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“2年高考1年模拟”课时精练（二十二） 利用导数研究不等式恒成立问题
1.已知f(x)=2xln x，g(x)=-x2+ax-3.
(1)求函数f(x)的最小值；
(2)若存在x∈(0，+∞)，使f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围.
2.(2024·全国甲卷)已知函数f(x)=(1-ax)ln(1+x)-x.
(1)当a=-2时，求f(x)的极值；
(2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.
3.(2025·莆田模拟)设a为实数，函数f(x)=x3-3x2+a，g(x)=xln x.
(1)求f(x)的极值；
(2)对于 x1∈[1，3]， x2∈，都有f(x1)≥g(x2)，试求实数a的取值范围.
4.设函数f(x)=ex-ax，a∈R，g(x)=.
(1)讨论g(x)在区间(0，π)上的单调性；
(2)若f(2x)≥g(x)在x∈[0，+∞)上恒成立，求a的取值范围.
（解析）精练（二十二） 利用导数研究不等式恒成立问题
1.已知f(x)=2xln x，g(x)=-x2+ax-3.
(1)求函数f(x)的最小值；
(2)若存在x∈(0，+∞)，使f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围.
解：(1)依题意，f(x)的定义域是(0，+∞)，f'(x)=2(ln x+1)，
所以当0时，f'(x)>0，f(x)单调递增.
所以当x=时，f(x)取得最小值f=2··ln=-.
(2)因为存在x∈(0，+∞)，使f(x)≤g(x)成立，
即2xln x≤-x2+ax-3能成立，即a≥2ln x+x+能成立，令h(x)=2ln x+x+(x>0)，则h'(x)=+1-=，
所以当x∈(0，1)时，h'(x)<0，h(x)单调递减；当x∈(1，+∞)时，h'(x)>0，h(x)单调递增，所以当x=1时，h(x)取得最小值h(1)=4，所以a≥4.
故实数a的取值范围为[4，+∞).
2.(2024·全国甲卷)已知函数f(x)=(1-ax)ln(1+x)-x.
(1)当a=-2时，求f(x)的极值；
(2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.
解：(1)当a=-2时，f(x)=(1+2x)ln(1+x)-x，x∈(-1，+∞)，f'(x)=2ln(1+x)+-1=2ln(1+x)-+1.
易知f'(x)在(-1，+∞)上单调递增，且f'(0)=0，
所以当x∈(-1，0)时，f'(x)<0，当x∈(0，+∞)时，f'(x)>0，所以f(x)在(-1，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增.
所以当x=0时，f(x)取得极小值，为f(0)=0，f(x)无极大值.
(2)由f(x)=(1-ax)ln(1+x)-x，x∈(-1，+∞)，
得f'(x)=-aln(1+x)-.
设g(x)=-aln(1+x)-，
则g'(x)=--.
因为当x≥0时，f(x)≥0，且f(0)=0，f'(0)=0，
所以g'(0)=-2a-1≥0，得a≤-，
故a≤-是原不等式成立的一个必要条件.
下面证明其充分性：
当a≤-，x≥0时，g'(x)≥-=≥0，
所以f'(x)在[0，+∞)上单调递增，且f'(x)≥f'(0)=0，
所以f(x)在[0，+∞)上单调递增，且f(x)≥f(0)=0.综上，a的取值范围是.
3.(2025·莆田模拟)设a为实数，函数f(x)=x3-3x2+a，g(x)=xln x.
(1)求f(x)的极值；
(2)对于 x1∈[1，3]， x2∈，都有f(x1)≥g(x2)，试求实数a的取值范围.
解：(1)函数f(x)=x3-3x2+a的定义域为R，f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)，
令f'(x)=0，可得x=0或x=2，列表如下：
x (-∞，0) 0 (0，2) 2 (2，+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调 递增 极大值 单调 递减 极小值 单调 递增
故函数f(x)的极大值为f(0)=a，极小值为f(2)=a-4.
(2)对于 x1∈[1，3]， x2∈，都有f(x1)≥g(x2)，则f(x1)min≥g(x2)max.
由(1)可知，函数f(x)在[1，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增，
故当x∈[1，3]时，f(x)min=f(2)=a-4.
因为g(x)=xln x，且x∈，
则g'(x)=1+ln x≥0且g'(x)不恒为零，
故函数g(x)在上单调递增，
故g(x)max=g(e)=e，由题意可得a-4≥e，故a≥e+4.故实数a的取值范围为[e+4，+∞).
4.设函数f(x)=ex-ax，a∈R，g(x)=.
(1)讨论g(x)在区间(0，π)上的单调性；
(2)若f(2x)≥g(x)在x∈[0，+∞)上恒成立，求a的取值范围.
解：(1)由题意得g'(x)=，x∈(0，π).
由g'(x)<0，得x∈，由g'(x)>0，得x∈，
即g(x)在上单调递减，在上单调递增.
(2)由x≥0时，f(2x)≥g(x)，得e2x-2ax≥，即+e2x-2ax≥0.
设h(x)=+e2x-2ax，x≥0，
则h'(x)=+2e2x-2a，
设φ(x)=h'(x)，则φ'(x)=+4e2x=，当x∈[0，+∞)时，4e3x≥4，2sin≤2，所以φ'(x)>0，所以φ(x)即h'(x)在[0，+∞)上单调递增，则h'(x)≥h'(0)=4-2a.
①当a≤2时，则h'(x)≥h'(0)=4-2a≥0，
且h'(x)不恒为0.
所以h(x)在[0，+∞)上单调递增，所以h(x)≥h(0)=0恒成立，符合题意.
②当a>2时，则h'(0)=4-2a<0，且x→+∞时，h'(x)→+∞，则必存在正实数x0满足当x∈(0，x0)时，h'(x)<0，h(x)在(0，x0)上单调递减，
此时h(x0)综上，a的取值范围是(-∞，2].
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