈[-π，π]的x的取值集合.
解:(1)令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，
得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)因为当x∈时，2x+∈，所以当2x+=，即x=时，f(x)取得最大值，
即f=2sin+a+1=a+3=4，解得a=1.
(3)由f(x)=2sin+2=1，
可得sin=-，
则2x+=+2kπ，k∈Z或2x+=+2kπ，k∈Z，
即x=+kπ，k∈Z或x=+kπ，k∈Z，
又x∈[-π，π]，
可解得x=-，-，
所以x的取值集合为.
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